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Cas particulier de la suite (q^n)

    • si

Sommaire

Comportement à l'infiniDémonstration partielle de la propriété☛ Déterminer un comportement à l'infini

Comportement à l'infini

Propriété
Soit\(q\)un réel :
    • si
q⩽−1q\leqslant-1q⩽−1
, la suite 
(qn)(q^n)(qn)
n'admet pas de limite ;
    • si
-1<q<1
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;si
q=1
, la suite 
(qn)(q^n)(qn)
est constante de valeur 1 donc 
lim⁡n→+∞qn=1\lim\limits_{n \to +\infty}{q^n}=1n→+∞lim​qn=1
;
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;si
q>1
,
lim⁡n→+∞qn=+∞\lim\limits_{n \to +\infty}{q^n}=+\inftyn→+∞lim​qn=+∞
.

Démonstration partielle de la propriété

Démonstration pour le cas `q>1`
On rappelle l'inégalité de Bernoulli démontrée en exercice.
\forall a >0
,
∀n∈N\forall n \in \mathbb{N}∀n∈N
,
(1+a)n⩾1+na(1+a)^n \geqslant 1+na(1+a)n⩾1+na
.
Comme
q>1
, il existe un réel 
a>0
tel que
q=1+a
.
D'après l'inégalité de Bernoulli, 
∀n∈N, qn⩾1+na\forall n \in \mathbb{N},\ q^n \geqslant 1+na∀n∈N, qn⩾1+na
.
Comme
a>0
,
lim⁡n→+∞na=+∞\lim\limits_{n \to +\infty}{na}=+\inftyn→+∞lim​na=+∞
 et donc par somme 
lim⁡n→+∞1+na=+∞\lim\limits_{n \to +\infty}{1+na}=+\inftyn→+∞lim​1+na=+∞
.
D'après le théorème de comparaison,
lim⁡n→+∞qn=+∞\lim\limits_{n \to +\infty}{q^n}=+\inftyn→+∞lim​qn=+∞
.

☛ Déterminer un comportement à l'infini

Énoncé 1
Déterminer
lim⁡n→+∞0,3n\lim\limits_{n \to +\infty}0,3^nn→+∞lim​0,3n
 et
lim⁡n→+∞πn\lim\limits_{n \to +\infty}\pi^nn→+∞lim​πn
.
Solution
−1<0,3<1-1<0,3<1−1<0,3<1
 donc
lim⁡n→+∞0,3n=0\lim\limits_{n \to +\infty}0,3^n=0n→+∞lim​0,3n=0
π>1\pi >1π>1
 donc
lim⁡n→+∞πn=+∞\lim\limits_{n \to +\infty}\pi^n=+\inftyn→+∞lim​πn=+∞
Énoncé 2
On considère la suite 
(u_n)
 définie, pour tout entier naturel
n
, par
u_n=125+300 \times 0,8^n
. Déterminer la limite de la suite
(u_n)
.
Solution
-1<0,8<1
 donc
lim⁡n→+∞0,8n=0\lim\limits_{n \to +\infty}0,8^n=0n→+∞lim​0,8n=0
Par produit,
lim⁡n→+∞300×0,8n=0\lim\limits_{n \to +\infty}300 \times 0,8^n=0n→+∞lim​300×0,8n=0
Enfin par somme,
lim⁡n→+∞un=125\lim\limits_{n \to +\infty}u_n=125n→+∞lim​un​=125