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Limites et comparaison

deux suitesnumériquestelles que, à partir d'un certain rang, on a 

Sommaire

Cas de limites infinies☛ Déterminer une limite infinieCas de limites finies - Théorème des gendarmes☛ Déterminer une limite finie - Théorème des gendarmes

Cas de limites infinies

Théorème
Soit
(u_n)
et 
(v_n)
deux suitesnumériquestelles que, à partir d'un certain rang, on a 
un⩽vnu_n\leqslant v_nun​⩽vn​
.1.Si
lim⁡n→+∞un=+∞\lim\limits_{n \to +\infty}{u_n}=+\inftyn→+∞lim​un​=+∞
alors
lim⁡n→+∞vn=+∞\lim\limits_{n \to +\infty}{v_n}=+\inftyn→+∞lim​vn​=+∞
.2.Si
lim⁡n→+∞vn=−∞\lim\limits_{n \to +\infty}{v_n}=-\inftyn→+∞lim​vn​=−∞
alors
lim⁡n→+∞un=−∞\lim\limits_{n \to +\infty}{u_n}=-\inftyn→+∞lim​un​=−∞
.Démonstration
1.Soit
(u_n)
et 
(v_n)
deux suites. Soit
A \in \mathbb{R}
.
Par hypothèse, il existe un rang 
n_1
 tel que
∀n⩾n1\forall n \geqslant n_1∀n⩾n1​
, on a
un⩽vnu_n \leqslant v_nun​⩽vn​
 c'est-à-dire 
vn⩾unv_n \geqslant u_nvn​⩾un​
.
De plus, 
lim⁡n→+∞un=+∞\lim\limits_{n \to +\infty}{u_n}=+\inftyn→+∞lim​un​=+∞
doncil existe un rang 
n_2
 tel que
∀n⩾n2\forall n \geqslant n_2∀n⩾n2​
, on a
un⩾Au_n \geqslant Aun​⩾A
.
On pose
n_0=max(n_1,n_2)
.
∀n⩾n0\forall n \geqslant n_0∀n⩾n0​
, on a donc 
vn⩾un⩾Av_n \geqslant u_n \geqslant Avn​⩾un​⩾A
.
Ainsi, 
[A;+\infty[
contient toutes les valeurs de 
v_n
à partir d'un certain rang.
Conclusion : 
lim⁡n→+∞vn=+∞\lim\limits_{n \to +\infty}{v_n}=+\inftyn→+∞lim​vn​=+∞
.
2.La démonstration se fait de façon analogue.

☛ Déterminer une limite infinie

Énoncé
Déterminer la limite de la suite
(un)(u_n)(un​)
 définie, pour tout entier naturel 
n
, par
u_n=n+\sin(n)
.
Solution
\forall n \in \mathbb{N}
, on a 
−1⩽sin⁡(n)⩽1-1 \leqslant \sin(n) \leqslant 1−1⩽sin(n)⩽1
 donc 
n−1⩽un⩽n+1n-1 \leqslant u_n \leqslant n+1n−1⩽un​⩽n+1
.
En particulier, 
∀n∈N, n−1⩽un\forall n \in \mathbb{N},\ n-1 \leqslant u_n∀n∈N, n−1⩽un​
 et 
lim⁡n→+∞n−1=+∞\lim\limits_{n \to +\infty}n-1=+\inftyn→+∞lim​n−1=+∞
 donc, d'après le théorème de comparaison,
lim⁡n→+∞un=+∞\lim\limits_{n \to + \infty}u_n=+\inftyn→+∞lim​un​=+∞
.

Cas de limites finies - Théorème des gendarmes

Théorème des gendarmes
Soit 
(u_n)
,
(v_n)
 et
(w_n)
 trois suites telles que :
un⩽vn⩽wnu_n \leqslant v_n \leqslant w_nun​⩽vn​⩽wn​
 à partir d'un certain rang ;
    • il existe 
ℓ∈R\ell \in \mathbb{R}ℓ∈R
tel que 
lim⁡n→+∞un=ℓ\lim\limits_{n \to +\infty}{u_n}=\elln→+∞lim​un​=ℓ
et 
lim⁡n→+∞wn=ℓ\lim\limits_{n \to +\infty}{w_n}=\elln→+∞lim​wn​=ℓ
 ;
alors la suite 
(v_n)
converge et
lim⁡n→+∞vn=ℓ\lim\limits_{n \to +\infty}{v_n}=\elln→+∞lim​vn​=ℓ
.

☛ Déterminer une limite finie - Théorème des gendarmes

Énoncé
Déterminer la limite de la suite
(un)(u_n)(un​)
 définie, pour tout entier naturel 
n
non nul, par
un=(−1)nnu_n=\displaystyle\frac{(-1)^n}{n}un​=n(−1)n​
.
Solution
\forall n \in \mathbb{N}
, on a
−1⩽(−1)n⩽1-1 \leqslant (-1)^n \leqslant 1−1⩽(−1)n⩽1
.
∀n∈N∗\forall n \in \mathbb{N}^*∀n∈N∗
, on a
−1n⩽(−1)nn⩽1n-\displaystyle\frac{1}{n} \leqslant \displaystyle\frac{(-1)^n}{n}\leqslant \displaystyle\frac{1}{n}−n1​⩽n(−1)n​⩽n1​
.
lim⁡n→+∞−1n=0\lim\limits_{n \to +\infty}{-\displaystyle\frac{1}{n}}=0n→+∞lim​−n1​=0
 et
lim⁡n→+∞1n=0\lim\limits_{n \to +\infty}{\displaystyle\frac{1}{n}}=0n→+∞lim​n1​=0
 donc, d'après le théorème des gendarmes,
lim⁡n→+∞un=0\lim\limits_{n \to +\infty}u_n=0n→+∞lim​un​=0
.