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Dans chacun des cas suivants, étudier les variations de la fonction

Sommaire

Dérivation : compléments* Étude de variations de fonctions* Courbes tangentes** Étudier une composée** Extremum d'une fonction** Déterminer l'expression d'une fonction à partir de sa courbe représentative** Expression d'une dérivée n-ième (1)*** Variations et tangente avec contrainte*** Étude d'une suite de fonctions*** Expression d'une dérivée n-ième (2)
Convexité* Convexité de f à partir de la courbe de f'* Convexité de f à partir de la courbe de f''
* Exploiter un graphique
* Inégalité de convexité
** Représenter une fonction connaissant sa dérivée
** Quand il vaut mieux vérifier ses conjectures
** Inégalité de Bernoulli - Le retour
** Deux méthodes pour étudier le signe d'une fonction
** Coût marginal et coût moyen
*** Faisabilité d'un projet routier
*** Convexité et intersection de tangente avec l'axe des ordonnées

Dérivation : compléments

* Étude de variations de fonctions

Dans chacun des cas suivants, étudier les variations de la fonction
fff
 après avoir déterminé
l'expression de sa dérivée.
1.
fff
 est définie sur
R\mathbb{R}R
 par
f(x)=2x2+x+5f(x)=\sqrt{2x^2+x+5}f(x)=2x2+x+5​
.
2.
fff
 est définie sur
R\mathbb{R}R
 par
f(x)=(5x−2)e−2x+1f(x)=(5x-2)\text{e}^{-2x+1}f(x)=(5x−2)e−2x+1
.
3.
fff
 est définie sur
]0 ; +∞[]0\ ;\ +\infty[]0 ; +∞[
 par
f(x)=xe1xf(x)=x\text{e}^{\frac{1}{x}}f(x)=xex1​
.

* Courbes tangentes

On considère les fonctions
fff
 et
ggg
 définies sur
R\mathbb{R}R
par\(f(x)=1+\sqrt{3x^2-2x+3}\) et
g(x)=−12x2+2x+32g(x)=-\displaystyle\frac{1}{2}x^2+2x+\displaystyle\frac{3}{2}g(x)=−21​x2+2x+23​
. On donne ci-dessous la représentation graphique de ces fonctions.
1.Associer à chaque fonction sa courbe représentative.
2. a.On s'intéresse au point de coordonnées`(1\ ;\ 3)`. Que peut-on conjecturer sur ce point ?b.Démontrer la conjecture précédente.

** Étudier une composée

On donne ci-dessous la courbe représentative d'une fonction
u
 définie et dérivable sur
\mathbb{R}
.
1. a.Déterminer l'ensemble de définition de la fonction
f=\text{e}^u
.b.Préciser les variations de la fonction
f
 sur son ensemble de définition.
2. a.Déterminer l'ensemble de définition de la fonction
g=1ug=\displaystyle\frac{1}{u}g=u1​
.b.Préciser les variations de la fonction
g
 sur son ensemble de définition.
3. a.Déterminer l'ensemble de définition de la fonction
h=\sqrt{u}
.b.Préciser les variations de la fonction
h
 sur son ensemble de définition.

** Extremum d'une fonction

Montrer que la fonction
fff
 définie sur
R\mathbb{R}R
 par
f(x)=(−12x2+7x−4)3f(x)=\left(-\displaystyle\frac{1}{2}x^2+7x-4\right)^3f(x)=(−21​x2+7x−4)3
 admet un maximum sur
\mathbb{R}
 que l'on précisera.

** Déterminer l'expression d'une fonction à partir de sa courbe représentative

On considère la fonction 
f
définie sur l’intervalle 
[0\ ;+\infty[
par
f(x)=(ax+b)e−14xf(x)=(ax+b)\text{e}^{-\frac{1}{4}x}f(x)=(ax+b)e−41​x
où 
aaa
et 
bbb
désignent deux nombres réels.
On admet que cette fonction est dérivable sur l’intervalle 
[0\ ;+\infty[
et on note 
f′f'f′
sa fonction dérivée.
Cf\mathscr{C}_fCf​
, la courbe représentative de\(f\), est tracée ci-dessous.
Cf\mathscr{C}_fCf​
passe par le point de coordonnées
(0 ;−2)(0\ ; -2)(0 ;−2)
 et admet une tangente parallèle à l'axe des abscisses au point d’abscisse
143\displaystyle\frac{14}{3}314​
.
1.Donner les valeurs de 
f(0)f(0)f(0)
et
f′(143)f'\left(\displaystyle\frac{14}{3}\right)f′(314​)
.
2. Démontrer que, pour tout réel positif
x, f′(x)=(−14ax−14b+a)e−14xx,\ f'(x)=\left(-\displaystyle\frac{1}{4}ax-\displaystyle\frac{1}{4}b+a\right)\text{e}^{-\frac{1}{4}x}x, f′(x)=(−41​ax−41​b+a)e−41​x
.
3.Déterminer les valeurs de 
aaa
et
bbb
.

** Expression d'une dérivée n-ième (1)

On considère la fonction
fff
 définie sur
R\mathbb{R}R
 par
f(x)=(x+1)exf(x)=(x+1)\text{e}^xf(x)=(x+1)ex
.
1.Calculer
f′(x), f′′(x)f'(x),\ f''(x)f′(x), f′′(x)
 et
f(3)(x)f^{(3)}(x)f(3)(x)
.
2. a.Conjecturer l'expression de
f(n)(x)f^{(n)}(x)f(n)(x)
 pour
nnn
 entier naturel non nul.
    b.Démontrer la conjecture précédente.

*** Variations et tangente avec contrainte

On considère la fonction
fff
 définie sur
R\mathbb{R}R
 par
f(x)=ex2−5xf(x)=\text{e}^{x^2-5x}f(x)=ex2−5x
. On note
Cf\mathscr{C}_fCf​
 sa courbe représentative.
1.Étudier les variations de
fff
 sur
R\mathbb{R}R
.
2. a.Soit
a∈Ra \in \mathbb{R}a∈R
. Déterminer une équation de la tangente
TaT_aTa​
 à
Cf\mathscr{C}_fCf​
 au point d'abscisse
aaa
.
    b.Existe-t-il une (ou des) tangente(s) à
Cf\mathscr{C}_fCf​
 passant par le point
A(4 ; 0)A(4\ ;\ 0)A(4 ; 0)
 ? Si oui, préciser combien.

*** Étude d'une suite de fonctions

Pour tout entier naturel
nnn
 non nul, on considère la fonction
fnf_nfn​
 définie sur
R\mathbb{R}R
 par 
fn(x)=xe−nx+1f_n(x)=x\text{e}^{-nx+1}fn​(x)=xe−nx+1
.
1. a.Montrer que, pour tout réel
x, fn′(x)=(1−nx)e−nx+1x,\ f_n'(x)=(1-nx)\text{e}^{-nx+1}x, fn′​(x)=(1−nx)e−nx+1
.b.En déduire les variations de la fonction 
fnf_nfn​
 sur
R\mathbb{R}R
.
2.On donne ci-dessous les courbes représentatives des fonctions
f1, f2,⋯ , f10f_1,\ f_2,\cdots,\ f_{10}f1​, f2​,⋯, f10​
. Pour chaque courbe, le point indiqué en rouge est le point dont l'ordonnée est le maximum de la fonction sur
R\mathbb{R}R
.
Les pointsindiqués en rougesont-ils alignés ? Justifier.

*** Expression d'une dérivée n-ième (2)

Soit \(n\)un entier naturel non nul.
On note
f(n)f^{(n)}f(n)
 la dérivée
nnn
-ième d'une fonction
fff
.
1.Soit
fff
 la fonction définie sur
R∗\mathbb R^*R∗
 par
f(x)=1xf(x)=\dfrac{1}{x}f(x)=x1​
.a.Déterminer
f′,f′′,f(3)f',f'',f^{(3)}f′,f′′,f(3)
.b.Démontrer que, pour tout entier naturelnon nul
nnn
, pour tout
x∈R∗x\in\mathbb R^*x∈R∗
,on a 
f(n)(x)=(−1)nn!xn+1f^{(n)}(x)=\dfrac {(-1)^nn!}{x^{n+1}}f(n)(x)=xn+1(−1)nn!​
.
2.Soit
fff
 la fonction définie sur
]1;+∞[]1;+\infty[]1;+∞[
 par
f(x)=21−x2f(x)=\dfrac{2}{1-x^2}f(x)=1−x22​
.
Démontrer que, pour tout
x∈]1;+∞[x\in]1;+\infty[x∈]1;+∞[
,\(f^{(n)}(x)=\dfrac {n!}{(1-x)^{n+1}}+\dfrac {(-1)^nn!}{(1+x)^{n+1}}\).

Convexité

* Convexité de f à partir de la courbe de f'

Exercice 1
On donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction dérivée
f'
 d'une fonction
f
 définie sur
[-5\ ;\ 6]
.
1.Étudier les variations de
fff
 sur
R\mathbb{R}R
.
2.Étudier la convexité de
fff
 sur
R\mathbb{R}R
.
3.La courbe représentative de la fonction
fff
 admet-elle des points d'inflexion ?
Exercice 2
On donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction dérivée
f'
 d'une fonction
f
 définie sur
\mathbb{R}
.
1.Étudier les variations de
fff
 sur
R\mathbb{R}R
.
2.Étudier la convexité de
fff
 sur
R\mathbb{R}R
.
3.La courbe représentative de la fonction
fff
 admet-elle des points d'inflexion ?

* Convexité de f à partir de la courbe de f''

Exercice 1
On donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction dérivée seconde
f′′f''f′′
 d'une fonction
f
 définie et deux fois dérivable sur
\mathbb{R}
.
1.Étudier la convexité de
fff
 sur
R\mathbb{R}R
.
2.La courbe représentative de la fonction
fff
 admet-elle des points d'inflexion ?
Exercice 2
On donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction dérivée seconde
f′′f''f′′
 d'une fonction
f
 définie et deux fois dérivable sur
\mathbb{R}
.
1.Étudier la convexité de
fff
 sur
R\mathbb{R}R
.
2.La courbe représentative de la fonction
fff
 admet-elle des points d'inflexion ?

* Exploiter un graphique

Dans le repère ci-dessous, trois courbes
C1\mathscr{C}_1C1​
, 
C2\mathscr{C}_2C2​
et 
C3\mathscr{C}_3C3​
sont représentées. L’une d'elles représente une fonction
fff
 définie et dérivable sur
R\mathbb{R}R
, une autre représente sa dérivée et une troisième représente sa dérivée seconde.
1.Associer à chaque courbe sa fonction.
2.Étudier la convexité de
fff
 sur
R\mathbb{R}R
.

* Inégalité de convexité

Exercice 1
On considère une fonction
fff
 définie sur un intervalle \(I\)et convexe sur
III
. On note
Cf\mathscr{C}_fCf​
 sa courbe représentative.
Soit
aaa
 et
bbb
 deux réels de l'intervalle
III
. On considère les points
A\text AA
 et
B\text BB
 de
Cf\mathscr{C}_fCf​
 d'abscisse respective
aaa
 et
bbb
.
1.Calculer les coordonnées du point
C\text CC
 milieu de
[AB][AB][AB]
.
2.En déduire que
f(a+b2)⩽12f(a)+12f(b)f\left(\displaystyle\frac{a+b}{2}\right) \leqslant \displaystyle\frac{1}{2}f(a)+\displaystyle\frac{1}{2}f(b)f(2a+b​)⩽21​f(a)+21​f(b)
.
Exercice 2
En utilisant l'inégalitéprécédente, montrer que, pour tous réels
xxx
 et
yyy
, on a
ex+y⩽14(ex+ey)2\text{e}^{x+y} \leqslant \displaystyle\frac{1}{4}\left(\text{e}^x+\text{e}^y\right)^2ex+y⩽41​(ex+ey)2
.

** Représenter une fonction connaissant sa dérivée

On donne ci-dessous le tableau de variations de la dérivée
f′f'f′
 d'une fonction
f
 définie et dérivable sur
[-1\ ; \ 8]
.
1.Étudier les variations de
f
 sur l'intervalle 
[-1\ ; \ 8]
.
2. a.Étudier la convexité de la fonction
f
 sur 
[-1\ ; \ 8]
.b.La courbe représentative de la fonction
f
 admet-elle un ou des points d'inflexion ?
3.On sait, de plus, que
f(-1)=-2
,
f(2)=1
,
f(5)=6f(5)=6f(5)=6
 et
f(8)=2f(8)=2f(8)=2
. Tracer une courbe représentative possibledela fonction
f
.

** Quand il vaut mieux vérifier ses conjectures

On donne ci-dessous la courbe représentative d'une fonction
f
 définie sur
\mathbb{R}
 dans un repère.
1.Conjecturer la convexité de
f
 sur l'intervalle
[-1\ ;\ 1]
.
2.On donne, pour tout réel
x
,
f(x)=4x^4-6x^3+3x^2+6x+1
.a.Étudier algébriquement la convexité de
f
 sur
[-1 \ ;\ 1]
.    b. Conclurequant à la conjectureétablie à la question1.

** Inégalité de Bernoulli - Le retour

Pour tout entier naturel
n⩾2n\geqslant 2n⩾2
, on considère la fonction
f_n
définie sur `[-1\ ;+\infty[` par
f_n(x)=(1+x)^n
.
1. a.Pour tout réel
x⩾−1x \geqslant -1x⩾−1
,calculer
fn′(x)f_n'(x)fn′​(x)
 puis
fn′′(x)f_n''(x)fn′′​(x)
.
    b.Étudier la convexité de
fnf_nfn​
sur `[-1\ ;\+\infty[` .
2.Déterminer l'équationréduitede la tangente à la courbe représentative de la fonction
fnf_nfn​
 au point d'abscisse
000
.
3. En déduire que, pour tout entier naturel \(n\)supérieur ou égal à \(2\)et pour tout réel \(x\)
supérieur ou égal à
−1-1−1
, on a
 (1+x)n⩾1+nx\ (1+x)^n \geqslant 1+nx (1+x)n⩾1+nx
.

** Deux méthodes pour étudier le signe d'une fonction

On considère la fonction
f
 définie sur
\mathbb{R}
 par
f(x)=e−3x+6+3x−7f(x)=\text{e}^{-3x+6}+3x-7f(x)=e−3x+6+3x−7
. Le but de cet exercice est d'étudier le signe de la fonction
fff
 de deux façons différentes.
1.Première méthode : étude de la fonction
fff
a.Étudier les variations de la fonction
fff
 sur
R\mathbb{R}R
.b.Déterminer la valeur exacte du minimumde\(f\) sur
R\mathbb{R}R
.c.Conclure quant au signe de
f(x)f(x)f(x)
 sur
R\mathbb{R}R
.
2. Seconde méthode : utilisation de la convexité
On considère la fonction
ggg
 définie sur
R\mathbb{R}R
 par
g(x)=e−3x+6g(x)=\text{e}^{-3x+6}g(x)=e−3x+6
.a.Étudier la convexité de
ggg
.b.Détermineruneéquation de la tangente à la courbe représentative de la fonction
ggg
 au point d'abscisse
222
.c.Conclure quant au signe de
f(x)f(x)f(x)
 sur
R\mathbb{R}R
.

** Coût marginal et coût moyen

Un artisan fabrique
xxx
 litres de parfum, avec
x∈[0 ; 100]x\in[0\ ;\ 100]x∈[0 ; 100]
. 
Le coût total de production, exprimé en euros, est modélisé par la fonction
CCC
, définie sur
[0 ; 100][0\ ;\ 100][0 ; 100]
 par
C(x)=172x3−52x2+160x+1536C(x)=\dfrac{1}{72}x^3-\dfrac{5}{2}x^2+160x+1536C(x)=721​x3−25​x2+160x+1536
.
On appelle coût marginal le coût additionnel induit par la fabrication d'une unité supplémentaire, c'est-à-dire ici par la fabrication d'un litre de parfum. On le note
Cm(x)C_m(x)Cm​(x)
 et on a donc 
Cm(x)=C(x+1)−C(x)C_m(x)=C(x+1)-C(x)Cm​(x)=C(x+1)−C(x)
.
1.Pour tout réel
x∈[0 ; 100]x\in[0\ ;\ 100]x∈[0 ; 100]
, calculer
C′(x).C'(x).C′(x).
2. a.Déterminer
Cm(x)C_m(x)Cm​(x)
 pour tout réel
x∈[0 ; 100]x\in[0\ ;\ 100]x∈[0 ; 100]
.b.Calculer
Cm(50)C_m(50)Cm​(50)
 et comparer avec
C′(50).C'(50).C′(50).
En pratique, on assimile le coût marginal de production à la dérivée du coût total. On aura donc, pour tout réel
x∈[0 ; 100]x\in[0\ ;\ 100]x∈[0 ; 100]
,
Cm(x)=C′(x)C_m(x)=C'(x)Cm​(x)=C′(x)
.
3. a.Déterminer le plus grand intervalle de la forme
[0 ; a][0\ ;\ a][0 ; a]
 inclus dans
[0 ; 100][0\ ;\ 100][0 ; 100]
 sur lequel la fonction
CCC
 est concave.b.Que peut-on dire du point
A(a ; C(a))\text A(a\ ;\ C(a))A(a ; C(a))
 pour la courbe représentative de la fonction
CCC
 ? Interpréter.
4.Le coût moyen de fabrication d'un litre de parfum, quand on produit
xxx
 litres, est modélisé par la fonction
CMC_MCM​
 définie pour tout réel 
xxx
 dans l'intervalle
]0 ; 100]]0\ ;\ 100]]0 ; 100]
 par
CM(x)=C(x)xC_M(x)=\dfrac{C(x)}{x}CM​(x)=xC(x)​
.a.Démontrer que, pour tout réel 
xxx
 dans l'intervalle
]0 ; 100]]0\ ;\ 100]]0 ; 100]
,
CM′(x)=(x−96)(x2+6x+576)36x2C_M'(x)=\dfrac{(x-96)\left(x^2+6x+576\right) }{36x^2}CM′​(x)=36x2(x−96)(x2+6x+576)​
.b.En déduire le tableau de variations de la fonction
CMC_MCM​
 et la quantité de parfum à produire pour obtenir un coût moyen de production minimal.c.Calculer 
CM(96)C_M(96)CM​(96)
 et
Cm(96)C_m(96)Cm​(96)
. Que remarque-t-on ?

*** Faisabilité d'un projet routier

Soit
fff
 la fonction définie sur
[0 ; 8][0 \ ;\ 8][0 ; 8]
 par
f(x)=0,71+e−x+2+0,3f(x)=\displaystyle\frac{0,7}{1+\text{e}^{-x+2}}+0,3f(x)=1+e−x+20,7​+0,3
.
1.Étudier les variations de la fonction
fff
 sur 
[0 ; 8][0 \ ;\ 8][0 ; 8]
.
2. a.Montrer que, pour tour réel
x∈[0 ; 8], f′′(x)=0,7e−x+2(e−x+2−1)(e−x+2+1)3x \in [0 \ ; \ 8], \ f''(x)=\displaystyle\frac{0,7\text{e}^{-x+2}\left(\text{e}^{-x+2}-1\right)}{\left(\text{e}^{-x+2}+1\right)^3}x∈[0 ; 8], f′′(x)=(e−x+2+1)30,7e−x+2(e−x+2−1)​
.b.Étudier la convexité de
fff
 sur 
[0 ; 8][0 \ ;\ 8][0 ; 8]
.
3.Dans une région montagneuse, une entreprise étudie un projet de route reliant les villages A et B situés à deux altitudes différentes.
La fonction
fff
 définie ci-dessous modélise le profilde la route.
La variable 
xxx
représente la distance horizontale, en kilomètres, depuis le village A et
f(x)f(x)f(x)
 représente l’altitude associée, en kilomètres.
La représentation graphique 
Cf\mathscr{C}_fCf​
de la fonction 
fff
est donnée ci-dessous.
a.Déterminer l'écart d'altitude entre les villages A et B, arrondi au mètre.b.Dans cette question, le coefficient directeur de la tangente à
Cf\mathscr{C}_fCf​
 en un point M est appelé « pente en M ». On précise aussi qu’une pente en M de 5 % correspond à un coefficient directeur de la tangente à la courbe de 
fff
en M égal à 0,05. Il est décidé que le projet sera accepté à condition qu’en aucun point de
Cf\mathscr{C}_fCf​
la pente ne dépasse 18 %. Déterminer si le projet sera accepté ou refusé.

*** Convexité et intersection de tangente avec l'axe des ordonnées

On considère la fonction
fff
 définie sur
[0 ;+∞[[0\ ; +\infty[[0 ;+∞[
 par
f(x)=xe−xf (x) = x \text{e}^{ -x}f(x)=xe−x
. On note 
Cf\mathscr{C}_fCf​
sa courbe représentative dans un repère orthonormé du plan. On admet que 
fff
est deux fois dérivable sur
[0 ;+∞[[0 \ ; +\infty[[0 ;+∞[
.
1.Démontrer que
Cf\mathscr{C}_fCf​
admet une asymptote horizontale dont on donnera une équation.
2.Étudier les variations de
fff
 sur
[0 ;+∞[[0\ ; +\infty[[0 ;+∞[
.
3.Dresser le tableau complet des variations de
fff
 sur 
[0 ;+∞[[0\ ; +\infty[[0 ;+∞[
.
4.Étudier la convexité de la fonction 
fff
 sur
[0 ;+∞[[0\ ; +\infty[[0 ;+∞[
.
5.Soit 
aaa
un réel appartenant à 
[0 ;+∞[[0 \ ; +\infty[[0 ;+∞[
et 
A\text{A}A
le point de la courbe
Cf\mathscr{C}_fCf​
 d’abscisse
aaa
. On note 
TaT_aTa​
la tangente à
Cf\mathscr{C}_fCf​
 en
A\text{A}A
 et
Ha\text{H}_aHa​
le point d’intersection de la droite
TaT_aTa​
et de l’axe des ordonnées.
On note 
g(a)g (a)g(a)
l’ordonnée de 
Ha\text{H}_aHa​
. La situation est représentée sur la figure ci-dessous.
    a.Déterminer l'équation réduite de la tangente
TaT_aTa​
.
    b.En déduire l’expression de
g(a)g (a)g(a)
.
    c.Démontrer que
g(a)g (a)g(a)
est maximum lorsque 
A\text{A}A
est un point d’inflexion de la courbe
Cf\mathscr{C}_fCf​