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Dans les épisodes précédents

Le tableau suivant donne les dérivées des fonctions usuelles.

Sommaire

Dérivées des fonctions usuelles et opérations sur les fonctions dérivablesCalculs de dérivéesÉquation de la tangenteLecture graphique de nombres dérivésÉtude des variations d'une fonctionDistinguer la courbe d'une fonction de celle de sa dérivée

Dérivées des fonctions usuelles et opérations sur les fonctions dérivables

Le tableau suivant donne les dérivées des fonctions usuelles.
Dans ce tableau,
mmm
 et
ppp
 sont des réels et
nnn
 est un entier naturel non nul. 
\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline f \text{ définie sur }& \text{par} & f' \text{ définie sur }& \text{par} \\\hline \mathbb{R} & f(x)=mx+p & \mathbb{R} & f'(x)=m \\\hline \mathbb{R} & f(x)= x^n&\mathbb{R} &f'(x)=nx^{n-1}\\\hline ]-\infty\;\ 0[\text{ ou } ]0\ ;\ +\infty[&f(x)= \displaystyle\frac{1}{x^n} &]-\infty\;\ 0[\text{ ou } ]0\ ;\ +\infty[ & f'(x)=-\displaystyle\frac{n}{x^{n+1}}\\\hline [0\ ;\ +\infty[ & f(x)=\sqrt{x} &]0\ ;\ +\infty[& f'(x)=\displaystyle\frac{1}{2\sqrt{x}} \\\hline \mathbb{R} & f(x)=\text{e}^x& \mathbb{R}& f'(x)=\text{e}^x\\\hline\end{array}
Le tableau suivant traite des opérations sur les fonctions dérivables.
Dans ce tableau, 
uuu
 et
vvv
 désignent des fonctions définies et dérivables sur un même intervalle
III
 et
kkk
 désigne un réel.
De plus, dans les deux dernières colonnes du tableau, la fonction
vvv
 ne s'annule pas sur l'intervalle
III
.
Fonctionu+vkuuv1vuvDeˊriveˊeu′+v′ku′u′v+uv′−v′v2u′v−uv′v2\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline \text{Fonction} & u+v & ku & uv & \displaystyle\frac{1}{v} & \displaystyle\frac{u}{v}\\\hline \text{Dérivée} & u'+v' & ku' & u'v+uv' & -\displaystyle\frac{v'}{v^2} & \displaystyle\frac{u'v-uv'}{v^2}\\\hline\end{array}FonctionDeˊriveˊe​u+vu′+v′​kuku′​uvu′v+uv′​v1​−v2v′​​vu​v2u′v−uv′​​​

Calculs de dérivées

Dans chacun des cas suivants, préciser l'intervalle de dérivabilité de 
f
 et calculer
f'(x)
.
1.
f
 est la fonction définie sur
\mathbb{R}
 par
f(x)=5x-8
.
2.
f
 est la fonction définie sur
\mathbb{R}
 par 
f(x)=3x^2-9x+4
.
3.
f
 est la fonction définie sur
\mathbb{R}
 par
f(x)=49x3−5x2+13x−1f(x)=\displaystyle\frac{4}{9}x^3-5x^2+\displaystyle\frac{1}{3}x-1f(x)=94​x3−5x2+31​x−1
.
4.
f
 est la fonction définie sur
[0 \ ;\ +\infty[
 par 
f(x)=4x−3xf(x)=4\sqrt{x}-\displaystyle\frac{3}{x}f(x)=4x​−x3​
.
5.
f
 est la fonction définie sur
\mathbb{R}
 par 
f(x)=(2x−3)exf(x)=(2x-3)\text{e}^xf(x)=(2x−3)ex
.
6.
f
 est la fonction définie sur
\mathbb{R} \backslash {-2}
 par 
f(x)=3x−52x+4f(x)=\displaystyle\frac{3x-5}{2x+4}f(x)=2x+43x−5​
.

Équation de la tangente

Rappel
Soit\(f\)une fonctiondéfinie et dérivable sur un intervalle
III
 et soit
a∈Ia\in Ia∈I
.
On note
Cf\mathscr{C}_fCf​
 la courbe représentative de la fonction
fff
.
Une équation de la tangente à
Cf\mathscr{C}_fCf​
 au point d'abscisse \(a\) est
y=f′(a)(x−a)+f(a)y=f'(a)(x-a)+f(a)y=f′(a)(x−a)+f(a)
.
Exercice
Soit\(f\)une fonctiondéfinie et dérivable sur un intervalle
III
 et soit
a∈Ia\in Ia∈I
.
Dans chacun des cas suivants, déterminer l'équation de la tangente à \(\mathscr{C}_f\), courbe représentative de la fonction
f
, au point d'abscisse 
aaa
.
1.
f
 est définie sur
\mathbb{R}
 par
f(x)=4x2+5x−3f(x)=4x^2+5x-3f(x)=4x2+5x−3
  et 
a=2a=2a=2
.
2.
fff
 est définie sur
\mathbb{R}
 par
f(x)=x3−3x2f(x)=x^3-3x^2f(x)=x3−3x2
  et 
a=−1a=-1a=−1
.
3.
fff
 est définie sur
]−43 ; +∞[\left] -\dfrac{4}{3}\ ;\ +\infty\right[]−34​ ; +∞[
 par 
f(x)=23x+4f(x)=\displaystyle\frac{2}{3x+4}f(x)=3x+42​
  et 
a=1a=1a=1
.
4.
fff
 est définie sur
\mathbb{R}
 par 
f(x)=(6x+1)exf(x)=(6x+1)\text{e}^xf(x)=(6x+1)ex
  et 
a=0a=0a=0
.

Lecture graphique de nombres dérivés

Rappel
Soit \(f\) une fonction définie et dérivable sur un intervalle \(I\) et soit
a∈Ia\in Ia∈I
.
On note 
Cf\mathscr{C}_fCf​
 sa courbe représentative.Alors
f'(a)
 est le coefficient directeur de la tangente à
Cf\mathscr{C}_fCf​
 au point d'abscisse
aaa
.
Exercice
On donne ci-dessous la courbe
Cf\mathscr{C}_fCf​
 d'une fonction
fff
 définie et dérivable sur
[−6 ; 9][-6\ ;\ 9][−6 ; 9]
.
On a tracé les tangentes à la courbe aux points d'abscisses 
−4-4−4
 ; 
−2-2−2
 ; 
111
 ; 
444
.
1.Lire graphiquement
f(−4) ; f(−2) ; f(1) et f(4)f(-4)\ ;\ f(-2)\ ;\ f(1)\ \text{et}\ f(4)f(−4) ; f(−2) ; f(1) et f(4)
.
2.Lire graphiquement
f′(−4) ; f′(−2) ; f′(1) et f′(4)f'(-4)\ ;\ f'(-2)\ ;\ f'(1)\ \text{et}\ f'(4)f′(−4) ; f′(−2) ; f′(1) et f′(4)
.
3.Déterminerune équation de la tangente à la courbe\(\mathscr{C}_f\) au point d'abscisse
444
.

Étude des variations d'une fonction

Dans chacun des cas suivants, étudier les variations de la fonction
fff
sur son ensemble de définition.
1.
fff
 est définie sur
R\mathbb{R}R
 par
f(x)=−2x2+3x+5f(x)=-2x^2+3x+5f(x)=−2x2+3x+5
.
2.
fff
 est définie sur
R\mathbb{R}R
 par 
f(x)=x3−x2−2x+1f(x)=x^3-x^2-2x+1f(x)=x3−x2−2x+1
.
3.
fff
 est définie sur
R\mathbb{R}R
 par 
f(x)=5x2+1f(x)=\displaystyle\frac{5}{x^2+1}f(x)=x2+15​
.
4.
fff
 est définie sur
]34 ; +∞[\left]\dfrac{3}{4}\,;\,+\infty\right[]43​;+∞[
 par 
f(x)=−2x+14x−3f(x)=\displaystyle\frac{-2x+1}{4x-3}f(x)=4x−3−2x+1​
.
5.
fff
 est définie sur
R\mathbb{R}R
 par 
f(x)=(2x−7)exf(x)=(2x-7)\text{e}^xf(x)=(2x−7)ex
.

Distinguer la courbe d'une fonction de celle de sa dérivée

On donne ci-dessous deux courbes
C1\mathscr{C}_1C1​
et
C2\mathscr{C}_2C2​
. L'une est la courbe représentative d'une fonction
fff
 définie et dérivable sur
R\mathbb{R}R
 et l'autreest la courbe représentative desa dérivée
f′f'f′
. Associer à chaque courbe sa fonction.