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 définiesur \(\mathbb{R}\) par :

Sommaire

Continuité et partie entière* Continuité avec paramètre** Calcul de limite avec la partie entière*** Continuité d'une fonction faisant intervenir la fonction partie entière
Théorème des valeurs intermédiaires et son corollaire* Nombre de solutions d'une équation de degré 4* Vérifier une conjecture** Avec une fonction auxiliaire** En lien avec les SES** En lien avec la SVT** Position relative de courbes*** Distance à une courbe*** Plouf !
Continuité et suites** Étude d'une suite (1)** Équation fonctionnelle*** Étude d'une suite (2)*** Suite implicite

Continuité et partie entière

* Continuité avec paramètre

Soit \(m\)un réel.
On considère la fonction
fff
 définiesur \(\mathbb{R}\) par :
   {f(x)=x2−2x+2 si x<3 f(x)=mx−1 si x⩾3\ \ \ \begin{cases}f(x)=x^2-2x+2\ \text{si}\ x< 3 \ \\f(x)=mx-1\ \text{si}\ x\geqslant3 \end{cases}   {f(x)=x2−2x+2 si x<3 f(x)=mx−1 si x⩾3​
Déterminer la valeur de \(m\)pour laquelle la fonction
fff
est continue sur
R\mathbb{R}R
.

** Calcul de limite avec la partie entière

On donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction
fff
 définie sur
R∗\mathbb{R}^*R∗
 par
f(x)=E(x)xf(x)=\displaystyle\frac{\text{E}(x)}{x}f(x)=xE(x)​
.
Conjecturer, puis démontrer la limite de
fff
 en
+∞+\infty+∞
.

*** Continuité d'une fonction faisant intervenir la fonction partie entière

On considère la fonction
fff
 définie sur
R\mathbb{R}R
 par
f(x)=xE(x)f(x)=x\text{E}(x)f(x)=xE(x)
.
1.Étudier la continuité de
fff
 en
000
.
2.
fff
 est-elle continue sur
R\mathbb{R}R
 ? Justifier.

Théorème des valeurs intermédiaires et son corollaire

* Nombre de solutions d'une équation de degré 4

Déterminer le nombre de solutions sur
R\mathbb{R}R
 de l'équation
x4−2x3+2x2+1=5x^4-2x^3+2x^2+1=5x4−2x3+2x2+1=5
 et donner une valeur approchée à
10−210^{-2}10−2
prèsde chacune des solutions.

* Vérifier une conjecture

Soit 
fff
la fonction définie sur
[−3 ; 3][-3\ ;\ 3][−3 ; 3]
par
f(x)=43x3+x2−2x+23f(x) =\displaystyle\frac{4}{3}x^3 + x^2 - 2x +\displaystyle\frac{2}{3}f(x)=34​x3+x2−2x+32​
.
1.Conjecturer, à l'aide de la calculatrice, le nombre de solutions de l'équation
f(x)=0f(x) = 0f(x)=0
.
2. a.Étudier les variations de
fff
 sur
[−3 ; 3][-3\ ;\ 3][−3 ; 3]
.b.En déduire le nombre exact de solutions de l'équation
f(x)=0f(x)=0f(x)=0
et donner un encadrement à
10−210^{-2}10−2
près de la ou des solutions.

** Avec une fonction auxiliaire

Partie 1 - Étude d’une fonction auxiliaire
Soit
ggg
 la fonction définie sur 
R\mathbb{R}R
par
g(x)=(x+2)ex−4−2g (x) = (x + 2)\text{e}^{x-4} - 2g(x)=(x+2)ex−4−2
.
1. a.Déterminer la limite de 
ggg
en
+∞+\infty+∞
.
    b.Déterminer la limite de 
ggg
en
−∞-\infty−∞
.
2.Calculer
g′(x)g'(x)g′(x)
pour tout réel 
xxx
puis dresser le tableau de variations de
ggg
.
3.Démontrer que l'équation
g(x)=0g (x) = 0g(x)=0
admet une unique solution 
α\alphaα
sur
R\mathbb{R}R
.
4.En déduire le signe de la fonction 
ggg
sur
R\mathbb{R}R
.
5.À l'aide de la calculatrice, donner un encadrement d'amplitude 
10−310^{-3}10−3
de
α\alphaα
.
Partie 2 - Étude d'une fonction
Soit 
fff
la fonction définie sur 
R\mathbb{R}R
par
f(x)=x2−x2ex−4f (x) = x^2 - x^2\text{e}^{x-4}f(x)=x2−x2ex−4
.
1.Résoudre l’équation 
f(x)=0f(x)=0f(x)=0
sur
R\mathbb{R}R
.
2. a.Montrer que, pour tout réel
xxx
,
f′(x)=−xg(x)f '(x) = -xg (x)f′(x)=−xg(x)
.
    b.En déduire les variations de la fonction 
fff
sur
R\mathbb{R}R
.
3.Démontrer que le maximum de la fonction 
fff
sur
[0 ;+∞[[0\ ;+\infty[[0 ;+∞[
 est égal à
α3α+2\displaystyle\frac{\alpha^3}{\alpha+2}α+2α3​
.

** En lien avec les SES

Partie 1 - Étude d'une fonction auxiliaire
On considère la fonction 
ggg
définie sur l’intervalle
[1 ; 15][1 \ ; \ 15][1 ; 15]
 par
g(x)=−0,6x+4+e−x+5g (x) = -0,6x + 4 + \text{e}^{-x+5}g(x)=−0,6x+4+e−x+5
.
1. a.Calculer 
g′(x)g'(x)g′(x)
pour tout réel 
xxx
de l’intervalle 
[1 ; 15][1 \ ; \ 15][1 ; 15]
.
    b.En déduire que la fonction 
ggg
est décroissante sur l’intervalle 
[1 ; 15][1 \ ; \ 15][1 ; 15]
.
2. a.Dresser le tableau de variations de la fonction 
ggg
sur l’intervalle
[1 ; 15][1 \ ; \ 15][1 ; 15]
.
    b.Démontrer que l'équation
g(x)=0g (x) = 0g(x)=0
admet une unique solution 
α\alphaα
sur 
[1 ; 15][1 \ ; \ 15][1 ; 15]
.
    c.Déduire des questions précédentes le tableau designesde 
g(x)g(x)g(x)
sur l’intervalle
[1 ; 15][1 \ ; \ 15][1 ; 15]
.
    d.À l'aide de la calculatrice, donner un encadrement d'amplitude 
10−110^{-1}10−1
de
α\alphaα
.
Partie 2 - Application économique
Une entreprisefabriqueet vend des granulés de bois pour alimenter des chaudières et des poêles chez des particuliers ou dans des collectivités.
L'entreprise fabrique entre
111
et
151515
tonnes de granulés par jour.
On définit par 
f(x)f(x)f(x)
le résultat net quotidien de l’entreprise en centaines d'euros, c'est-à-dire la
différence entre la recette et le coût de production, où
xxx
 désigne la quantité de granulés en tonnesproduits par jour.
On admet que
f(x)=−0,3x2+4x−e−x+5f(x) = -0,3x^2 + 4x - \text{e}^{-x+5}f(x)=−0,3x2+4x−e−x+5
.
1.Étudier les variations de la fonction 
fff
 sur l’intervalle 
[1 ; 15][1 \ ; \ 15][1 ; 15]
.
2. a.Pour quelle quantité de granulés l'entreprise va-t-elle obtenir un bénéfice maximal? On donnera une valeur approchéede cette quantité à
0,10{,}10,1
tonne près.
    b.Calculer alors le bénéfice maximal à l'euro près.

** En lien avec la SVT

La vasopressine est une hormone favorisant la réabsorption de l'eau par l'organisme.
Cette hormone est sécrétée dès que le volume sanguin diminue. En particulier, il y a production de vasopressine suite à une hémorragie.
Le taux de vasopressine dans le sang est considéré normal s'il est inférieur à
2,52{,}52,5
μg/mL\mu \text{g/mL}μg/mL
.
On utilisera dans cet exercice la modélisation suivante.Pour tout réel \(t\)positif ou nul,
f(t)=3te−14t+2f(t) = 3t\text{e}^{-\frac{1}{4}t} +2f(t)=3te−41​t+2
 où 
f(t)f(t)f(t)
représente le taux de vasopressine (en
μg/mL\mu \text{g/mL}μg/mL
) dans le sang en fonction du temps 
ttt
(en minutes) écoulédepuisle début d'unehémorragie.
1. a.Quel est le taux de vasopressine dans le sang à l'instant 
t=0t=0t=0
?
    b.Justifier que, douze secondes après une hémorragie, le taux de vasopressine dans le sang n'est pas normal.
    c.Déterminer la limite de la fonction 
fff
en
+∞+\infty+∞
. Interpréter ce résultat.
2.Vérifier que, pour tout nombre réel 
ttt
positif,
f′(t)=34(4−t)e−14tf'(t) = \dfrac{3}{4}(4 - t)\text{e}^{-\frac{1}{4}t}f′(t)=43​(4−t)e−41​t
.
3. a.Étudier le sens devariationsde 
fff
sur l'intervalle 
[0 ;+∞[[0\ ;+\infty[[0 ;+∞[
et dresser le tableau complet des variations de la fonction.
    b.À quel instant le taux de vasopressine est-il maximal ? Quel est alors ce taux ? On en donnera une valeur approchée à 
10−210^{-2}10−2
près.
4. a.Démontrer qu'il existe une unique valeur
t0t_0t0​
appartenant à
[0 ; 4][0~;~4][0 ; 4]
telle que
f(t0)=2,5f\left(t_0\right) = 2{,}5f(t0​)=2,5
.
    b.Donner une valeur approchée de 
t0t_0t0​
à
10−210^{-2}10−2
près.
On admet qu'il existe une unique valeur 
t1t_1t1​
appartenant à
[4 ;+∞[[4~;+\infty[[4 ;+∞[
telle que
f(t1)=2,5f\left(t_1\right) = 2{,}5f(t1​)=2,5
.
On donne une valeur approchée de
t1t_1t1​
 à
10−210^{-2}10−2
près :
t1≈18,93t_1 \approx 18{,}93t1​≈18,93
.
5.Déterminer pendant combien de temps, chez une personne victime d'une hémorragie, le taux de vasopressine reste supérieur à
2,52{,}52,5
μg/mL\mu \text{g/mL}μg/mL
dans le sang.

** Position relative de courbes

Partie 1
Soit
hhh
 la fonction définie sur 
R\mathbb{R}R
par
h(x)=−x3−2x2+4x+16h(x) = -x^3- 2x^2 + 4x + 16h(x)=−x3−2x2+4x+16
.
1.Déterminer les limites de
hhh
 aux bornes de son ensemble de définition.
2.Étudier les variations de
hhh
 et dresser son tableau devariations.
3.Justifier que l’équation
h(x)=0h(x) = 0h(x)=0
possède une unique solution
α\alphaα
 sur
R\mathbb{R}R
.
4.Donner une valeur approchée de 
α\alphaα
à
10−210^{-2}10−2
 près.
5.En déduire le signe de
h(x)h(x)h(x)
sur
R\mathbb{R}R
.
Partie 2
On considère la fonction 
fff
définie sur
]−∞;−2[∪]−2;+∞[]-\infty ; -2[\cup]-2 ; +\infty[]−∞;−2[∪]−2;+∞[
par
f(x)=8x+2f(x) =\displaystyle\frac{8}{x + 2}f(x)=x+28​
 et la fonction
ggg
définie sur 
R\mathbb{R}R
par
g(x)=x2−4g(x)=x^2-4g(x)=x2−4
.
On s'intéresse à la position relative des courbes 
Cf\mathscr{C}_fCf​
et
Cg\mathscr{C}_gCg​
 sur
]−∞ ;−2[]-\infty\ ; -2[]−∞ ;−2[
 et sur
]−2 ;+∞[]-2\ ;+\infty[]−2 ;+∞[
.
Étudier cette position relative.

*** Distance à une courbe

Dans un repère orthonormal, on considère la parabole 
P\mathscr{P}P
d’équation
y=x2y=x^2y=x2
, le point
A(1 ; −1)\text{A}(1\ ;\ -1)A(1 ; −1)
et 
M\text{M}M
un point de 
P\mathscr{P}P
d’abscisse 
xxx
, où 
xxx
est un réel.
On cherche à savoir s'il existe un point 
M\text{M}M
 de
P\mathscr{P}P
tel que la distance
AM\text{AM}AM
est minimale.
1.Déterminer, pour tout réel
xxx
, la distance 
AM\text{AM}AM
 en fonction de
xxx
. On note cette distance
f(x)f(x)f(x)
.
2.Montrer que, pour tout réel 
xxx
, 
f′(x)=p(x)AMf'(x)=\displaystyle\frac{p(x)}{\text{AM}}f′(x)=AMp(x)​
 où
ppp
 est un polynôme de degré 3.
3. a.Étudier les variations de
ppp
 sur
R\mathbb{R}R
.
    b.Démontrer que l’équation
p(x)=0p(x) = 0p(x)=0
admet une unique solution 
α\alphaα
sur
R\mathbb{R}R
.
    c.Déduire des questions précédentes le signe de
p(x)p(x)p(x)
.
4.Répondre à la question initialement posée.
5.Démontrer que, si 
M\text{M}M
 est le point de
P\mathscr{P}P
tel que la distance
AM\text{AM}AM
estminimale, alors la droite 
(AM)(\text{AM})(AM)
 est perpendiculaire à la tangente à 
P\mathscr{P}P
au point 
M\text{M}M
.

*** Plouf !

Dans une boîte de conserve cylindrique, de rayon
444
cm et de hauteur
121212
cm, il reste un fond de jus de petits pois d'une hauteur de
333
cm.
Timothée arrive et plonge son calot (grosse bille) dans la boîte de conserve.
Il s'aperçoit alors que le jus présent dans la boîte de conserve recouvre exactement son calot.
1.Démontrer que cette situation est bien possible.
2.Déterminer une valeur approchée, à
10−210^{-2}10−2
 près, du rayon du calot de Timothée.

Continuité et suites

** Étude d'une suite (1)

Partie 1 - Étude d’une fonction
On considère la fonction 
f
définie sur 
\mathbb{R}
par
f(x) = 3 - \text{e}^{−x}− x
.
1. a.Déterminer la limite de
f
en
+\infty
.
    b.Montrer que, pour tout réel 
x
, 
f(x)=3-\text{e}^{-x}\left(1+x\text{e}^x\right)
 et en déduire la limite de 
f
en
-\infty.
2.Étudier les variations de 
f
sur
\mathbb{R}
 et dresser le tableau complet des variations de
fff
.
3. a.Déterminer le nombre de solutions de l’équation
f(x) = 0
sur
\mathbb{R}
.
    b.Donner une valeur approchée à
10^{−2}
près de chacune des solutions de l’équation.
Partie B - Étude d’une suite
On considère la suite
(u_n)
définie par
u_0 = 2
et, pour tout entier naturel
n, u_{n+1} = 3 − \text{e}^{−u_n}
.
1.Étudier les variations de la fonction 
g
définie sur 
\mathbb{R}
par
g(x) = 3 − \text{e}^{−x}
.
2. a.Montrer que la suite 
(u_n)
est positive, croissante et majorée par
3
.b.En déduire que la suite
(u_n)
est convergente.
3.Déterminer, en explicitant le raisonnement, une valeur approchée de la limite à
10^{−2}
près.

** Équation fonctionnelle

Le but de l'exercice est de déterminer toutes les fonctions
fff
continues en 0 qui vérifient, pour tout réel
xxx
,
f(2x)=f(x)f(2x)=f(x)f(2x)=f(x)
.
1.Recherche d'une condition nécessaire.a.Soit
x∈Rx\in\mathbb Rx∈R
. Démontrer que, pour tout entier naturel
nnn
, on a
f(x)=f(x2n)f(x)=f\left(\dfrac{x}{2^n}\right)f(x)=f(2nx​)
.b.Déterminer
lim⁡n→+∞f(x2n)\underset{n\rightarrow+\infty}{\lim}f\left(\dfrac{x}{2^n}\right)n→+∞lim​f(2nx​)
.c.En déduire que, pour tout réel
xxx
,
f(x)=f(0)f(x)=f(0)f(x)=f(0)
.Que peut-on dire de\(f\) ?
2.Réciproquement, les fonctions trouvées dans la question précédente conviennent-elles ?

*** Étude d'une suite (2)

1.Démontrer que l’équation
x=x34+38x = \displaystyle\frac{x^3}{4}+\displaystyle\frac{3}{8}x=4x3​+83​
 admet une unique solution dans l’intervalle
[0 ; 1][0 \ ;\ 1][0 ; 1]
. On note 
aaa
cette solution.
2.On considère la fonction 
fff
définie, pour tout réel 
xxx
de 
[0 ; 1][0 \ ;\ 1][0 ; 1]
, par
f(x)=x34+38f(x)= \displaystyle\frac{x^3}{4}+\displaystyle\frac{3}{8}f(x)=4x3​+83​
 et la suite
(un)(u_n)(un​)
définie par
u0=0u_0 = 0u0​=0
et, pour tout entier naturel 
nnn
, 
un+1=f(un).u_{n+1} = f(u_n).un+1​=f(un​).
    a.Calculer
u1u_1u1​
.
    b.Démontrer que la fonction 
fff
est croissante sur l’intervalle
[0 ; 1][0 \ ;\ 1][0 ; 1]
.
    c.Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel
nnn
, on a
0⩽un⩽un+1⩽10 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 10⩽un​⩽un+1​⩽1
.
    d.Prouver que la suite
(un)(u_n)(un​)
est convergente.
    e.Démontrer que
lim⁡n→+∞un=a\lim\limits_{n \to +\infty}u_n=an→+∞lim​un​=a
.

*** Suite implicite

Soit
n∈N∗n\in\mathbb N^*n∈N∗
. On considère
fnf_nfn​
 la fonction définie sur
R\mathbb RR
 par
fn(x)=xn+xn−1+...+x−1f_n(x)=x^n+x^{n-1}+...+x-1fn​(x)=xn+xn−1+...+x−1
.
1.Déterminer les variations de la fonction
fnf_nfn​
 sur
[0 ;+∞[[0\ ;+\infty[[0 ;+∞[
.
2. a.Démontrer que l'équation 
fn(x)=0f_n(x)=0fn​(x)=0
 admet une unique solution dans
[0 ;+∞[[0 \ ;+\infty[[0 ;+∞[
. Cette solution sera notée
unu_nun​
 et on aura donc
fn(un)=0f_n\left(u_n\right)=0fn​(un​)=0
.b.Démontrer que, pour tout entier
nnn
 non nul,
0<un⩽10<u_n\leqslant10<un​⩽1
3. a.Démontrer que, pour tout entier
nnn
 non nul, on a
fn+1(un+1)−fn(un+1)=un+1n+1f_{n+1}\left(u_{n+1}\right)-f_{n}\left(u_{n+1}\right)=u_{n+1}^{n+1}fn+1​(un+1​)−fn​(un+1​)=un+1n+1​
.b.En déduire que
fn(un+1)⩽fn(un)f_{n}\left(u_{n+1}\right)\leqslant f_{n}\left(u_{n}\right)fn​(un+1​)⩽fn​(un​)
 puis que la suite
(un)\left(u_{n}\right)(un​)
 est décroissante.
4.Démontrer que, pour tout réel
a≠1a\ne1a=1
, on a
fn(a)=2a−an+1−11−af_n(a)=\dfrac{2a-a^{n+1}-1}{1-a}fn​(a)=1−a2a−an+1−1​
.
5.a.Démontrer que la suite
(un)\left(u_{n}\right)(un​)
 est convergente vers un réel
ℓ∈[12;1]\ell\in\left[\dfrac12;1\right]ℓ∈[21​;1]
.b.Démontrer que si
12<a<1\dfrac12<a<121​<a<1