Définition
Soit
f
une fonction définie sur un intervalle
I
et `a`un réel appartenant à
I
.
On dit que
f
estcontinueen
si
Remarque
La continuité en un réel est une notion locale.
Définition
Soit
f
une fonction définie sur un intervalle
I
.
On dit que
estcontinue sur
si, pour tout réel
appartenant à
I
,
f
est continue en
a
.
Aspect graphique
Remarque
Soit
une fonction définie sur un intervalle
.
Lorsque
est continue sur
, on peut tracer la courbe représentative de
sur l’intervalle
sans avoir à lever le crayon.
Exemples
• La fonction suivante est continue sur
.
• La fonction suivante présente une discontinuité en
.
Lien avec la dérivabilité
Théorème (admis)
Soit
une fonction définie sur un intervalle
et `a`un réel appartenant à `I`.
Si
est dérivable en
, alors
est continue en
.
Remarque
La réciproque du théorème précédent est fausse. En effet,la fonction valeur absolue est continue sur
mais n'est pas dérivable en
.
Exemples de fonctions continues
Propriété
Les fonctions de référence sont continues sur leur ensemble de définition.
La somme, le produit, le quotient et la composée de fonctions continues sont continues sur leur ensemble de définition.
Exemple
On considère la fonction
définie sur
par
.
est la composéed'une fonction polynômeet de la fonction exponentielle, donc
est continue sur
.
La continuité de
justifie que
. En effet, comme \(f\) est continue sur \(\mathbb{R}\),\(f\) est continue en 0, donc on a \(\lim\limits_{x \to 0}f(x)=f(0)=\text{e}^3\).