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Exercices vers le supérieur

 la suite définie pour tout

Sommaire

Croissances comparéespi carré sur 60,999... est-il égal à 1 ?Valeur absolue et convergence☆ Convergence des suites adjacentes☆ e☆ e est irrationnel

Croissances comparées

Soit
(un)\left(u_{n}\right)(un​)
 la suite définie pour tout
n∈N∗n\in \mathbb N^*n∈N∗
 par
un=nnn!u_n=\dfrac{n^{n}}{n!}un​=n!nn​
.
1. a.Montrer que
∀n∈N∗\forall n\in\mathbb{N}^{*}∀n∈N∗
,
un+1−un=(n+1)n−nnn!u_{n+1}-u_n=\dfrac{(n+1)^{n}-n^{n}}{n!}un+1​−un​=n!(n+1)n−nn​
.b.En déduire le sens de variations de la suite
(un)\left(u_{n}\right)(un​)
.
2.a.En écrivant
u_n
 sous la forme 
un=∏k=1nnku_n=\displaystyle\prod_{k=1}^n\dfrac{n}{k}un​=k=1∏n​kn​
, démontrer que
un⩾nu_n\geqslant nun​⩾n
.b.En déduire la limite de la suite
\left(u_{n}\right)
.

pi carré sur 6

Soit
(un)\left(u_{n}\right)(un​)
 la suite définie pour tout
n∈N∗n\in \mathbb N^*n∈N∗
 par
un=∑k=1n1k2=112+122+...+1n2u_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k^2}=\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}+...+\dfrac{1}{n^2}un​=k=1∑n​k21​=121​+221​+...+n21​
.
1.Calculer
u_1
 et
u_2
.
2. a.Démontrer que la suite
(un)\left(u_{n}\right)(un​)
 est croissante.b.Démontrer par récurrence que,
∀n∈N∗\forall n\in \mathbb N^*∀n∈N∗
,
un⩽2−1nu_{n}\leqslant2-\dfrac{1}{n}un​⩽2−n1​
.c.En déduire que la suite est convergente vers un réel
ℓ\ellℓ
.
Remarque
On peut démontrer que 
ℓ=π26\ell=\dfrac{\pi^2}{6}ℓ=6π2​
. On dit alors que la série
∑k⩾11k2\displaystyle\sum_{k\geqslant1}\dfrac{1}{k^2}k⩾1∑​k21​
 est convergente et on écrit
∑k=1+∞1k2=π26\displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty}\dfrac{1}{k^2}=\dfrac{\pi^2}{6}k=1∑+∞​k21​=6π2​
.

0,999... est-il égal à 1 ?

On définit la suite
\left(u_{n}\right)
 de la façon suivante: 
u_0=0
 ;
u_1=0,9
 ;
u_2=0,99
 ;
u_n=0,99...9
 (
n
 fois le chiffre 9). 
1.Déterminer, pour tout entier naturel
nnn
 non nul, une relation entre
unu_nun​
 et
un−1u_{n-1}un−1​
.
2.On pose, pour tout entier naturel
k
 non nul,
v_k=u_{k}-u_{k-1}
.a.Démontrer que
∑k=1nvk=un\displaystyle\sum_{k=1}^nv_{k}=u_{n}k=1∑n​vk​=un​
.b.Calculer
∑k=1n9×10−k\displaystyle\sum_{k=1}^n 9\times10^{-k}k=1∑n​9×10−k
.
3.Peut-on affirmer que 0,999... = 1 ?

Valeur absolue et convergence

Soit
\alpha
 un réel.
On considère une suite
(u_n)
qui vérifie la condition suivante : il existe un réel
k
 avec
0<k<10 < k<10<k<1
 tel que, pour tout entier naturel
n
,
∣un+1−α∣⩽k∣un−α∣\left|u_{n+1}-\alpha\right|\leqslant k \left|u_n-\alpha\right|∣un+1​−α∣⩽k∣un​−α∣
.
1.Montrer que, pour tout entier naturel
n
,
∣un−α∣⩽kn∣u0−α∣\left|u_n-\alpha\right|\leqslant k^n \left|u_0-\alpha \right|∣un​−α∣⩽kn∣u0​−α∣
.
2.En déduire que la suite
(u_n)
 converge et déterminer sa limite.

☆ Convergence des suites adjacentes

On dit que deux suites
(un)\left(u_{n}\right)(un​)
 et
\left(v_{n}\right)
 sont adjacentes si l'une est croissante, l'autre décroissante et si
lim⁡n→+∞(vn−un)=0\underset{n\rightarrow+\infty}{\lim}\left(v_{n}-u_{n}\right)=0n→+∞lim​(vn​−un​)=0
.
L'objectif de cet exercice est de démontrer que deux suites adjacentes sont convergentes et ont la même limite.
On suppose que
(un)\left(u_{n}\right)(un​)
 est croissante,
\left(v_{n}\right)
 décroissante et
lim⁡n→+∞(vn−un)=0\underset{n\rightarrow+\infty}{\lim}\left(v_{n}-u_{n}\right)=0n→+∞lim​(vn​−un​)=0
.
1. a.Démontrer que, pour tout entier naturel
n
,
un⩽v0u_n\leqslant v_0un​⩽v0​
.b.En déduire que
(un)\left(u_{n}\right)(un​)
 est convergente.
2.Démontrer que
\left(v_{n}\right)
 est convergente.
3.Conclure.
4.Applicationa.Démontrer que les suites 
(un)\left(u_{n}\right)(un​)
 et
\left(v_{n}\right)
 définies pour tout
n∈N∗n\in\mathbb{N}^{*}n∈N∗
 par 
un=∑k=0n1k!u_{n}=\displaystyle \sum _{k=0}^n\dfrac{1}{k!}un​=k=0∑n​k!1​
 et
vn=un+1n×n!v_{n}=u_{n}+\dfrac{1}{n \times n!}vn​=un​+n×n!1​
 sont adjacentes.b.Que peut-on en déduire pour la suite\(\left(\displaystyle \sum _{k=0}^n\dfrac{1}{k!}\right)\) ?

☆ e

On sait que la suite
(un)\left(u_{n}\right)(un​)
 définie sur
N∗\mathbb N^*N∗
 par
un=∑k=0n1k!u_n=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dfrac{1}{k!}un​=k=0∑n​k!1​
 est convergente. L'objectif est de démontrer que cette suite tend vers
e\text ee
.
Soit
n∈N∗n\in\mathbb{N}^{*}n∈N∗
. On pose
f
 la fonction définie sur
[0;1]
 par
f(x)=∑k=0nxkk!e−xf(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^n\dfrac{x^{k}}{k!}\text e^{-x}f(x)=k=0∑n​k!xk​e−x
.
1.a.Calculer
f(0)
.b.Exprimer
f(1)f(1)f(1)
 en fonction de
u_n
.
2. a.Démontrer que
f
 est strictement décroissante sur
[0 ; 1]\left[0\ ;\ 1\right][0 ; 1]
.b.En déduire que, pour tout
n∈N∗n\in\mathbb N^*n∈N∗
,
un<eu_n<\text eun​<e
.
3.Soit
g
 la fonction définie sur
[0 ; 1]\left[0\ ;\ 1\right][0 ; 1]
 par
g(x)=f(x)+xn!g(x)=f(x)+\dfrac{x}{n!}g(x)=f(x)+n!x​
.a.Démontrer que
ggg
 est strictement croissante sur
[0 ; 1]\left[0\ ;\ 1\right][0 ; 1]
.b.En déduire que, pour tout
n∈N∗n\in\mathbb N^*n∈N∗
,
un>(1−1n!)eu_n>\left(1-\dfrac{1}{n!}\right)\text eun​>(1−n!1​)e
.
4.En déduire la limite de la suite
(un)\left(u_{n}\right)(un​)
.
Remarque
On dit que la série
∑k⩾01k!\displaystyle\sum_{k\geqslant 0}\dfrac{1}{k!}k⩾0∑​k!1​
 est convergente et on écrit :
∑k=0+∞1k!=e\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{1}{k!}=\text ek=0∑+∞​k!1​=e
.

☆ e est irrationnel

On sait que la suite
(un)\left(u_{n}\right)(un​)
 définie par 
un=∑k=0n1k!u_n=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dfrac{1}{k!}un​=k=0∑n​k!1​
est convergente vers
e\text ee
. L'objectif est de montrer que
e\text ee
 est irrationnel. On suppose que 
e\text ee
est rationnel, c'est-à-dire qu'il existe deux entiers non nuls
p
et 
q
tels que
e=pq\text e=\dfrac {p}{q}e=qp​
.
1.Démontrer que
uq<pq<vqu_{q}<\dfrac{p}{q}<v_{q}uq​<qp​<vq​
2.En déduire que
q∑k=0qq!k!<pq!<q∑k=0qq!k!+1q\displaystyle\sum_{k=0}^q\dfrac{q!}{k!}<pq!<q\displaystyle\sum_{k=0}^q\dfrac{q!}{k!}+1qk=0∑q​k!q!​<pq!<qk=0∑q​k!q!​+1
3.Démontrer que, pour tout entier
k
 tel que\(0\leqslant k\leqslant q\), le nombre 
q!k!\dfrac {q!}{k!}k!q!​
 est un entier.
4.Conclure.