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☆ À n'ouvrir qu'en cas d'urgence ☆

 une fonction définie, continue sur

Sommaire

☛ Un point fixe☛ Bornitude et continuité⚒ Partie entière et limites⚒ Encore un point fixe⚒ Fonctions affine et cube

☛ Un point fixe

Soit
fff
 une fonction définie, continue sur
[0 ;+∞[[0\ ;+\infty[[0 ;+∞[
 et à valeurs dans
[0 ;+∞[[0 \ ;+\infty[[0 ;+∞[
.
On suppose que
lim⁡x→+∞f(x)x=ℓ\underset{x\rightarrow+\infty}{\lim}\dfrac{f(x)}{x}=\ellx→+∞lim​xf(x)​=ℓ
, avec
ℓ<1\ell<1ℓ<1
.
Démontrer que
fff
 admet un point fixe.
On considère la fonction
ggg
 définie sur
R\mathbb RR
 par
g(x)=f(x)−xg(x)=f(x)-xg(x)=f(x)−x
.
Résoudre
f(x)=xf(x)=xf(x)=x
 est équivalent à résoudre
g(x)=0g(x)=0g(x)=0
.
g(0)=f(0)⩾0g(0)=f(0)\geqslant 0g(0)=f(0)⩾0
.
On sait que
lim⁡x→+∞f(x)x=ℓ<1\underset{x\rightarrow+\infty}{\lim}\dfrac{f(x)}{x}=\ell<1x→+∞lim​xf(x)​=ℓ<1
 donc, pour
xxx
 suffisamment grand,
f(x)x⩽ℓ+12<1\dfrac{f(x)}{x}\leqslant\dfrac {\ell+1}{2}<1xf(x)​⩽2ℓ+1​<1
.
On a alors
f(x)−x⩽ℓ+12x−xf(x)-x\leqslant\dfrac {\ell+1}{2}x-xf(x)−x⩽2ℓ+1​x−x
 soit
g(x)⩽ℓ−12xg(x)\leqslant\dfrac{\ell-1}{2}xg(x)⩽2ℓ−1​x
.
Comme
lim⁡x→+∞ℓ−12x=−∞\underset{x\rightarrow+\infty}{\lim}\dfrac{\ell-1}{2}x=-\inftyx→+∞lim​2ℓ−1​x=−∞
 (car
ℓ−1<0\ell-1<0ℓ−1<0
), alors par comparaison
lim⁡x→+∞g(x)=−∞\underset{x\rightarrow+\infty}{\lim}g(x)=-\inftyx→+∞lim​g(x)=−∞
.
ggg
 est continue sur
R\mathbb RR
.
g(0)⩾0g(0)\geqslant0g(0)⩾0
 et
lim⁡x→+∞g(x)=−∞\underset{x\rightarrow+\infty}{\lim}g(x)=-\inftyx→+∞lim​g(x)=−∞
. D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation
g(x)=0g(x)=0g(x)=0
 admet une solution.

☛ Bornitude et continuité

ggg
 est une fonction bornée donc il existe deux réels
mmm
 et
MMM
 tels que, pour tout réel
xxx
,
m⩽g(x)⩽Mm\leqslant g(x)\leqslant Mm⩽g(x)⩽M
.
f(x)f(x)f(x)
 est un réel comme un autre donc, pour tout réel
xxx
,
m⩽g(f(x))⩽Mm\leqslant g\left(f(x)\right)\leqslant Mm⩽g(f(x))⩽M
.
Par conséquent,
g\circf
 est bornée sur
R\mathbb RR
.
On veut montrer que 
f\circg
 est bornée sur
R\mathbb RR
. Il s'agit de prouver qu'il existe deux réels
m′m'm′
 et
M′M'M′
 tels que, pour tout réel
xxx
,
m′⩽f(g(x))⩽M′m'\leqslant f\left(g(x)\right)\leqslant M'm′⩽f(g(x))⩽M′
.
Pour tout réel
xxx
,
g(x)∈[m ; M]g(x)\in[m \ ;\ M]g(x)∈[m ; M]
. La fonction
fff
 est continue sur le segment
[m ; M][m\ ;\ M][m ; M]
 donc elle est bornée sur ce segment. Il existe donc deux réels 
m′m'm′
 et
M′M'M′
 tels que, pour tout réel
xxx
,
m′⩽f(g(x))⩽M′m'\leqslant f\left(g(x)\right)\leqslant M'm′⩽f(g(x))⩽M′
.
Par conséquent,
f\circg
 est bornée sur
R\mathbb RR
.

⚒ Partie entière et limites

Soit
a
 et
bbb
 deux réels strictement positifs. Soit
fff
 la fonction définie sur
R∗\mathbb R^*R∗
 par
f(x)=xa×E(bx)f(x)=\dfrac xa \times \text{E}\left( \dfrac{b}{x} \right)f(x)=ax​×E(xb​)
.
Déterminer les limites de
fff
 aux bornes de son ensemble de définition.
Pour
+∞+\infty+∞
, on peut remarquer que, si
x>bx>bx>b
, alors
0<bx<10<\dfrac bx<10<xb​<1
.
Pour
−∞-\infty−∞
, on procède de la même façon.
Pour
0+0^+0+
, on peut encadrer
f(x)f(x)f(x)
 en remarquant que, pour tout réel
yyy
, on a
y⩽E(y)<y+1y\leqslant \text E(y)<y+1y⩽E(y)<y+1
Pour
0−0^-0−
, on procède de la même façon.

⚒ Encore un point fixe

Soit
fff
 une fonction définie, continue et décroissante sur
R\mathbb RR
. Montrer que
fff
 admet un unique point fixe.
On considère la fonction
ggg
 définie sur
R\mathbb RR
 par
g(x)=f(x)−xg(x)=f(x)-xg(x)=f(x)−x
. Résoudre
f(x)=xf(x)=xf(x)=x
 est équivalent à résoudre
g(x)=0g(x)=0g(x)=0
.
On veut montrer que la fonction
ggg
 est strictement décroissante sur
R\mathbb RR
.
Soit deux réels
x1x_1x1​
 et
x2x_2x2​
 tels que 
x1<x2x_1<x_2x1​<x2​
La fonction
ggg
 est strictement décroissante. L'équation 
g(x)=0g(x)=0g(x)=0
 admet donc au plus une solution. On pourra ensuite s'intéresser aux limites de la fonction
ggg
 et utiliser le théorème des valeurs intermédiaires pour prouver qu'il y a bien une solution.

⚒ Fonctions affine et cube

Soit\(D\) la droite et
CfC_fCf​
 la courbe représentative de la fonction cube. On procède par disjonction des cas.
Premier cas : la droite\(D\) est parallèle à l'axe des ordonnées. Elle admet une équation du type
x=cx=cx=c
. La droite\(D\) et la courbe
CfC_fCf​
 se coupent au point de coordonnées
(c ; c3)(c\ ;\ c^3)(c ; c3)
.
Deuxième cas : la droite\(D\) n'est pas parallèle à l'axe des abscisses. Elle admet une équation du type\(y=ax+b\). Il s'agit alors de démontrer que l'équation
x3=ax+bx^3=ax+bx3=ax+b
 admet au moins une solution.