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Limite en l'infini

    • Si tout intervallede la forme

Sommaire

Limite infinieLimites en plus l'infiniLimites en moins l'infiniLimites de référence
Limite finieLimite en plus l'infiniLimite en moins l'infiniUnicité de la limiteAsymptote parallèle à l'axe des abscissesLimites de référence
Lien avec les suitesLimite d'une suite explicite

Limite finie

Limite en plus l'infini

DéfinitionLimite en\(+\infty\)
Soit 
α\alphaα
 un réel et 
fff
une fonction définie sur
[α ;+∞[[\alpha \ ; +\infty[[α ;+∞[
.
Soit
ℓ\ellℓ
 un réel.
Si tout intervalle ouvert contenant
ℓ\ellℓ
 contient toutes les valeurs de 
f(x)f(x)f(x)
pour 
xxx
suffisamment grand, on dit que
fff
 a pour limite 
ℓ\ellℓ
 en 
+∞+\infty+∞
et on écrit
lim⁡x→+∞f(x)=ℓ\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=\ellx→+∞lim​f(x)=ℓ
.

Lien avec les suites

Limite d'une suite explicite

Propriété
Soit
α\alphaα
 un réel et
fff
 une fonction définie sur
[α ;+∞[[\alpha\ ;+\infty[[α ;+∞[
.
Si
lim⁡x→+∞f(x)=β\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=\betax→+∞lim​f(x)=β
 (où
β\betaβ
 peut-être remplacé par un réel,
−∞-\infty−∞
 ou
+∞+\infty+∞
), alors la suite
(un)(u_n)(un​)
 définie, éventuellement à partir d'un certain rang, par
un=f(n)u_n=f(n)un​=f(n)
 a pour limite
β\betaβ
.
Exemple
lim⁡x→+∞x2=+∞\lim\limits_{x \to +\infty}x^2=+\inftyx→+∞lim​x2=+∞
 donc

Limite infinie

Limites en plus l'infini

Définitions
Soit 
\alpha
 un réel et
f
 une fonction définie sur
[α  ; +∞[[\alpha~\ ;\ +\infty[[α  ; +∞[
.
    • Si tout intervallede la forme
[A ;+∞[[A\ ;+\infty[[A ;+∞[
(où\(A\)est un réel) contient toutes les valeurs de
f(x)f(x)f(x)
pour 
xxx
suffisamment grand, on dit que
fff
a pour limite
+\infty
 en
+\infty
 et on écrit
lim⁡x→+∞f(x)=+∞\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=+\inftyx→+∞lim​f(x)=+∞
.
    • Si tout intervalle de la forme
]−∞ ; A]]-\infty \ ; \ A]]−∞ ; A]
 (où
AAA
 est un réel) contient toutes les valeurs de
f(x)f(x)f(x)
pour 
xxx
suffisamment grand, on dit que
fff
a pour limite
-\infty
 en
+\infty
 et on écrit
lim⁡x→+∞f(x)=−∞\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=-\inftyx→+∞lim​f(x)=−∞
.

Limites en moins l'infini

Définitions
Soit 
\alpha
 un réel et
f
 une fonction définie sur
]−∞ ;α]]-\infty\ ;\alpha]]−∞ ;α]
.
    • Si tout intervalle de la forme
[A ;+∞[[A\ ;+\infty[[A ;+∞[
(où\(A\)est un réel) contient toutes les valeurs de
f(x)f(x)f(x)
 pour 
xxx
prenant des valeurs négatives de valeur absolue suffisamment grande, on dit que
fff
 a pour limite
+∞+\infty+∞
 en
−∞-\infty−∞
 et on écrit
lim⁡x→−∞f(x)=+∞\lim\limits_{x \to -\infty}f(x)=+\inftyx→−∞lim​f(x)=+∞
.
    • Si tout intervalle de la forme
]−∞ ; A]]-\infty \ ; \ A]]−∞ ; A]
 (où
AAA
 est un réel) contient toutes les valeurs de
f(x)f(x)f(x)
pour
xxx
prenant des valeurs négatives de valeur absolue suffisamment grande, on dit que 
fff
a pour limite
-\infty
 en
-\infty
  et on écrit
lim⁡x→−∞f(x)=−∞\lim\limits_{x \to -\infty}f(x)=-\inftyx→−∞lim​f(x)=−∞
.

Limites de référence

PropriétéFonctions affines
    • Si
m>0m>0m>0
 et
p∈Rp \in \mathbb{R}p∈R
, alors
lim⁡x→−∞(mx+p)=−∞\lim\limits_{x \to -\infty}(mx+p)=-\inftyx→−∞lim​(mx+p)=−∞
 et 
lim⁡x→+∞(mx+p)=+∞\lim\limits_{x \to +\infty}(mx+p)=+\inftyx→+∞lim​(mx+p)=+∞
 .
    • Si
m<0m<0m<0
 et
p∈Rp \in \mathbb{R}p∈R
, alors
lim⁡x→−∞(mx+p)=+∞\lim\limits_{x \to -\infty}(mx+p)=+\inftyx→−∞lim​(mx+p)=+∞
 et 
lim⁡x→+∞(mx+p)=−∞\lim\limits_{x \to +\infty}(mx+p)=-\inftyx→+∞lim​(mx+p)=−∞
 .
Exemples
lim⁡x→−∞(4x−9)=−∞\lim\limits_{x \to -\infty}(4x-9)=-\inftyx→−∞lim​(4x−9)=−∞
 et
lim⁡x→+∞(4x−9)=+∞\lim\limits_{x \to +\infty}(4x-9)=+\inftyx→+∞lim​(4x−9)=+∞
.
lim⁡x→−∞(−3x+7)=+∞\lim\limits_{x \to -\infty}(-3x+7)=+\inftyx→−∞lim​(−3x+7)=+∞
 et
lim⁡x→+∞(−3x+7)=−∞\lim\limits_{x \to +\infty}(-3x+7)=-\inftyx→+∞lim​(−3x+7)=−∞
.
PropriétéFonctions puissances
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Si
nnn
 est un entier naturel pair non nul, alors
lim⁡x→−∞xn=+∞\lim\limits_{x \to -\infty}x^n=+\inftyx→−∞lim​xn=+∞
 et 
lim⁡x→+∞xn=+∞\lim\limits_{x \to +\infty}x^n=+\inftyx→+∞lim​xn=+∞
.
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Si
nnn
 est un entier naturel impair, alors
lim⁡x→−∞xn=−∞\lim\limits_{x \to -\infty}x^n=-\inftyx→−∞lim​xn=−∞
 et 
lim⁡x→+∞xn=+∞\lim\limits_{x \to +\infty}x^n=+\inftyx→+∞lim​xn=+∞
.
Exemples
lim⁡x→−∞x2=+∞\lim\limits_{x \to -\infty}x^2=+\inftyx→−∞lim​x2=+∞
 et
lim⁡x→+∞x2=+∞\lim\limits_{x \to +\infty}x^2=+\inftyx→+∞lim​x2=+∞
 .
lim⁡x→−∞x5=−∞\lim\limits_{x \to -\infty}x^5=-\inftyx→−∞lim​x5=−∞
 et
lim⁡x→+∞x5=+∞\lim\limits_{x \to +\infty}x^5=+\inftyx→+∞lim​x5=+∞
 .
PropriétéFonction racine carrée
lim⁡x→+∞x=+∞\lim\limits_{x \to +\infty}\sqrt{x}=+\inftyx→+∞lim​x​=+∞

Limite en moins l'infini

Définition
Soit 
α\alphaα
 un réel et 
fff
une fonction définie sur
]−∞ ;α]]-\infty\ ;\alpha]]−∞ ;α]
.
Soit
ℓ\ellℓ
 un réel.
Si tout intervalle ouvert contenant
ℓ\ellℓ
 contient toutes les valeurs de 
f(x)f(x)f(x)
pour 
xxx
prenant des valeurs négatives de valeur absolue suffisamment grande, on dit que`f` a pour limite 
ℓ\ellℓ
 en 
−∞-\infty−∞
 et on écrit
lim⁡x→−∞f(x)=ℓ\lim\limits_{x \to -\infty}f(x)=\ellx→−∞lim​f(x)=ℓ
.

Unicité de la limite

Propriété (admise)
Si une fonction
fff
 admet une limite finie en
−∞-\infty−∞
 ou
+∞+\infty+∞
, alors cette limite est unique.

Asymptote parallèle à l'axe des abscisses

Définition
Soit\(\ell\) un réel.
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Si
lim⁡x→+∞f(x)=ℓ\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=\ellx→+∞lim​f(x)=ℓ
, on dit que la droite d'équation
y=ℓy=\elly=ℓ
 estasymptoteà
Cf\mathscr{C}_fCf​
 au voisinage de
+∞+\infty+∞
 ou que
Cf\mathscr{C}_fCf​
 admet une asymptotehorizontale d'équation 
y=ℓy=\elly=ℓ
 au voisinage de
+\infty
.
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Si
lim⁡x→−∞f(x)=ℓ\lim\limits_{x \to -\infty}f(x)=\ellx→−∞lim​f(x)=ℓ
, on dit que la droite d'équation
y=ℓy=\elly=ℓ
 estasymptoteà
Cf\mathscr{C}_fCf​
 au voisinage de
−∞-\infty−∞
 ou que
Cf\mathscr{C}_fCf​
 admet une asymptote horizontale d'équation 
y=ℓy=\elly=ℓ
 au voisinage de
-\infty
.
Remarque
xxx
 étant fixé, la distance entre la courbe représentative \(\mathscr{C}_f\) et la droite d'équation \(y=\ell\) est
∣f(x)−ℓ∣\left| f(x)-\ell \right|∣f(x)−ℓ∣
.\(\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=\ell\) si et seulement si
lim⁡x→+∞∣f(x)−ℓ∣=0\lim\limits_{x \to +\infty}|f(x)-\ell|=0x→+∞lim​∣f(x)−ℓ∣=0
.Ainsi, la courbe représentative \(\mathscr{C}_f\) admet une asymptote d'équation \(y=\ell\) au voisinage de
+∞+\infty+∞
 si et seulement si la distance entre la courbe représentative
Cf\mathscr{C}_fCf​
 et la droite d'équation
y=ℓy=\elly=ℓ
 a pour limite
000
 en
+∞+\infty+∞
.

Limites de référence

PropriétéInverse des fonctions puissances
Si
nnn
 est un entier naturel non nul, alors
lim⁡x→−∞1xn=0\lim\limits_{x \to -\infty}\displaystyle\frac{1}{x^n}=0x→−∞lim​xn1​=0
 et
lim⁡x→+∞1xn=0\lim\limits_{x \to +\infty}\displaystyle\frac{1}{x^n}=0x→+∞lim​xn1​=0
.
PropriétéInverse de la fonction racine carrée
lim⁡x→+∞1x=0\lim\limits_{x \to +\infty}\displaystyle\frac{1}{\sqrt{x}}=0x→+∞lim​x​1​=0

lim⁡n→+∞n2=+∞\lim\limits_{n \to +\infty}n^2=+\inftyn→+∞lim​n2=+∞