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Théorème des valeurs intermédiaires

Théorème des valeurs intermédiaires (admis)

Sommaire

Énoncé du théorème des valeurs intermédiaires (TVI)☛ Appliquer le TVICorollaire du théorème des valeurs intermédiaires☛ Utiliser le corollaire du TVI

Énoncé du théorème des valeurs intermédiaires (TVI)

Théorème des valeurs intermédiaires (admis)
Soit 
fff
une fonction définie sur un intervalle 
III
.
Soit 
aaa
et 
bbb
deux réels de
III
tels que 
a<ba < ba<b
.
Si 
fff
est continue sur
[a ; b][a \ ;\ b][a ; b]
alors, pour tout réel 
kkk
compris entre 
f(a)f(a)f(a)
et
f(b)f(b)f(b)
, il existeau moinsun réel
c∈[a ; b]c \in [a\ ;\ b]c∈[a ; b]
tel que
f(c)=kf(c) = kf(c)=k
.
Autrement dit, l’équation
f(x)=kf(x) = kf(x)=k
 admetau moinsune solution sur l'intervalle
[a ; b][a\ ;\ b][a ; b]
.
Remarques
1.Le théorème donne l'existence d’une solution, mais ne permet pas de déterminer le nombre
de solutions. Il ne donne pas non plus le moyen de déterminer la ou les solutions.
2.On admet que, par convention, les flèches d'un tableau devariationstraduisent la continuitéde la fonction considérée.
3. Le théorème des valeurs intermédiaires peut également s’appliquer sur un intervalle ouvert ou semi-ouvert, mais il faut alors remplacer les valeurs des images par les valeurs des limites de`f` au bornes de l'intervalle. Par exemple, on considère une fonction
f
 définie et continue sur
[0\ ;+\infty[
 dont on donne ci-dessous le tableau de variations.
f
 est continue sur l'intervalle
[0\ ;+\infty[
 ;
f(0)=-1
 et
lim⁡x→+∞f(x)=+∞\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=+\inftyx→+∞lim​f(x)=+∞
 donc
2∈[f(0) ; lim⁡x→+∞f(x)[2 \in [f(0)\ ;\ \color{red}{\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)}[2∈[f(0) ; x→+∞lim​f(x)[
.
D’après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation
f(x)=2f(x)=2f(x)=2
 admetau moinsune solution sur l'intervalle
[0 ; +∞[[0\ ;\ +\infty[[0 ; +∞[
.

☛ Appliquer le TVI

Énoncé
Montrer que l’équation
x4−5x=2x^4 - 5x = 2x4−5x=2
admetau moinsune solution sur l’intervalle
[0 ; 3][0\ ;\ 3][0 ; 3]
.
Solution
On pose, pour tout réel 
xxx
,
f(x)=x4−5xf(x) = x^4 - 5xf(x)=x4−5x
 :
f
 est continue sur
[0 ; 3][0\ ;\ 3][0 ; 3]
 ;
f(0)=0f(0) = 0f(0)=0
et
f(3)=66f(3) = 66f(3)=66
 donc
2∈[f(0) ; f(3)]2 \in [f(0)\ ;\ f(3)]2∈[f(0) ; f(3)]
.
D’après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation
f(x)=2f(x)=2f(x)=2
 admetau moinsune solution sur l'intervalle
[0 ; 3][0\ ;\ 3][0 ; 3]
.

Corollaire du théorème des valeurs intermédiaires

Corollaire du théorème des valeurs intermédiaires
Soit 
f
une fonction définie sur un intervalle 
I
et 
a
et 
b
deux réels de
I
tels que
a < b
.
Si
f
 est continue et strictement monotone sur
[a\ ;\ b]
alors, pour tout réel
k
 compris entre 
f(a)f(a)f(a)
et
f(b)f(b)f(b)
, il existe un unique réel
c∈[a ; b]c \in [a\ ;\ b]c∈[a ; b]
tel que
f(c)=kf(c) = kf(c)=k
.
Autrement dit, l’équation
f(x)=kf(x) = kf(x)=k
 admet une unique solution sur l'intervalle
[a ; b][a\ ;\ b][a ; b]
.
Démonstration
Soit `f` une fonction définie sur un intervalle `I` et `a`et 
b
deux réels de
I
tels que
a < b
.
L’existence d’un réel 
c∈[a ; b]c \in [a\ ;\ b]c∈[a ; b]
tel que
f(c)=kf(c) = kf(c)=k
 est assurée par le théorème des valeurs intermédiaires.
On démontre par l'absurde. On suppose qu'il existe deux réels distincts 
c1c_1c1​
et 
c2c_2c2​
tels que
f(c1)=f(c2)=kf(c_1) = f(c_2) = kf(c1​)=f(c2​)=k
. Quitte à renuméroter les indices, on suppose que
c1<c2c_1 < c_2c1​<c2​
.
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Si 
fff
est strictement croissante sur
[a ; b][a\ ;\ b][a ; b]
, alors
f(c1)<f(c2)f(c_1) < f(c_2)f(c1​)<f(c2​)
, ce qui est absurde puisque 
f(c1)=f(c2)=kf(c_1) = f(c_2) = kf(c1​)=f(c2​)=k
.
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Si
f
est strictement décroissantesur
[a ; b][a\ ;\ b][a ; b]
, alors
f(c1)>f(c2)f(c_1) > f(c_2)f(c1​)>f(c2​)
, ce qui est absurde puisque
f(c1)=f(c2)=kf(c_1) = f(c_2) = kf(c1​)=f(c2​)=k
.
Ainsi,
c1=c2c_1=c_2c1​=c2​
.
Remarques
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;On admet que, par convention, les flèches d’un tableau devariationstraduisent lacontinuitéet lastricte monotoniedes fonctions.
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Ce corollaire est encore valable sur un intervalle ouvert ou semi-ouvert, mais il faut alors remplacer les valeurs des images par les valeurs des limites de
f
aux bornes de l'intervalle.

☛ Utiliser le corollaire du TVI

Énoncé
On considère la fonction
fff
 définie sur
[0 ;+∞[[0\ ; +\infty[[0 ;+∞[
 par
f(x)=(5x−1)e−xf(x)=(5x-1)\text{e}^{-x}f(x)=(5x−1)e−x
.
1.Déterminer la limite de
fff
 en
+∞+\infty+∞
.
2.Étudier les variations de
fff
 sur
[0 ;+∞[[0\ ;+\infty[[0 ;+∞[
 et dresser le tableau complet devariationsde
fff
 sur
[0 ;+∞[[0\ ;+\infty[[0 ;+∞[
 .
3.Déterminer le nombre de solutionssur`[0\ ;+\infty[` de l'équation
f(x)=1f(x)=1f(x)=1
.
Solution
1.Pour tout réel
x⩾0x\geqslant 0x⩾0
, 
f(x)=5x−1exf(x)=\displaystyle\frac{5x-1}{\text{e}^x}f(x)=ex5x−1​
.
f(x)=5×xex−1exf(x)=5 \times \displaystyle\frac{x}{\text{e}^x}-\displaystyle\frac{1}{\text{e}^x}f(x)=5×exx​−ex1​
.
lim⁡x→+∞exx=+∞\lim\limits_{x \to +\infty}\displaystyle\frac{\text{e}^x}{x}=+\inftyx→+∞lim​xex​=+∞
 par croissances comparées, donc par inverse et produit, 
lim⁡x→+∞5×xex=0\lim\limits_{x \to +\infty}5 \times \displaystyle\frac{x}{\text{e}^x}=0x→+∞lim​5×exx​=0
.
lim⁡x→+∞1ex=0\lim\limits_{x \to +\infty}\displaystyle\frac{1}{\text{e}^x}=0x→+∞lim​ex1​=0
.
Par somme
lim⁡x→+∞f(x)=0\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=0x→+∞lim​f(x)=0
.
2.\(f\) est dérivable sur
[0\ ; \+\infty[
 et, pour tout réel
x⩾0x \geqslant 0x⩾0
,
f′(x)=5×e−x+(5x−1)×(−e−x)f'(x)=5 \times \text{e}^{-x}+(5x-1) \times (-\text{e}^{-x})f′(x)=5×e−x+(5x−1)×(−e−x)
f′(x)=(5−5x+1)e−xf'(x)=(5-5x+1)\text{e}^{-x}f′(x)=(5−5x+1)e−x
f′(x)=(−5x+6)e−xf'(x)=(-5x+6)\text{e}^{-x}f′(x)=(−5x+6)e−x
Pour tout réel
x⩾0, e−x>0x\geqslant 0,\ \text{e}^{-x}>0x⩾0, e−x>0
 donc
f′(x)f'(x)f′(x)
 est du signe de
−5x+6-5x+6−5x+6
.
−5x+6=0⇔x=65-5x+6=0 \Leftrightarrow x=\displaystyle\frac{6}{5}−5x+6=0⇔x=56​
.
On obtient alors le tableau de signes de
f′(x)f'(x)f′(x)
 et de variations de
fff
 suivant.
3.On étudie le nombre de solutions sur chaque intervalle où la fonction est strictement monotone.
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Sur
[0 ; 65]\left[0~;~\dfrac{6}{5}\right][0 ; 56​]
,
fff
 est continue et strictement croissante.
f(0)=−1f(0)=-1f(0)=−1
 et
f(65)=5e−65f\left(\displaystyle\frac{6}{5}\right)=5\text{e}^{-\frac{6}{5}}f(56​)=5e−56​
.
f(65)≈1,51f\left(\displaystyle\frac{6}{5}\right) \approx 1{,}51f(56​)≈1,51
 donc
1∈[f(0) ; f(65)]1 \in \left [f(0)\ ;\ f\left(\displaystyle\frac{6}{5}\right)\right]1∈[f(0) ; f(56​)]
.D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation
f(x)=1f(x)=1f(x)=1
 admet une unique solution sur 
[0 ; 65]\left[0~;~\dfrac{6}{5}\right][0 ; 56​]
.
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Sur
[65 ;+∞[\left[\dfrac{6}{5}\ ;+\infty\right[[56​ ;+∞[
,
fff
 est continue et strictement décroissante.
f(65)=5e−65f\left(\displaystyle\frac{6}{5}\right)=5\text{e}^{-\frac{6}{5}}f(56​)=5e−56​
 et
lim⁡x→+∞f(x)=0\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=0x→+∞lim​f(x)=0
.
f(65)≈1,51f\left(\displaystyle\frac{6}{5}\right) \approx 1{,}51f(56​)≈1,51
 donc
1∈]lim⁡x→+∞f(x) ; f(65)]1 \in \left]\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)\ ;\ f\left(\displaystyle\frac{6}{5}\right)\right]1∈]x→+∞lim​f(x) ; f(56​)]
.D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation
f(x)=1f(x)=1f(x)=1
 admet une unique solution sur 
[65 ;+∞[\left[\dfrac{6}{5}\ ;+\infty\right[[56​ ;+∞[
.
Conclusion: sur
[0 ;+∞[[0\ ;+\infty[[0 ;+∞[
, l'équation
f(x)=1f(x)=1f(x)=1
 admet deux solutions.