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Exercices vers le supérieur

On rappelle laformule du binôme de Newton: pour tous réels

Sommaire

☆ Formule du binôme et limiteUne famille de fonctions☆ Quantité conjuguée☆ Limite de limite

☆ Formule du binôme et limite

On rappelle laformule du binôme de Newton: pour tous réels
aaa
 et
bbb
, pour tout entier naturel
nnn
, 
(a+b)n=∑k=0n(nk)akbn−k\boxed{\displaystyle\left(a+b\right)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{k}b^{n-k}}(a+b)n=k=0∑n​(kn​)akbn−k​
Soit
fff
 la fonction définie sur
R∗\mathbb R^*R∗
 par
f(x)=(x+1)2 025−x2 025x2 024f(x)=\dfrac{(x+1)^{2\,025}-x^{2\,025}}{x^{2\,024}}f(x)=x2024(x+1)2025−x2025​
.
1.Déterminer la limite de la fonction
fff
 en 0.
2.En utilisant la formule du binôme de Newton, déterminer la limite de la fonction
fff
 en
+∞+\infty+∞
.

Une famille de fonctions

Soit 
n∈Nn\in\mathbb Nn∈N
 et
fnf_nfn​
 la fonction définie sur
R\mathbb RR
 par
fn(x)=e−nx1+e−xf_{n}(x)=\dfrac{\text{e}^{-nx}}{1+\text{e}^{-x}}fn​(x)=1+e−xe−nx​
.
On note
CnC_nCn​
 la courbe représentative de 
fnf_nfn​
dans un repère orthogonal
(O;i→,j→)\left(O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right)(O;i,j​)
.
1.Démontrer que toutes les courbes
CnC_nCn​
 ont un point commun
A\text AA
 dont on précisera les coordonnées.
2.Déterminer, en fonction de \(n\), les limites de la fonction
fnf_nfn​
 en
+∞+\infty+∞
 et en
−∞-\infty−∞
.

☆ Quantité conjuguée

Déterminer les limites suivantes.
1.
lim⁡x→+∞(x2+1−x)\underset{x\rightarrow+\infty}{\lim}\left(\sqrt{x^{2}+1}-x\right)x→+∞lim​(x2+1​−x)
2.
lim⁡x→−∞(x2+1−x)\underset{x\rightarrow-\infty}{\lim}\left(\sqrt{x^{2}+1}-x\right)x→−∞lim​(x2+1​−x)
3.
lim⁡x→+∞(x2+x−x)\underset{x\rightarrow+\infty}{\lim}\left(\sqrt{x^{2}+x}-x\right)x→+∞lim​(x2+x​−x)
4.
lim⁡x→+∞x2+x1+x−1\underset{x\rightarrow+\infty}{\lim}\dfrac{x^{2}+x}{\sqrt{1+x}-1}x→+∞lim​1+x​−1x2+x​
5.
lim⁡x→0x2+x1+x−1\underset{x\rightarrow0}{\lim}\dfrac{x^{2}+x}{\sqrt{1+x}-1}x→0lim​1+x​−1x2+x​
6.
lim⁡x→1x−12−x+3\underset{x\rightarrow1}{\lim}\dfrac{\sqrt{x-1}}{2-\sqrt{x+3}}x→1lim​2−x+3​x−1​​

☆ Limite de limite

Pour tout entier
n⩾1n\geqslant1n⩾1
, on considère la fonction
fnf_nfn​
 définie sur 
[0;+∞[[0;+\infty[[0;+∞[
par
fn(x)=11+xnf_{n}(x)=\dfrac{1}{1+x^{n}}fn​(x)=1+xn1​
. On note 
Cn\mathscr{C}_{n}Cn​
la courbe représentative de
fnf_nfn​
.
1.Démontrer que les courbes 
Cn\mathscr{C}_{n}Cn​
passent toutes par deux points dont on déterminera les coordonnées.
2. Soit \(n\)un entier naturel non nul. Étudier la limite de
fnf_nfn​
 en 
+∞+\infty+∞
.
3. a.Conjecturer, selon la valeur du réel
xxx
, la limite de
fn(x)f_n(x)fn​(x)
 lorsque 
nnn
tend vers
+∞+\infty+∞
.b.Démontrer la conjecture précédente.
4.Pour tout réel
x⩾0x\geqslant0x⩾0
, on note
f(x)=lim⁡n→+∞fn(x)f(x)=\underset{n\rightarrow+\infty}{\lim}f_{n}(x)f(x)=n→+∞lim​fn​(x)
. On définit ainsi une fonction 
fff
sur
[0;+∞[[0;+\infty[[0;+∞[
. Le jeune mais non moins audacieux Yanis affirme qu'on peut trouver un réel\(x_0\)positif tel que 
lim⁡n→+∞(lim⁡x→x0fn(x))≠lim⁡x→x0(lim⁡n→+∞fn(x))\underset{n\rightarrow+\infty}{\lim}\left(\underset{x\rightarrow x_{0}}{\lim}f_{n}(x)\right)\ne\underset{x\rightarrow x_{0}}{\lim}\left(\underset{n\rightarrow+\infty}{\lim}f_{n}(x)\right)n→+∞lim​(x→x0​lim​fn​(x))=x→x0​lim​(n→+∞lim​fn​(x))
. A-t-il raison ?