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Limite en un réel

DéfinitionLimite en\(a\) par valeurs supérieures

Sommaire

Limite infinieQuand la limite est plus l'infiniQuand la limite est moins l'infiniAsymptote parallèle à l'axe des ordonnéesLimites de référence
Limite finieQuand la limite est finieUnicité de la limiteLimites des fonctions de référenceLimite et taux de variation

Limite infinie

Quand la limite est plus l'infini

DéfinitionLimite en\(a\) par valeurs supérieures
Soit \(a\) un réel et 
fff
 une fonction définie au voisinage de 
aaa
 mais non définie en
aaa
.
Si tout intervalle de la forme
[A ; +∞[[A\ ;\ +\infty[[A ; +∞[
 (où
A
 est un réel) contient toutes les valeurs de
f(x)f(x)f(x)
pour 
xxx
suffisamment proche de
aaa
 par valeurs supérieures, on dit que
fff
a pour limite
+∞+\infty+∞
 en 
aaa
par valeurs supérieures et on écrit
lim⁡x→ax>af(x)=+∞\lim\limits_{\substack{x \to a \\ x>a}}f(x)=+\inftyx→ax>a​lim​f(x)=+∞
.
DéfinitionLimite en\(a\)par valeurs inférieures
Soit \(a\) un réel et 
fff
 une fonction définie au voisinage de 
aaa
 mais non définie en
aaa
.
Si tout intervalle de la forme 
[A ; +∞[[A\ ;\ +\infty[[A ; +∞[
 contient toutes les valeurs de
f(x)f(x)f(x)
pour 
xxx
suffisamment proche de
aaa
 par valeurs inférieures, on dit que
fff
a pour limite
+∞+\infty+∞
 en 
aaa
par valeurs inférieures et on écrit
lim⁡x→ax<af(x)=+∞\lim\limits_{\substack{x \to a \\ x<a}}f(x)=+\inftyx→ax<a​lim​f(x)=+∞
DéfinitionLimite en\(a\)
Soit \(a\) un réel et 
fff
 une fonction définie au voisinage de 
aaa
 mais non définie en
aaa
.
Si 
lim⁡x→ax<af(x)=+∞\lim\limits_{\substack{x \to a \\ x<a}}f(x)=+\inftyx→ax<a​lim​f(x)=+∞

Quand la limite est moins l'infini

DéfinitionLimite en\(a\) par valeurs supérieures
Soit \(a\) un réel et 
fff
 une fonction définie au voisinage de 
aaa
 mais non définie en
aaa
.
Si tout intervalle de la forme
]−∞ ;A]]-\infty\ ;A]]−∞ ;A]
 contient toutes les valeurs de
f(x)f(x)f(x)
pour 
xxx
suffisamment proche de
aaa
 par valeurs supérieures, on dit que
fff
a pour limite
−∞-\infty−∞
 en 
aaa
par valeurs supérieures et on écrit
lim⁡x→ax>af(x)=−∞\lim\limits_{\substack{x \to a \\ x>a}}f(x)=-\inftyx→ax>a​lim​f(x)=−∞
.
DéfinitionLimite en\(a\)par valeurs inférieures
Soit \(a\) un réel et 
fff
 une fonction définie au voisinage de 
aaa
 mais non définie en
aaa
.
Si tout intervalle de la forme
]−∞ ;A]]-\infty\ ;A]]−∞ ;A]
 contient toutes les valeurs de
f(x)f(x)f(x)
pour 
xxx
suffisamment proche de
aaa
 par valeurs inférieures, on dit que
fff
a pour limite
−∞-\infty−∞
 en 
aaa
par valeurs inférieures et on écrit
lim⁡x→ax<af(x)=−∞\lim\limits_{\substack{x \to a \\ x<a}}f(x)=-\inftyx→ax<a​lim​f(x)=−∞
DéfinitionLimite en\(a\)
Soit \(a\) un réel et 
fff
 une fonction définie au voisinage de 
aaa
 mais non définie en
aaa
.
Si 
lim⁡x→ax<af(x)=−∞\lim\limits_{\substack{x \to a \\ x<a}}f(x)=-\inftyx→ax<a​lim​f(x)=−∞
Remarque
Ci-dessous un exemple de courbe représentative d'une fonction pour laquelle les limites en
aaa
 par valeurs inférieures et supérieures sont différentes.

Asymptote parallèle à l'axe des ordonnées

Définition
Soit \(a\) un réel et 
fff
 une fonction définie au voisinage de 
aaa
 mais non définie en
aaa
.
Si 
lim⁡x→af(x)=+∞\lim\limits_{x \to a}f(x)=+\inftyx→alim​f(x)=+∞
 ou
lim⁡x→af(x)=−∞\lim\limits_{x \to a}f(x)=-\inftyx→alim​f(x)=−∞
, on dit que la droite d'équation
x=ax=ax=a
 estasymptoteà
Cf\mathscr{C}_fCf​
 ou que
Cf\mathscr{C}_fCf​
 admet une asymptoteverticaled'équation
x=ax=ax=a
.
Remarques
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Dans le cas oùla courbeadmet une asymptote parallèle à l'axe des ordonnées, on ne précise pas le voisinage, celui-ci étant automatiquement donné par l'équation de l'asymptote.
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Soit
a
 un réel.Si
fff
 a pour limite
−∞- \infty−∞
 ou 
+∞+\infty+∞
en
aaa
uniquement par valeurs supérieures (ou inférieures), on dit également que
Cf\mathscr{C}_fCf​
 admet une asymptote d'équation
x=ax=ax=a
.

Limites de référence

PropriétéFonction inverse
lim⁡x→0x<01x=−∞\lim\limits_{{\substack{x \to 0 \\ x<0}}}\displaystyle\frac{1}{x}=-\inftyx→0x<0​lim​x1​=−∞
 et
lim⁡x→0x>01x=+∞\lim\limits_{{\substack{x \to 0 \\ x>0}}}\displaystyle\frac{1}{x}=+\inftyx→0x>0​lim​x1​=+∞
.\(\)
Plus généralement :
PropriétéInverse des fonctions puissances
Soit
nnn
 un entier naturel non nul, alors
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;si
nnn
 est pair, 
lim⁡x→0x<01xn=+∞\lim\limits_{{\substack{x \to 0 \\ x<0}}}\displaystyle\frac{1}{x^n}=+\inftyx→0x<0​lim​xn1​=+∞
 et
lim⁡x→0x>01xn=+∞\lim\limits_{{\substack{x \to 0 \\ x>0}}}\displaystyle\frac{1}{x^n}=+\inftyx→0x>0​lim​xn1​=+∞
.On a donc \(\lim\limits_{{\substack{x \to 0 \\}}}\displaystyle\frac{1}{x^n}=+\infty.\)
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;si
nnn
 est impair, 
lim⁡x→0x<01xn=−∞\lim\limits_{{\substack{x \to 0 \\ x<0}}}\displaystyle\frac{1}{x^n}=-\inftyx→0x<0​lim​xn1​=−∞
 et
lim⁡x→0x>01xn=+∞\lim\limits_{{\substack{x \to 0 \\ x>0}}}\displaystyle\frac{1}{x^n}=+\inftyx→0x>0​lim​xn1​=+∞
.
PropriétéInverse de la fonction racine carrée
lim⁡x→0x>01x=+∞\lim\limits_{{\substack{x \to 0 \\ x>0}}}\displaystyle\frac{1}{\sqrt{x}}=+\inftyx→0x>0​lim​x​1​=+∞
.

Limite finie

Quand la limite est finie

Définition
Soit
aaa
 un réel et
fff
 une fonction définie sur un voisinage de 
aaa
(mais non nécessairement en
aaa
).
Soit
ℓ\ellℓ
 un réel.
Si tout intervalle ouvert contenant 
ℓ\ellℓ
 contient toutes les valeurs de 
f(x)f(x)f(x)
pour 
xxx
suffisamment proche de
aaa
, on dit que 
fff
 a pour limite
ℓ\ellℓ
 en
aaa
 et on écrit
lim⁡x→af(x)=ℓ\lim\limits_{x \to a}f(x)=\ellx→alim​f(x)=ℓ
.

Unicité de la limite

Propriété(admise)
Soit
aaa
 un réel et
fff
 une fonction définie sur un voisinage de 
aaa
(mais non nécessairement en
aaa
).
Si
fff
 admet une limite finie en
aaa
, alors cette limite est unique.

Limites des fonctions de référence

Remarque
Pour toutes les fonctions de référence, si la fonction 
f
 est définie en
a
, alors
lim⁡x→af(x)=f(a)\lim\limits_{x \to a}f(x)=f(a)x→alim​f(x)=f(a)
.
Ce résultat vient du fait que les fonctions de référence sont continues sur leur ensemble de définition.
La continuité est une notion du programme de terminale qui sera étudiée dans un autre chapitre.
Exemples
lim⁡x→2(5x−4)=5×2−4=6\lim\limits_{x \to 2}(5x-4)=5 \times 2-4=6x→2lim​(5x−4)=5×2−4=6
lim⁡x→0ex=e0=1\lim\limits_{x \to 0}\text{e}^x=\text{e}^0=1x→0lim​ex=e0=1
lim⁡x→1(x2−3x+2)=12−3×1+2=0\lim\limits_{x \to 1}(x^2-3x+2)=1^2-3\times 1+2=0x→1lim​(x2−3x+2)=12−3×1+2=0

Limite et taux de variation

Rappel
Soit
fff
 une fonction définie sur un intervalle
III
 et
a∈Ia \in Ia∈I
.
Si
f
 est dérivable en
a
, alors
lim⁡x→af(x)−f(a)x−a=f′(a)\lim\limits_{x \to a}\displaystyle\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=f'(a)x→alim​x−af(x)−f(a)​=f′(a)
.
Propriété
lim⁡x→0ex−1x=1\lim\limits_{x \to 0}\displaystyle\frac{\text{e}^x-1}{x}=1x→0lim​xex−1​=1
.Démonstration
Pour tout réel
x≠0, ex−1x=ex−e0x−0x \neq 0,\ \displaystyle\frac{\text{e}^x-1}{x}=\displaystyle\frac{\text{e}^x-\text{e}^0}{x-0}x=0, xex−1​=x−0ex−e0​
.
La fonction exponentielle est dérivable en
000
,donc \(\lim\limits_{x \to 0}\displaystyle\frac{\text{e}^x-1}{x}=\exp'(0)=1\).