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Les perles du BAC

\(f(x) =\dfrac{1}{1+\text e^{-3x}}\)

Sommaire

Centres étrangers, mars 2023 (partiel)Amérique du Nord, mars 2023 (partiel)Des QCM

Centres étrangers, mars 2023 (partiel)

On considère la fonction 
fff
définie sur 
R\mathbb{R}R
par : 
f(x)=11+e−3xf(x) =\dfrac{1}{1+\text e^{-3x}}f(x)=1+e−3x1​
.
On note 
CfC_fCf​
sa courbe représentative dans un repère orthogonal du plan.
On nomme 
A\text AA
le point de coordonnées 
(0 ;12)\left(0\,; \dfrac{1}{2} \right)(0;21​)
et 
BBB
le point de coordonnées
(1 ;54)\left(1\,; \dfrac{5}{4} \right)(1;45​)
.
On a tracé ci-dessous la courbe 
CfC_fCf​
et 
T\mathcal{T}T
la tangente à la courbe 
CfC_fCf​
au point d’abscisse
000
.
Partie A - Lectures graphiques
Dans cette partie, les résultats seront obtenus par lecture graphique. Aucune justification n’est demandée.
1.Déterminer l’équation réduite de la tangente 
T\mathcal{T}T
.
2.Donner les intervalles sur lesquels la fonction 
fff
semble convexe ou concave.
Partie B - Étude de la fonction
1.On admet que la fonction 
fff
est dérivable sur
R\mathbb {R}R
. Déterminer l’expression de sa fonction dérivée
f′f ^\primef′
.
2.Justifier que la fonction 
fff
est strictement croissante sur
R\mathbb {R}R
.
Partie C - Tangente et convexité
1.Déterminer par le calcul une équation de la tangente 
T\mathcal{T}T
à la courbe 
CfC_fCf​
au point d’abscisse
000
. 
On admet que la fonction 
fff
est deux fois dérivable sur
R\mathbb {R}R
. On note 
f′′f ^{\prime\prime}f′′
 la fonction dérivée seconde de la fonction
fff
. 
On admet que 
f′′f ^{\prime\prime}f′′
est définie sur 
R\mathbb {R}R
par : 
f′′(x)=9e−3x(e−3x−1)(1+e−3x)3f ^{\prime\prime}(x)=\dfrac{9e^{-3x} (e^{-3x}-1)}{(1+e^{-3x})^3}f′′(x)=(1+e−3x)39e−3x(e−3x−1)​
.
2.Étudier le signe de la fonction 
f′′f ^{\prime\prime}f′′
 sur
R\mathbb {R}R
.
3. a.Indiquer, en justifiant, sur quel(s) intervalle(s) la fonction 
fff
est convexe.b.Que représente le point 
A\text AA
pour la courbe 
CfC_fCf​
?c.En déduire la position relative de la tangente 
T\mathcal{T}T
et de la courbe
CfC_fCf​
. Justifier la réponse.

Amérique du Nord, mars 2023 (partiel)

Partie A
Le plan est muni d’un repère orthogonal. 
On considère une fonction 
fff
définie et dérivable sur
R\mathbb{R}R
. On note 
f′f^\primef′
sa fonction dérivée. On donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction dérivée
f′f^\primef′
.
Dans cette partie, les résultats seront obtenus par lecture graphique de la courbe représentative de la fonction dérivée
f′f^\primef′
. Aucune justification n’est demandée.
1.Donner le sens de variation de la fonction 
fff
sur
R\mathbb{R}R
. On utilisera des valeurs approchées si besoin.
2.Donner les intervalles sur lesquels la fonction 
fff
semble être convexe.
Partie B
On admet que la fonction 
fff
de la partie 
A\mathbf{A}A
est définie sur 
R\mathbb{R}R
par 
f(x)=(x2−5x+6)exf(x)=(x^2-5x+6)e^xf(x)=(x2−5x+6)ex
.
On note 
CCC
la courbe représentative de la fonction 
fff
dans un repère.
1.Montrer que, pour tout réel
xxx
, on a
f′(x)=(x2−3x+1)exf^\prime(x)=(x^2-3x+1)e^xf′(x)=(x2−3x+1)ex
.
2.En déduire le sens de variation de la fonction
fff
.
3.Déterminer l’équation réduite de la tangente 
(T)(\mathcal{T})(T)
à la courbe 
CCC
au point d’abscisse
000
.
On admet que la fonction 
fff
est deux fois dérivable sur
R\mathbb{R}R
. On note 
f′′f^{\prime{\prime}}f′′
la fonction dérivée seconde de la fonction
fff
. On admet que, pour tout réel
xxx
, on a
f′′(x)=(x+1)(x−2)exf^{\prime{\prime}}(x)=(x+1)(x-2)e^xf′′(x)=(x+1)(x−2)ex
.
4. a.Étudier la convexité de la fonction 
fff
sur
R\mathbb{R}R
.b.Montrer que, pour tout 
xxx
appartenant à l’intervalle
[−1 ;2][-1\,;2][−1;2]
, on a
f(x)⩽x+6f(x)\leqslant x+6f(x)⩽x+6
.

Des QCM

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.
Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
1.On considère la fonction 
h
définie sur 
\mathbb{R}
par :
h(x) = (4x − 16)\text{e}^{2x}
. On note 
Ch\mathscr{C}_hCh​
la courbe représentative de 
hhh
dans un repère orthogonal. On peut affirmer que :
a.h est convexe sur 
\mathbb{R}
.
b.
Ch\mathscr{C}_hCh​
possède un point d’inflexion en
x=3x=3x=3
.
c.
hhh
est concave sur
R\mathbb{R}R
.
d.
Ch\mathscr{C}_hCh​
possède un point d’inflexion en
x=3,5x=3,5x=3,5
.
2.On considère une fonction 
fff
définie et dérivable sur
[−2 ; 2][-2\ ;\ 2][−2 ; 2]
. Le tableau de variations
de la fonction 
f′f'f′
dérivée de la fonction 
fff
sur l’intervalle
[−2 ; 2][-2\ ;\ 2][−2 ; 2]
est donné :La fonction
fff
 est :
a.convexe sur
[−2 ; 1][-2\ ;\ 1][−2 ; 1]
.
b.concave sur
[0 ; 1][0\ ;\ 1][0 ; 1]
.
c.convexe sur 
[−1 ; 2][-1 \ ; \ 2][−1 ; 2]
.
d.concave sur
[−2 ; 0][-2\ ;\ 0][−2 ; 0]
.
3. On donne ci-dessus la courbe représentative de la dérivée 
f′f'f′
d’une fonction 
fff
définie
sur l’intervalle
[−2 ; 4][-2 \ ;\ 4][−2 ; 4]
.
Par lecture graphique de la courbe de
f′f'f′
, déterminer l’affirmation correcte pour 
fff
:
a.
fff
est décroissante sur
[0 ; 2][0 \ ;\ 2][0 ; 2]
.
b.
fff
est décroissante sur
[−1 ; 0][-1\ ; \ 0][−1 ; 0]
.
c.
fff
admet un maximum en 
111
sur
[0 ; 2][0 \ ;\ 2][0 ; 2]
.
d.
fff
admet un maximum en 
333
sur
[2 ; 4][2 \ ;\ 4][2 ; 4]
.
4.Soit
fff
 une fonction deux fois dérivable sur l'intervalle
[−3 ; 1][-3 \ ;\ 1][−3 ; 1]
. On donne ci-dessous la représentation graphique de sa fonction dérivée seconde
f′′f''f′′
. On peut alors affirmer que :
a.La fonction
fff
 est convexe sur l'intervalle 
[−1 ; 1][-1 \ ;\ 1][−1 ; 1]
.
b.La fonction
fff
 est concave sur l'intervalle 
[−2 ; 0][-2 \ ;\ 0][−2 ; 0]
.
c.La fonction
f′f'f′
 est décroissante sur l'intervalle 
[−2 ; 0][-2 \ ;\ 0][−2 ; 0]
.
d.La fonction
f′f'f′
 admet un maximum en
x=−1x=-1x=−1
.