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Exercices vers le supérieur

1.Démontrer que la courbe représentative d'un polynôme de degré 3 admet exactement un point d'inflex...

Sommaire

Polynôme et point d'inflexionUne suite qui tend vers eValeur absolue☆ Leibniz et Vandermonde☆ Caractérisation de la convexité et applications☆ Inégalité des pentes☆ Fonction de Gumbel

Polynôme et point d'inflexion

1.Démontrer que la courbe représentative d'un polynôme de degré 3 admet exactement un point d'inflexion.
2.On s'intéresse dans cette question aux polynômes de degré 4.a.Déterminer un polynôme dont la courbeadmet : 0 point d'inflexion ; 2 points d'inflexion.b.Peut-on en trouver un dont la courbe n'aurait qu'un seul point d'inflexion ?

Une suite qui tend vers e

1.À l'aide de la convexité, montrer que, pour tout réel
xxx
,
ex⩾1+x\text{e}^{x}\geqslant 1+xex⩾1+x
.
2.En utilisant l'inégalité précédente, démontrer que, pour tout entier naturel
nnn
 non nul,
e1n⩾1+1n\text{e}^{\frac{1}{n}}\geqslant1+\dfrac{1}{n}en1​⩾1+n1​
 puis que
e−1n+1⩾1−1n+1\text{e}^{\frac{-1}{n+1}}\geqslant1-\dfrac{1}{n+1}en+1−1​⩾1−n+11​
.
3. a.En déduire un encadrement de
(1+1n)n\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n}(1+n1​)n
.b.Calculer
lim⁡n→+∞(1+1n)n\underset{n\rightarrow+\infty}{\lim}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n}n→+∞lim​(1+n1​)n
.

Valeur absolue

On rappelle que la fonction
x↦∣x∣x\mapsto\left|x\right|x↦∣x∣
 n'est pas dérivable en 0.
Soit 
fff
 la fonction définie sur 
R\mathbb RR
par
f(x)=x∣x∣f(x)= x\left |x\right|f(x)=x∣x∣
.
1.Démontrer que la fonction 
fff
 est dérivable en 0.
2.Démontrer que la courbe représentative de
fff
 admet un point d'inflexion en 0 mais que
f'
 n'est pas dérivable en
0
.

☆ Leibniz et Vandermonde

Soit
nnn
un entier naturel non nul. On note
f(n)f^{(n)}f(n)
 la dérivée
nnn
-ièmed'une fonction
fff
 et on admet la formule suivante, appeléeformule de Leibniz.
Si
fff
 et
ggg
 sont
nnn
 fois dérivables sur un intervalle
III
, alors le produit
fgfgfg
 est
nnn
 fois dérivable sur
III
 et
(fg)(n)=∑k=0n(nk)f(k)g(n−k)\boxed{\left(fg\right)^{(n)}=\displaystyle \sum_{k=0}^n\binom{n}{k}f^{(k)}g^{(n-k)}}(fg)(n)=k=0∑n​(kn​)f(k)g(n−k)​
 , avec
(nk)=n!k!(n−k)!\boxed{\displaystyle\binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!\left(n-k\right)!}}(kn​)=k!(n−k)!n!​​
.
On considère la fonction 
φn\varphi_nφn​
 définie sur
R\mathbb RR
 par
φn(x)=x2n\varphi_n(x)=x^{2n}φn​(x)=x2n
.
1.Vérifier que, pour tout réel
xxx
,
φn(n)(x)=(2n)!n!xn\varphi_n^{(n)}(x)=\dfrac {(2n)!}{n!}x^{n}φn(n)​(x)=n!(2n)!​xn
.
2.On considère, pour tout entier naturel
n
 non nul, la fonction
f_n
 définie sur
\mathbb{R}
 par
f_n(x)=x^n.
    a.Pour tout entier naturel\(k\) inférieur ou égal à \(n\) et pour tout réel 
xxx
, calculer
fn(k)(x)f_n^{(k)}(x)fn(k)​(x)
 et
fn(n−k)(x)f_n^{(n-k)}(x)fn(n−k)​(x)
.b.En écrivant
φn\varphi_nφn​
 sous la forme
φn(x)=xnxn\varphi_n(x)=x^{n}x^nφn​(x)=xnxn
 et en utilisant la formule de Leibniz, démontrer laformule de Vandermonde:
∑k=0n(nk)2=(2nn)\displaystyle \sum_{k=0}^n\binom{n}{k}^2=\binom{2n}{n}k=0∑n​(kn​)2=(n2n​)
.

☆ Caractérisation de la convexité et applications

On admet le résultat suivant : 
fff
 est une fonction convexe sur un intervalle
III
 si et seulement si, pour tous réels
x et yx \text { et } yx et y
 de
III
, pour tout
λ∈[0 ;1]\lambda\in[0\ ;1]λ∈[0 ;1]
,
f(λx+(1−λ)y)⩽λf(x)+(1−λ)f(y)\boxed{f\left(\lambda x+\left(1-\lambda \right)y\right)\leqslant\lambda f(x)+\left(1-\lambda\right)f(y)}f(λx+(1−λ)y)⩽λf(x)+(1−λ)f(y)​
.
Il s'agit de la traduction mathématique du fait que la courbe représentative d'une fonction
fff
 convexe est en-dessous de ses sécantes sur
III
.
On obtient une définition analogue en remplaçant« convexe»par« concave»et« \(\leqslant\)» par « 
⩾\geqslant⩾
 ».
1.Soit
xxx
 et
yyy
 deux réels strictement positifs. Soit
ppp
 et
qqq
 deux réels strictement positifs tels que
1p+1q=1\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}=1p1​+q1​=1
 . En utilisant la concavité de la fonction`\ln`, montrer que
xpp+yqq⩾xy\dfrac{x^p}{p}+\dfrac{y^q}{q}\geqslant xypxp​+qyq​⩾xy
.
2.Soit
fff
 une fonction convexe sur
R+\mathbb R_+R+​
 telle que
lim⁡x→+∞f(x)=0\underset{x\rightarrow+\infty}{\lim}f(x)=0x→+∞lim​f(x)=0
. Démontrer que
fff
 est positive sur
R+\mathbb R_+R+​
.

☆ Inégalité des pentes

On admet le résultat suivant : 
fff
 est une fonction convexe sur
R\mathbb RR
 si et seulement si pour tous réels
a,b,ca,b,ca,b,c
 tels que
a<b<ca<b<ca<b<c
1.Soit
fff
une fonction convexe sur
R\mathbb RR
. Démontrer quesi \(f\) est bornée, alors elle est constante.
2.Soit
fff
 une fonction convexe sur 
R\mathbb RR
.a.Démontrer que si
fff
 est strictement croissante sur 
R\mathbb RR
, alors
lim⁡x→+∞f(x)=+∞\underset{x\rightarrow+\infty}{\lim}f(x)=+\inftyx→+∞lim​f(x)=+∞
.b.Le résultatreste-t-il valable si on suppose simplementque
fff
 est croissante sur
R\mathbb RR
 ?

☆ Fonction de Gumbel

La loi de Gumbel est utilisée en climatologie pour estimer les valeurs extrêmes de phénomènes. Elle utilise la fonction 
fff
définie sur 
R\mathbb RR
par 
f(x)=1bexp⁡(a−xb−exp⁡(a−xb))=1bea−xb−ea−xbf(x)=\dfrac{1}{b}\exp\left(\dfrac{a-x}{b}-\exp\left(\dfrac{a-x}{b}\right)\right)=\dfrac{1}{b}\text e^{\frac{a-x}{b}-\text e^{\frac{a-x}{b}}}f(x)=b1​exp(ba−x​−exp(ba−x​))=b1​eba−x​−eba−x​
où 
aaa
et
bbb
 sont deux réels strictement positifs.
1.Étude d'un cas particulier : dans cette question, on pose
a=0a=0a=0
 et
b=1b=1b=1
 , c'est-à-dire 
f(x)=e−x−e−xf(x)=\text e^{-x-\text e^{-x}}f(x)=e−x−e−x
. Soit
ggg
 la fonction définie par
g(x)=−x−e−xg(x)=-x-\text{e}^{-x}g(x)=−x−e−x
.a.Calculer
g′(x)g'(x)g′(x)
.b.En déduire
f′(x)f'(x)f′(x)
 puis démontrer que
fff
 est strictement décroissante sur
R+\mathbb{R}_{+}R+​
 et strictement croissante sur
R−\mathbb{R}_{-}R−​
.c.Étudier les limites de 
fff
en
−∞-\infty−∞
 et en
+∞+\infty+∞
.d.Dresser son tableau de variations.
2.Cas général : dresser le tableau de variations de
fff
.