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☆ À n'ouvrir qu'en cas d'urgence ☆

\(\varphi_n'(x)=2nx^{2n-1}\)

Sommaire

⚒ Leibniz et Vandermonde⚒ Inégalité des pentes⚒ Caractérisation de la convexité et applications⚒ Fonction de Gumbel

⚒ Leibniz et Vandermonde

1.Pour tout réel
xxx
, on a 
φn′(x)=2nx2n−1\varphi_n'(x)=2nx^{2n-1}φn′​(x)=2nx2n−1
,
φn′′(x)=2n(2n−1)x2n−2\varphi_n''(x)=2n(2n-1)x^{2n-2}φn′′​(x)=2n(2n−1)x2n−2
,
φn(n)(x)=2n(2n−1)...(n+1)xn\varphi_n^{(n)}(x)=2n(2n-1)...(n+1)x^{n}φn(n)​(x)=2n(2n−1)...(n+1)xn
.
2.a.Pour tout entier naturel non nul 
n
, on a
fn(n−k)(x)=n(n−1)...(k+1)xk=n!k!xkf_n^{(n-k)}(x)=n(n-1)...(k+1)x^k=\dfrac{n!}{k!}x^kfn(n−k)​(x)=n(n−1)...(k+1)xk=k!n!​xk
.

⚒ Inégalité des pentes

\(f\)est une fonction convexe sur
R\mathbb RR
 si et seulement si, pour tous réels
a,b,ca,b,ca,b,c
 tels que
a<b<ca<b<ca<b<c
1.On peut faire un raisonnement par l'absurde en supposant que 
fff
est une fonction convexe bornée non constante. Il existe alors des réels
aaa
, 
bbb
et
ccc
 tels que 
a<b<ca<b<ca<b<c

⚒ Caractérisation de la convexité et applications

Propriété
La fonction 
ln⁡\lnln
est concave sur 
R+∗\mathbb {R_+^*}R+∗​
donc, pour tout réel
λ∈[0;1]\lambda\in[0;1]λ∈[0;1]
, pour tous réels 
XXX
et 
YYY
strictement positifs, 
ln⁡(λX+(1−λ)Y)⩾λln⁡X+(1−λ)ln⁡Y\ln(\lambda X+(1-\lambda )Y)\geqslant\lambda\ln X+(1-\lambda)\ln Yln(λX+(1−λ)Y)⩾λlnX+(1−λ)lnY
.
En posant
λ=1p\lambda = \dfrac{1}{p}λ=p1​
, on a alors
1−λ=1−1p=1q1-\lambda=1-\dfrac{1}{p}=\dfrac{1}{q}1−λ=1−p1​=q1​
.
On en déduit que 
ln⁡(1pX+1qY)⩾1pln⁡X+1qln⁡Y\ln\left(\dfrac{1}{p}X+\dfrac{1}{q}Y\right)\geqslant\dfrac{1}{p}\ln X+\dfrac{1}{q}\ln Yln(p1​X+q1​Y)⩾p1​lnX+q1​lnY
.
On pose 
X=xpX= x^pX=xp
et
Y=yqY=y^qY=yq
. On a 
ln⁡(xpp+xqq)⩾1pln⁡(xp)+1qln⁡(yq)⩾ln⁡(x)+ln⁡(y)⩾ln⁡(xy)\begin{align}\ln\left( \dfrac{x^p}{p}+\dfrac{x^q}{q}\right) &\geqslant \dfrac{1}{p}\ln(x^p)+\dfrac{1}{q}\ln(y^q) \\ &\geqslant \ln(x)+\ln(y)\\ &\geqslant\ln(xy) \end{align}ln(pxp​+qxq​)​⩾p1​ln(xp)+q1​ln(yq)⩾ln(x)+ln(y)⩾ln(xy)​​
La fonction exponentielle est croissante sur 
R\mathbb {R}R
donc
xpp+xqq⩾xy\dfrac{x^p}{p}+\dfrac{x^q}{q}\geqslant xypxp​+qxq​⩾xy
.
Exemple
Posons par exemple
λ=12\lambda = \dfrac{1}{2}λ=21​
. On obtient, pour tous réels 
xxx
et 
yyy
positifs,
f(12x+12y)⩽12f(x)+12f(y)f\left( \dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{2}y \right)\leqslant\dfrac{1}{2}f(x)+\dfrac{1}{2}f(y)f(21​x+21​y)⩽21​f(x)+21​f(y)
.
Pour tout réel
y⩾0y\geqslant0y⩾0
,
lim⁡x→+∞(12x+12y)=+∞\lim\limits_{x \rightarrow +\infty}\left( \dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{2}y \right)=+\inftyx→+∞lim​(21​x+21​y)=+∞
. Comme
lim⁡X→+∞f(X)=0\lim\limits_{X \rightarrow +\infty}f(X)=0X→+∞lim​f(X)=0
, alors,
par composition, 
lim⁡x→+∞f(12x+12y)=0\lim\limits_{x \rightarrow +\infty}f\left( \dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{2}y \right)=0x→+∞lim​f(21​x+21​y)=0
.
En faisant un passage à la limite dans l'inégalité précédente, on obtient que, pour tout réel
y⩾0y\geqslant0y⩾0
, 
0⩽12f(y)0\leqslant\dfrac{1}{2}f(y)0⩽21​f(y)
soit
f(y)⩾0f(y)\geqslant0f(y)⩾0
.
fff
 est donc positive sur
R+\mathbb {R_+}R+​
.

⚒ Fonction de Gumbel

2.Soit
φ\varphiφ
 la fonction définie sur
R\mathbb RR
 par
φ(x)=a−xbe−a−xb\varphi(x)=\dfrac{a-x}{b}\text{e}^{-\frac{a-x}{b}}φ(x)=ba−x​e−ba−x​
.
φ\varphiφ
 est dérivable sur
R\mathbb RR
 et
φ′(x)=−1be−a−xb+a−xb×1be−a−xb=a−b−xb2e−a−xb\varphi'(x)=\dfrac{-1}{b}\text{e}^{-\frac{a-x}{b}}+\dfrac{a-x}{b}\times\dfrac1b \text{e}^{-\frac{a-x}{b}}=\dfrac{a-b-x}{b^2}\text{e}^{-\frac{a-x}{b}}φ′(x)=b−1​e−ba−x​+ba−x​×b1​e−ba−x​=b2a−b−x​e−ba−x​
.