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☆ À n'ouvrir qu'en cas d'urgence ☆

1. a.On pourra s'intéresser au sens de variation de la suite

Sommaire

⚒ Convergence des suites adjacentes☛ e - Corrigé⚒ e est irrationnel

⚒ Convergence des suites adjacentes

1. a.On pourra s'intéresser au sens de variation de la suite
(vn−un)\left(v_{n}-u_n\right)(vn​−un​)
.

☛ e - Corrigé

Solution
1.a. \(\displaystyle f(x) = \sum_{k=0}^n\dfrac{x^k}{k!}\text e^{-x}=\text e^{-x}\left(1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\ldots+\dfrac{x^n}{n!}\right)\). 
On en déduit que
f(0)=1f(0)=1f(0)=1
.
    b. \(\displaystyle f(1)=\sum_{k=0}^n\dfrac{1}{k!}e^{-1}\) donc 
f(1)=une−1=unef(1) =u_n\text e^{-1}=\dfrac{u_n}{\text e}f(1)=un​e−1=eun​​
.
2.a.
fff
est dérivable sur 
[0;1][0;1][0;1]
et 
f′(x)=−e−x∑k=0nxkk!+e−x∑k=1nkxk−1k!=(−∑k=0nxkk!+∑k=1nxk−1(k−1)!)e−x=(−∑k=0nxkk!+∑k=0n−1xkk!)e−x=−xnn!e−x\displaystyle \begin{align}f^{\prime}(x) &= -\text e^{-x}\sum_{k=0}^n \dfrac{x^k}{k!}+\text e^{-x}\sum_{k=1}^n k\dfrac{x^{k-1}}{k!} \\ &=\left( -\sum_{k=0}^n \dfrac{x^k}{k!} +\sum_{k=1}^n\dfrac{x^{k-1}}{(k-1)!}\right)\text e^{-x} \\ &=\left( -\sum_{k=0}^n \dfrac{x^k}{k!} +\sum_{k=0}^{n-1}\dfrac{x^{k}}{k!}\right)\text e^{-x} \\ &= -\dfrac{x^n}{n!}\text e^{-x}\end{align}f′(x)​=−e−xk=0∑n​k!xk​+e−xk=1∑n​kk!xk−1​=(−k=0∑n​k!xk​+k=1∑n​(k−1)!xk−1​)e−x=(−k=0∑n​k!xk​+k=0∑n−1​k!xk​)e−x=−n!xn​e−x​​
f′(0)=0f^\prime(0)=0f′(0)=0
 et pour tout réel 
x∈]0;1]x\in]0;1]x∈]0;1]
,
f′(x)<0f^\prime(x)<0f′(x)<0
. La fonction 
fff
est donc strictement décroissante sur
[0;1][0;1][0;1]
.
    b.Comme 
fff
est strictement décroissante sur
[0;1][0;1][0;1]
, alors 
f(0)>f(1)f(0)>f(1)f(0)>f(1)
donc 
1>une1>\dfrac{u_n}{\text e}1>eun​​
soit enfin
un<eu_n<\text eun​<e
.
3. a.
ggg
 est dérivable sur 
[0;1][0;1][0;1]
et
g′(x)=f′(x)+1n!=−xnn!e−x+1n!=1−xne−xn!\begin{align}g^\prime(x) &= f^\prime(x)+\dfrac{1}{n!} \\ &= -\dfrac{x^n}{n!}\text e^{-x}+ \dfrac{1}{n!} \\ &=\dfrac{1-x^n\text e^{-x}}{n!} \end{align}g′(x)​=f′(x)+n!1​=−n!xn​e−x+n!1​=n!1−xne−x​​​
Pour tout réel
x∈[0;1]x\in[0;1]x∈[0;1]
, 
xn⩽1x^n\leqslant1xn⩽1
et 
e−x⩽1\text e^{-x}\leqslant1e−x⩽1
donc 
xne−x⩽1x^n\text e^{-x}\leqslant1xne−x⩽1
et par suite
g′(x)⩾0g^\prime(x)\geqslant0g′(x)⩾0
.
Remarque
On peut noter que 
g′(x)=0  ⟺  xne−x=1g^\prime(x)=0\iff x^n\text e^{-x}=1g′(x)=0⟺xne−x=1
et que cette équation n'a pas de solution sur 
[0;1][0;1][0;1]
(en effet, les deux termes du produit sont compris entre 
000
et 
111
mais ne prennent pas la valeur 
111
en même temps).
Donc 
g′(x)>0g^\prime(x)>0g′(x)>0
et 
ggg
est strictement croissante sur
[0;1][0;1][0;1]
.
    b.On en déduit que 
g(0)<g(1)g(0)<g(1)g(0)<g(1)
4.Des questions
2b2b2b
 et
3b3b3b
, on déduit l'encadrement 
e<un<(1−1n!)e\text e<u_n<\left( 1-\dfrac{1}{n!} \right)\text ee<un​<(1−n!1​)e
Comme 
lim⁡n→+∞1n!=0\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}\dfrac{1}{n!}=0n→+∞lim​n!1​=0
, alors
lim⁡n→+∞(1−1n!)e=e\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}\left(1- \frac{1}{n!} \right)\text e=\text en→+∞lim​(1−n!1​)e=e
. Donc, d'après le théorème des gendarmes,
lim⁡n→+∞un=e\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}u_n=\text en→+∞lim​un​=e
.
On a donc montré que 
lim⁡n→+∞∑k=0n1k!=e\displaystyle { \lim\limits_{n \rightarrow +\infty}\sum_{k=0}^n \dfrac{1}{k!}=\text e}n→+∞lim​k=0∑n​k!1​=e
.
Remarque
De façon plus générale, on peut montrer que
lim⁡n→+∞∑k=0nxkk!=ex\displaystyle { \lim\limits_{n \rightarrow +\infty}\sum_{k=0}^n \dfrac{x^k}{k!}=\text e^x}n→+∞lim​k=0∑n​k!xk​=ex
.

⚒ e est irrationnel

1.Si une suite est strictement croissante et converge vers
ℓ\ellℓ
, alors tous les termes de la suite sont strictement inférieurs à
ℓ\ellℓ
.
4.Le nombre
∑k=0qq!k!\displaystyle\sum_{k=0}^q\dfrac{q!}{k!}k=0∑q​k!q!​
 est un entier.