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Exercices vers le supérieur

 est prolongeable par continuité en un réel

Sommaire

Prolongement par continuitéPartie entière et continuité☆ Bornitude et continuité☆ Partie entière et limites☆ Un point fixe☆ Encore un point fixeFonction croissante ?☆ Fonctions affine et cube

Prolongement par continuité

On dit qu'une fonction
fff
 est prolongeable par continuité en un réel
aaa
 si
fff
 est définie sur
III
 et
aaa
 est une borne de
III
 mais n'appartient pas à
III
 ;
fff
 admet une limite finie
ℓ\ellℓ
 quand
xxx
 tend vers
aaa
.
Autrement dit, lorsqu'une fonction admet une limite finie en un point, sans être définie en ce point, on peut « rajouter » le point qui prolonge naturellement la fonction. On pose alors
f(a)=ℓf(a)=\ellf(a)=ℓ
.
Applications
1.Montrer que la fonction
f:x↦xln⁡xf:x\mapsto x\ln xf:x↦xlnx
 peut être prolongée en 0.
2.Soit
ggg
 la fonction définie sur
R∖{−1;1}\mathbb{R}\setminus\left\{ -1;1\right\}R∖{−1;1}
 par
g(x)=x5+1x2−1g\left(x\right)=\dfrac{x^{5}+1}{x^{2}-1}g(x)=x2−1x5+1​
.a.Démontrer que, pour tout réel
xxx
, on a
x5+1=(x+1)(x4−x3+x2−x+1)x^{5}+1=(x+1)\left(x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1\right)x5+1=(x+1)(x4−x3+x2−x+1)
.b.Démontrer que 
fff
est prolongeable par continuité en
−1-1−1
.c.
fff
est-elle prolongeable par continuité en 
111
?

Partie entière et continuité

Rappel
Pour tout réel
xxx
, la partie entière de
xxx
 est le plus grand entier inférieur ou égal à
xxx
. Elle est notée
E(x)\text{E}(x)E(x)
 et vérifie
E(x)⩽x<E(x)+1\text{E}(x)\leqslant x <\text{E}(x)+1E(x)⩽x<E(x)+1
.
On considère la fonction 
fff
 définie sur
R\mathbb RR
 par
f(x)=E(x)+x−E(x)f(x)=\text{E}(x) +\sqrt{x-\text{E}(x) }f(x)=E(x)+x−E(x)​
1.Démontrer que
fff
 est continue sur
R∖Z\mathbb{R}\setminus\mathbb{Z}R∖Z
.
2.Soit 
n∈Zn\in\mathbb Zn∈Z
.a.Calculer
f(n)f(n)f(n)
.b.Que vaut
E(x)\text{E}(x)E(x)
si
n<x<n+1n<x<n+1n<x<n+1

☆ Bornitude et continuité

On admet qu'une fonction continue sur un segment
[a\ ;\ b]
 est bornée.
Soit
f
 une fonction définie et continue sur
\mathbb R
 et
g
 une fonction définie et bornée sur
\mathbb R
.
Démontrer que
g\circf
 et
f\circg
 sont bornées sur
R\mathbb RR
.

☆ Partie entière et limites

Soit
a
 et
bbb
 deux réels strictement positifs. Soit
fff
 la fonction définie sur
R∗\mathbb R^*R∗
 par
f(x)=xa×E(bx)f(x)=\dfrac xa \times \text{E}\left( \dfrac{b}{x} \right)f(x)=ax​×E(xb​)
.
Déterminer les limites de
fff
 aux bornes de son ensemble de définition.

☆ Un point fixe

Soit
fff
 une fonction définie, continue sur
[0 ;+∞[[0\ ;+\infty[[0 ;+∞[
 et à valeurs dans
[0 ;+∞[[0 \ ;+\infty[[0 ;+∞[
.
On suppose de plus que
lim⁡x→+∞f(x)x=ℓ<1\underset{x\rightarrow+\infty}{\lim}\dfrac{f(x)}{x}=\ell<1x→+∞lim​xf(x)​=ℓ<1
.
Démontrer que
fff
 admet un point fixe.

☆ Encore un point fixe

Soit
fff
 une fonction définie, continue et décroissante sur
R\mathbb RR
.
Montrer que
fff
 admet un unique point fixe.

Fonction croissante ?

On considère la fonction
fff
 définie sur
R\mathbb RR
 par
f(x)=2x2ex−1−x2f(x)=2x^{2}\text{e}^{x-1}-x^2f(x)=2x2ex−1−x2
.
On donne ci-dessous sa courbe représentative.
1.Conjecturer le sens de variation de
fff
 sur
\mathbb{R}
.
2.Étudier les variations de
fff
 sur
R\mathbb{R}R
.
3.Que peut-on dire quant à la validité de la conjecture ?

☆ Fonctions affine et cube

On se place dans un repère du plan.
Démontrer que toute droite a au moins un point d'intersection avec la courbe représentative de la fonction cube.