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Dans chacun des cas suivants, calculer la limite de la suite

Sommaire

Lever des indéterminations* Dans une somme* Dans un quotient** Théorème des gendarmes et opérations sur les limites
Étudier des suites définies par récurrence* Suite arithmético-géométrique* Avec une fonction exponentielle** Suite homographique** Suite définie par une relation de récurrence et comparaison** Une suite non convergente** Importance du premier terme sur le comportement d'une suite** Tapis de Sierpinski** Suite récurrente linéaire d'ordre 2
*** Vrai ou faux sur les limites de suites (1)*** Vrai ou faux sur les limites de suites (2)*** Prise d'initiative*** Des suites mêlées*** Suite récurrente définie par une fonction décroissante☛ *** Limite d'une somme*** Approximation du nombre d'or - Grand Oral

Lever des indéterminations

* Dans une somme

Dans chacun des cas suivants, calculer la limite de la suite
(u_n)
.
1.
u_n=n^2-5n+7
2.
u_n=4n^3-5n^2+8n+1
3.
u_n=-3n^4+n^3-2n^2-10
4.
u_n=3n-2\sqrt{n}
5. `u_n=5^n-3^n`
6.
u_n=2^n-9^n

* Dans un quotient

Dans chacun des cas suivants, calculer la limite de la suite
(u_n)
.
1.
un=3n2−2n2+n+1u_n=\displaystyle\frac{3n^2-2}{n^2+n+1}un​=n2+n+13n2−2​
2.
un=−2n3+4n+3n+3u_n=\displaystyle\frac{-2n^3+4n+3}{n+3}un​=n+3−2n3+4n+3​
3.
un=n2−5n+12n4−n3+9u_n=\displaystyle\frac{n^2-5n+1}{2n^4-n^3+9}un​=2n4−n3+9n2−5n+1​
4.
un=5en−3en+1u_n=\displaystyle\frac{5\text{e}^n-3}{\text{e}^n+1}un​=en+15en−3​
5.
un=4n−5n2n−3nu_n=\displaystyle\frac{4^n-5^n}{2^n-3^n}un​=2n−3n4n−5n​
(n⩾1)(n \geqslant 1)(n⩾1)

** Théorème des gendarmes et opérations sur les limites

On considère une suite
(u_n)
 telle que, pour tout entier naturel
n
 non nul, on a
5−1n⩽un⩽n3+40,2n3+15-\displaystyle\frac{1}{n}\leqslant u_n \leqslant \displaystyle\frac{n^3+4}{0,2n^3+1}5−n1​⩽un​⩽0,2n3+1n3+4​
.
Déterminer la limite de la suite\((u_n)\).

Étudier des suites définies par récurrence

* Suite arithmético-géométrique

Exercice 1
On considère la suite 
(u_n)
définie par
u0=20u_0 = 20u0​=20
et, pour tout entier naturel 
n
, par
un+1=34un+6.u_{n+1} = \displaystyle\frac{3}{4}u_n + 6.un+1​=43​un​+6.
1. a.Calculer 
u_1
et
u_2
.b.Conjecturer le sens de variation de la suite
(u_n)
.
2. a.Montrer, par récurrence, que, pour tout entier naturel
n
, on a l’inégalité
un⩽un+1⩽24u_n \leqslant u_{n+1}\leqslant 24un​⩽un+1​⩽24
.b.En déduire que la suite
(u_n)
 est convergente.
3.On considère la suite
(v_n)
 définie, pour tout entier naturel
n
, par
v_n=u_n-24
.
    a.Montrer que la suite
(v_n)
 est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
    b.Exprimer, pour tout entier naturel 
nnn
,
vnv_nvn​
 puis
u_n
 en fonction de
n
.c.Calculer la limite de la suite
(u_n)
.
Exercice 2(d'après BAC)
Le directeur d’une réserve marine a recensé
3 0003\,0003000
cétacés dans cette réserve au\(1^{\text{er}}\)juin 2023.
Il est inquiet car il sait que le classement de la zone en « réserve marine » ne sera pas reconduit si le nombre de cétacés de cette réserve devient inférieur à\(2\,000\).
Une étude lui permet d’élaborer un modèle selon lequel, chaque année :
    • entre le\(1^{\text{er}}\)juin et le 31 octobre, 80 cétacés arrivent dans la réserve marine ;
    • entre le\(1^{\text{er}}\) novembre et le 31 mai, la réserve subit une baisse de 5 % de son effectif par rapport à celui du 31 octobre qui précède.
On modélise l’évolution du nombre de cétacés par une suite
(u_n)
. Selon ce modèle, pour tout entier naturel
n
, 
u_n
désigne le nombre de cétacés au
1er1^{\text{er}}1er
juinde l’année
2023+n
. On a donc
u0=3 000u_0=3\,000u0​=3000
.
1.Calculer
u_1
 et
u_2
 et conjecturer la monotonie de la suite
(u_n)
.
2.Justifier que, pour tout entier naturel
n
,
u_{n+1} = 0, 95u_n + 76
.
3. a.Démontrer que, pour tout entier naturel
n
,
un⩾un+1⩾1 520u_n \geqslant u_{n+1} \geqslant 1\,520un​⩾un+1​⩾1520
.b.Justifier que la suite
(u_n)
est convergente.On ne cherchera pas ici la valeur de la limite.
4.On désigne par 
(v_n)
la suite définie par, pour tout entier naturel
n
,
vn=un−1 520v_n = u_n - 1\,520vn​=un​−1520
.a.Démontrer que la suite 
(v_n)
 est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.b.En déduire que, pour tout entier naturel
n
,
un=1480×0,95n+1 520u_n = 1480 \times 0, 95^n + 1\,520un​=1480×0,95n+1520
.c.Déterminer la limite de la suite
(u_n)
.
5. a.Peut-on affirmer que la réserve fermera un jour ses portes ?b.Si oui, écrire un algorithme permettant de connaître, selon ce modèle, l'année de fermeture de la réserve.

* Avec une fonction exponentielle

On considère la suite
(un)(u_n)(un​)
 définie par
u0=0u_0=0u0​=0
 et, pour tout entier naturel
nnn
,
un+1=5−e−unu_{n+1}=5-\text{e}^{-u_n}un+1​=5−e−un​
.
1.Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel
n, un⩽un+1⩽5n,\ u_{n} \leqslant u_{n+1} \leqslant 5n, un​⩽un+1​⩽5
.
2.Que peut-on en déduire pour la suite
(un)(u_n)(un​)
 ?

** Suite homographique

On considère la suite 
(un)\left(u_{n}\right)(un​)
définie par
u0=32u_0=\dfrac{3}{2}u0​=23​
 et, pour tout entier naturel 
n
, par
un+1=5un−42un−1u_{n+1}=\dfrac{5u_{n}-4}{2u_n-1}un+1​=2un​−15un​−4​
.
1.Étudier les variations de la fonction
fff
 définie sur
]12 ; +∞[]\displaystyle\frac{1}{2}\ ;\ +\infty[]21​ ; +∞[
 par
f(x)=5x−42x−1f(x)=\displaystyle\frac{5x-4}{2x-1}f(x)=2x−15x−4​
.
2. a.Démontrer que, pour tout entier naturel
n
, 
1⩽un⩽un+1⩽21\leqslant u_{n}\leqslant u_{n+1}\leqslant21⩽un​⩽un+1​⩽2
.b.Que peut-on en déduire ?
3.Soit
\left(v_{n}\right)
 la suite définie sur
\mathbb N
 par
vn=un−1un−2v_n=\dfrac{u_n-1}{u_n-2}vn​=un​−2un​−1​
.a.Démontrer que la suite
\left(v_{n}\right)
 est géométrique de raison 3.b.Déterminer le terme général de la suite
\left(v_{n}\right)
.
    c.Exprimer
u_n
 en fonction de
v_n
.d.En déduire que
∀n∈N, un=2×3n+13n+1\forall n\in\mathbb{N},\,u_n =\dfrac{2\times3^{n}+1}{3^{n}+1}∀n∈N,un​=3n+12×3n+1​
.
4.Déterminer la limite de la suite
(un)\left(u_{n}\right)(un​)
.

** Suite définie par une relation de récurrence et comparaison

On considère la suite
(u_n)
définie par 
u_0=1
et, pour tout entier naturel
n
, par
u_{n+1} = 2u_n - n + 3.
1.Calculer 
u_1
et
u_2
.
2.a.Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel
n
,
un⩾nu_n \geqslant nun​⩾n
.b.En déduire que la suite
(u_n)
 est croissante.
3.Déterminer la limite de la suite
(u_n)
.
4.Dans cette question, on cherche à déterminer le plus petit entier naturel 
n
pour lequel
un⩾2024u_n \geqslant 2024un​⩾2024
.a.Expliquer rapidement pourquoi cet entier existe.b.Écrire un algorithme en Python afin de répondre au problème posé.

** Une suite non convergente

On considère la suite
(u_n)
 définie par
u_0=0
 et, pour tout entier naturel
n
,
u_{n+1}=f(u_n)
 où
f
est la fonction définie sur
\mathbb{R}
 par
f(x)=x+\text{e}^{-x}
.
1.Étudier la monotonie de la suite
(u_n)
.
2.On admet que, si la suite converge vers un réel
ℓ\ellℓ
, alors
ℓ\ellℓ
 est une solution de l'équation
f(x)=x
.   a.Montrer que la suite
(u_n)
 n'est pas majorée.b.En déduire la limite de la suite
(u_n)
.

** Importance du premier terme sur le comportement d'une suite

On considère la fonction 
f
définie sur 
\mathbb{R}
par 
f(x)=12x2−x+32f(x)=\displaystyle\frac{1}{2}x^2-x+\displaystyle\frac{3}{2}f(x)=21​x2−x+23​
.
Soit 
a
un réel positif. On définit la suite 
(u_n)
définie par 
u_0=a
et, pour tout entier naturel
n
, par
u_{n+1}=f(u_n)
.
Le but de cet exercice est d’étudier le comportement de la suite 
(u_n)
lorsque 
n
tend vers
+\infty
, suivant différentes valeurs de son premier terme.
1.À l’aide de la calculatrice, conjecturer le comportement de la suite 
(u_n)
lorsque 
n
tend vers
+\infty
, pour 
a=2,9
puis pour
a=3,1
.
2.Dans cette question, on suppose que la suite 
(u_n)
converge vers un réel
ℓ\ellℓ
 et on admet qu'alors
ℓ\ellℓ
 est solution de l'équation
f(x)=x
. Déterminer les valeurs possibles pour
ℓ\ellℓ
.
3.Dans cette question, on prend 
a=2,9
.
    a.Montrer que
f
est croissante sur l’intervalle
[1;+\infty[
.b.Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel
n
, on a
1⩽un+1⩽un1 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n1⩽un+1​⩽un​
.c.Montrer que 
(u_n)
converge et déterminer sa limite.
4.Dans cette question, on prend
a=3,1
 et on admet que la suite 
(u_n)
est croissante.a.À l’aide des questions précédentes, montrer que la suite 
(u_n)
n’est pas majorée.b.En déduire le comportement de la suite 
(u_n)
lorsque 
n
tend vers
+∞+\infty+∞
.

** Tapis de Sierpinski

Sur ce fichier GeoGebra, on peut faire varier
nnn
.
On considère un carré de côté de longueur une unité. 
On divise alors ce carré en neuf carrés identiques et on colorie le carré central. 
Les huit carrés restants sont à leur tour divisés et coloriés selon le même procédé.
Pour tout entier naturel
n
, on note
A_n
 l'aire totale coloriée après la
n
-ièmeétape.
1.Montrer que, pour tout entier naturel
n
,
An+1=89An+19A_{n+1}=\displaystyle\frac{8}{9}A_n+\displaystyle\frac{1}{9}An+1​=98​An​+91​
.
2.Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel
n
,
An=1−(89)nA_n=1-\left(\displaystyle\frac{8}{9}\right)^nAn​=1−(98​)n
.
3.En déduire la limite de la suite
(A_n)
.
Remarque
Ce procédé de construction permet de générer un objet fractale appeléTapis de Sierpinskidu nom du mathématicien polonais.

** Suite récurrente linéaire d'ordre 2

Soit
(un)\left(u_{n}\right)(un​)
 la suite définie par
u_0=0
,
u_1=7
 et, pour tout
n∈Nn\in \mathbb Nn∈N
, par
6un+2=2un−un+16u_{n+2}=2u_n-u_{n+1}6un+2​=2un​−un+1​
.
1.Calculer
u_2
.
2.Soit
\left(s_{n}\right)
 la suite définie pour tout entier naturel 
n
par
s_n=3u_{n+1}+2u_n
.
    a.Démontrer que la suite
\left(s_{n}\right)
 est géométrique de raison
12\dfrac {1}{2}21​
. Préciser son premier terme.b.En déduire, pour tout entier naturel 
nnn
, l'expression de
s_n
 en fonction de
n
.
3.Pour tout entier naturel 
n
, on pose
v_n=u_n-2u_{n+1}
.a.Démontrer que la suite
\left(v_{n}\right)
 est géométrique. Préciser sa raison et son premier terme.b.En déduire, pour tout entier naturel 
nnn
, l'expression de
v_n
 en fonction de
n
.
4.Déduire des questions 2.b. et 3.b. que, pour tout entier naturel
nnn
,
un=6(12)n−6(−23)nu_{n}=6\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}-6\left(\dfrac{-2}{3}\right)^{n}un​=6(21​)n−6(3−2​)n
.
5.Déterminer la limite de la suite
(un)\left(u_{n}\right)(un​)
.

*** Vrai ou faux sur les limites de suites (1)

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Justifier la réponse.
1.Si une suite est croissante et majorée par 2, alors elle converge vers 2.
2.Toute suite convergente est bornée.
3.Toute suite bornée est convergente.
4.Toute suite non majorée tend vers
+\infty
.
5.Si une suite converge vers
-1
, alors ses termes sont négatifs à partir d'un certain rang.

*** Vrai ou faux sur les limites de suites (2)

Soit
(un)\left(u_{n}\right)(un​)
 une suite définie sur
N\mathbb NN
et dont aucun terme n'est nul. On définit alors la suite
\left(v_{n}\right)
sur
N\mathbb NN
par 
vn=−3unv_n=\dfrac{-3}{u_n}vn​=un​−3​
.
Répondre par vrai ou faux à chacune des affirmations ci-dessous en justifiant avec précision.
1.Si
(un)\left(u_{n}\right)(un​)
 est convergente, alors
\left(v_{n}\right)
 est convergente.
2.Si
(un)\left(u_{n}\right)(un​)
 est divergente, alors
\left(v_{n}\right)
 est convergente vers 0.
3.Si
(un)\left(u_{n}\right)(un​)
 est croissante, alors
\left(v_{n}\right)
 est croissante.
4.Si
(un)\left(u_{n}\right)(un​)
 est minorée par 1, alors
\left(v_{n}\right)
 est minorée par
-3
.
5.Si
(vn)\left(v_{n}\right)(vn​)
 est minorée par 
-3
, alors
\left(u_{n}\right)
 est minorée par 1.

*** Prise d'initiative

On considère la suite 
(un)\left(u_{n}\right)(un​)
définie par
u_1=1
 et, pour tout entier naturel 
n
non nul, par
un+1=nun+4n+1u_{n+1}=\dfrac{nu_{n}+4}{n+1}un+1​=n+1nun​+4​
.
Étudier la convergence de la suite
(un)\left(u_{n}\right)(un​)
.

*** Des suites mêlées

On considère les deux suites 
\left(u_{n}\right)
et 
\left(v_{n}\right)
définies par
u_0=1
,
v_0=4
 et, pour tout entier naturel
n
, par
un+1=un+vn2u_{n+1}=\dfrac{u_{n}+v_{n}}{2}un+1​=2un​+vn​​
 et 
vn+1=un+1+vn2v_{n+1}=\dfrac{u_{n+1}+v_{n}}{2}vn+1​=2un+1​+vn​​
.
1.Calculer
u_1
,
v_1
,
u_2
 et
v_2
.
2.Soit
\left(w_{n}\right)
 la suite définie pour tout entier naturel
n
 par
w_n=v_n-u_n
.
    a.Montrer que la suite 
\left(w_{n}\right)
est une suite géométrique de raison
14\dfrac{1}{4}41​
.b.Exprimer, pour tout entier naturel 
nnn
,
wnw_nwn​
 en fonction de 
n
et préciser la limite de la suite
\left(w_{n}\right)
.
3.Soit
\left(t_{n}\right)
 la suite définie, pour tout entier naturel
n
, par
tn=un+2vn3t_{n}=\dfrac{u_{n}+2v_{n}}{3}tn​=3un​+2vn​​
.a.Démontrer que la suite 
\left(t_{n}\right)
est constante.b.En déduire, pour tout entier naturel 
nnn
, les expressions de
u_n
 et
v_n
 en fonction de
n
.

*** Suite récurrente définie par une fonction décroissante

On considère la suite
(u_n)
 définie par
u_0=0
et, pour tout entier naturel 
n
, par 
un+1=−23un+5u_{n+1}=-\displaystyle\frac{2}{3}u_n+5un+1​=−32​un​+5
.
Sur le graphique ci-dessous, on a tracé la droite
(d)
 représentant la fonction
f
 définie sur
\mathbb{R}
 par
f(x)=−23x+5f(x)=-\displaystyle\frac{2}{3}x+5f(x)=−32​x+5
 ainsi que la droite
(Δ)(\Delta)(Δ)
 d'équation
y=x
.
1. a.Sur le graphique précédent, représenter les premiers termes de la suite
(u_n)
.b.Quelle conjecture peut-on faire sur la monotonie de
(u_n)
 ?Sur sa convergence ?c.On considère la suite
(v_n)
 formée des termes de rang pair. Ainsi
\forall n \in \mathbb{N}
,
v_n=u_{2n}
. Que peut-on conjecturer sur la monotonie de
(v_n)
 ?Sur sa convergence ?d.On considère la suite
(w_n)
 formée des termes de rang impair. Ainsi
\forall n \in \mathbb{N}
,
w_n=u_{2n+1}
. Que peut-on conjecturer sur la monotonie de
(w_n)
 ?Sur sa convergence ?
2. a.Calculer
v_0
 et
v_1
.b.Montrer que
\forall n \in \mathbb{N}
,
vn+1=49vn+53v_{n+1}=\displaystyle\frac{4}{9}v_n+\displaystyle\frac{5}{3}vn+1​=94​vn​+35​
.c.Montrer que
\forall n \in \mathbb{N}
,
vn⩽vn+1⩽3v_n \leqslant v_{n+1} \leqslant 3vn​⩽vn+1​⩽3
.d.En déduire que la suite
(v_n)
 converge et calculer sa limite.
3. a.Calculer
w_0
 et
w_1
.b.En prenant modèle sur la question2., montrer que la suite
(w_n)
 est convergente et calculer sa limite.
4.Conclure quant à la convergence de la suite
(u_n)
.

☛ *** Limite d'une somme

Énoncé
Soit
(un)\left(u_{n}\right)(un​)
 la suite définie pour tout
n∈N∗n\in \mathbb N^*n∈N∗
 par 
un=∑k=1nnk+n2=n1+n2+n2+n2+...+nn+n2u_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{n}{k+n^2}=\dfrac{n}{1+n^2}+\dfrac{n}{2+n^2}+...+\dfrac{n}{n+n^2}un​=k=1∑n​k+n2n​=1+n2n​+2+n2n​+...+n+n2n​
.
1.Calculer
u_1
 et
u_2
.
2. a.Combien y a-t-il de termes dans cette somme ? Quel est le plus petit ? Le plus grand ?b.En déduire que, pour 
∀n∈N∗\forall n\in \mathbb N^*∀n∈N∗
,
n2n+n2⩽un⩽n21+n2\dfrac{n^{2}}{n+n^{2}}\leqslant u_{n}\leqslant\dfrac{n^{2}}{1+n^{2}}n+n2n2​⩽un​⩽1+n2n2​
.
    c.Calculer
lim⁡n→+∞un\underset{n\rightarrow+\infty}{\lim}u_{n}n→+∞lim​un​
.
Solution
1.
u1=11+12u_1=\displaystyle\frac{1}{1+1^2}u1​=1+121​
 soit
u1=12u_1=\displaystyle\frac{1}{2}u1​=21​
.
u2=21+22+22+22u_2=\displaystyle\frac{2}{1+2^2}+\displaystyle\frac{2}{2+2^2}u2​=1+222​+2+222​
 soit
u2=1115u_2=\displaystyle\frac{11}{15}u2​=1511​
.
2. a.La somme comporte
nnn
 termes.
Le plus petit terme de la somme est le dernier, c'est-à-dire
nn+n2\displaystyle\frac{n}{n+n^2}n+n2n​
.
Le plus grand terme de la somme est le premier, c'est-à-dire
n1+n2\displaystyle\frac{n}{1+n^2}1+n2n​
.b.Soit
nnn
 un entier naturel non nul.
D'après ce qui précède, pour tout entier naturel
kkk
 compris entre
111
 et
nnn
, on a  
nn+n2⩽nk+n2⩽n1+n2\displaystyle\frac{n}{n+n^2} \leqslant \displaystyle\frac{n}{k+n^2} \leqslant \displaystyle\frac{n}{1+n^2}n+n2n​⩽k+n2n​⩽1+n2n​
.
En sommant membre à membre les
nnn
 inégalités précédentes, on obtient l'inégalité demandée.c.Pour tout entier naturel 
nnn
 non nul,
n2n+n2=11n+1\displaystyle\frac{n^2}{n+n^2} = \displaystyle\frac{1}{\frac{1}{n}+1}n+n2n2​=n1​+11​
 et
n21+n2=11n2+1\displaystyle\frac{n^2}{1+n^2} = \displaystyle\frac{1}{\frac{1}{n^2}+1}1+n2n2​=n21​+11​
.
lim⁡n→+∞(11n+1)=1\lim\limits_{n \to +\infty} \left(\displaystyle\frac{1}{\frac{1}{n}+1}\right)=1n→+∞lim​(n1​+11​)=1
 et
lim⁡n→+∞(11n2+1)=1\lim\limits_{n \to +\infty} \left(\displaystyle\frac{1}{\frac{1}{n^2}+1}\right)=1n→+∞lim​(n21​+11​)=1
donc, d'après le théorème des gendarmes, 
lim⁡n→+∞un=1\underset{n\rightarrow+\infty}{\lim}u_{n}=1n→+∞lim​un​=1
.

*** Approximation du nombre d'or - Grand Oral

On considère la suite
(un)(u_n)(un​)
 définie par
u0=1u_0=1u0​=1
et, pour tout entier naturel
n,n,n,
par
un+1=1+unu_{n+1}=\sqrt{1+u_n}un+1​=1+un​​
. On admet que les termes de la suite sont tous définis et positifs.
1. a.Montrer que la suite
(un)(u_n)(un​)
 est croissante et majorée par 3.b.Montrer que la suite
(un)(u_n)(un​)
 converge vers un réel
ℓ\ellℓ
.
2. a.Résoudre dans
R\mathbb{R}R
 l'équation
x2=x+1x^2=x+1x2=x+1
.b. On admet que
ℓ\ellℓ
 est solution de l'équation
(E):x=1+x(E):x=\sqrt{1+x}(E):x=1+x​
.  Déterminer la valeur de
ℓ\ellℓ
.
Cette valeur limite est appelée nombre d'or et notée
Φ\PhiΦ
.
3.Une propriété géométrique de \(\Phi\)
On considère un rectangle
ABCD\text{ABCD}ABCD
 de longueur
LLL
 et de largeur
lll
 de format
Ll=Φ\displaystyle\frac{L}{l}=\PhilL​=Φ
. On construit dans ce rectangle le carré
EBCF\text{EBCF}EBCF
 de côté
lll
.
Montrer que le rectangle
AEFD\text{AEFD}AEFD
 est aussi de format
Φ\PhiΦ
.