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☆ À n'ouvrir qu'en cas d'urgence ☆

2.\((x+1)^{2\,025}-x^{2\,025}=2\,025x^{2\,024}+P(x)\),où

Sommaire

⚒ Formule du binôme et limite⚒ Quantités conjuguées☛ Limite de limite

⚒ Formule du binôme et limite

2.\((x+1)^{2\,025}-x^{2\,025}=2\,025x^{2\,024}+P(x)\),où
PPP
 est un polynôme de degré 2023.

⚒ Quantités conjuguées

1.
x2+1−x=1x2+1+x\sqrt{x^{2}+1}-x=\dfrac{1}{\sqrt{x^{2}+1}+x}x2+1​−x=x2+1​+x1​
3.
x2+x−x=xx2+x+x=11+1x+1\sqrt{x^{2}+x}-x=\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+x}+x}=\dfrac{1}{\sqrt{1+\dfrac{1}{x}}+1}x2+x​−x=x2+x​+xx​=1+x1​​+11​
4.
x2+x1+x−1=(x2+x)(1+x+1)x\dfrac{x^{2}+x}{\sqrt{1+x}-1}=\dfrac{\left(x^{2}+x\right)\left(\sqrt{1+x}+1\right)}{x}1+x​−1x2+x​=x(x2+x)(1+x​+1)​
6.
x−12−x+3=x−1(2+x+3)1−x=2+x+3−x−1\dfrac{\sqrt{x-1}}{2-\sqrt{x+3}}=\dfrac{\sqrt{x-1}\left(2+\sqrt{x+3}\right)}{1-x}=\dfrac{2+\sqrt{x+3}}{-\sqrt{x-1}}2−x+3​x−1​​=1−xx−1​(2+x+3​)​=−x−1​2+x+3​​

☛ Limite de limite

Pour tout entier
n⩾1n\geqslant1n⩾1
, on considère la fonction
fnf_nfn​
 définie sur 
[0;+∞[[0;+\infty[[0;+∞[
par
fn(x)=11+xnf_{n}(x)=\dfrac{1}{1+x^{n}}fn​(x)=1+xn1​
. On note 
Cn\mathscr{C}_{n}Cn​
la courbe représentative de
fnf_nfn​
.
1.
∀n⩾1,fn(0)=1\forall_n\geqslant1, f_n(0)=1∀n​⩾1,fn​(0)=1
 et 
fn(1)=12f_n(1)=\dfrac{1}{2}fn​(1)=21​
donc toutes les courbes 
Cn\mathscr{C}_nCn​
passent par
A(0;1)\text A(0;1)A(0;1)
 et
B(1;12)\text B\left(1; \dfrac{1}{2} \right)B(1;21​)
.
2.
lim⁡x→+∞  (1+xn)=+∞\lim\limits_{x \to +\infty}\;(1+x^n) =+\inftyx→+∞lim​(1+xn)=+∞
  donc
lim⁡x→+∞fn(x)=0\lim\limits_{x \to +\infty} f_n (x) =0x→+∞lim​fn​(x)=0
.
3.a.Le graphique suggère que : 
si
x∈[0;1[,lim⁡n→+∞fn(x)=1x\in[0;1[, \lim\limits_{n \to +\infty} f_n (x) = 1x∈[0;1[,n→+∞lim​fn​(x)=1
.
si
x=1,lim⁡n→+∞fn(x)=12x = 1, \lim\limits_{n \to +\infty} f_n (x) = \dfrac{1}{2}x=1,n→+∞lim​fn​(x)=21​
si
x∈]1;+∞[,lim⁡n→+∞fn(x)=0x\in]1;+ \infty[, \lim\limits_{n \to +\infty} f_n (x) = 0x∈]1;+∞[,n→+∞lim​fn​(x)=0
.
    b.Si
x∈[0;1[,x\in[0;1[,x∈[0;1[,
 alors 
lim⁡n→+∞xn=0.\lim\limits_{n \to +\infty} x^n =0.n→+∞lim​xn=0.
 D'où
lim⁡n→+∞fn(x)=1\lim\limits_{n \to +\infty} f_n (x) =1n→+∞lim​fn​(x)=1
.
Si
x=12,x=\dfrac{1}{2},x=21​,
 alors
fn(1)=12f_n(1)=\dfrac{1}{2}fn​(1)=21​
.
lim⁡n→+∞fn(x)=12\lim\limits_{n \to +\infty} f_n (x)=\dfrac{1}{2}n→+∞lim​fn​(x)=21​
.
Si
x∈]1;+∞[,x\in] 1;+\infty[,x∈]1;+∞[,
 alors
lim⁡n→+∞xn=+∞.lim⁡n→+∞fn(x)=0\lim\limits_{n \to +\infty} x^n =+\infty. \lim\limits_{n \to +\infty} f_n (x)=0n→+∞lim​xn=+∞.n→+∞lim​fn​(x)=0
4. D’après ce qui précède,\(f(x) = \begin{cases} 1 & \text{si}\;x \in [0;1[\\1/2& \text{si}\;x=1\\0 &\text{si}\;x \in]1;+\infty[\end{cases}\)
L'affirmation revient à prouver qu'il existe un réel positif
x0x_0x0​
 tel que  
lim⁡n→+∞(lim⁡x→x0fn(x))≠lim⁡x→x0f(x)\lim\limits_{n \to +\infty}\left(\lim\limits_{x \to x_0} f_n (x)\right ) \neq \lim\limits_{x\to x_0}f(x)n→+∞lim​(x→x0​lim​fn​(x))=x→x0​lim​f(x)
.
On pose 
x0=1+x0 =1+x0=1+
.
lim⁡x→1+fn(x)=fn(1)\lim\limits_{x \to 1^+}f_n (x)=f_n(1)x→1+lim​fn​(x)=fn​(1)
 car la fonction  
fnf_nfn​
est continue en
111
.
Donc 
lim⁡n→+∞(lim⁡x→1+fn(x))=lim⁡n→+∞fn(1)=12\lim\limits_{n \to +\infty} \left(\lim\limits_{x \to 1^+}f_n (x)\right) = \lim\limits_{n \to +\infty} f_n (1)= \dfrac{1}{2}n→+∞lim​(x→1+lim​fn​(x))=n→+∞lim​fn​(1)=21​
 mais
lim⁡x→1+f(x)=0\lim\limits_{x \to 1^+} f(x) = 0x→1+lim​f(x)=0
.
Par conséquent,
lim⁡n→+∞(lim⁡x→1+fn(x))≠lim⁡x→1+(lim⁡n→+∞fn(x))\lim\limits_{n \to +\infty} \left(\lim\limits_{x \to 1^+}f_n (x)\right) \neq \lim\limits_{x \to 1+} \left(\lim\limits_{n \to +\infty}f_n (x)\right)n→+∞lim​(x→1+lim​fn​(x))=x→1+lim​(n→+∞lim​fn​(x))
. Yanis avait donc raison.
Remarque
On dit que la suite de fonctions
(fn)(f_n)(fn​)
ne converge pas uniformément vers \(f\)sur\(\mathbb{R}_+\).