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Dans les épisodes précédents

Écrire les expressions suivantes sous la forme d'une seule exponentielle.

Sommaire

Utilisation des propriétés algébriques d'exponentielleRésolution d'équations et d'inéquations avec l'exponentielleÉtude de fonction avec l'exponentielleNombre de solutions de l'équation exp(x) = a

Utilisation des propriétés algébriques d'exponentielle

Exercice 1
Écrire les expressions suivantes sous la forme d'une seule exponentielle.
1.
\text{e}^{2} \times \text{e}^{-3}
2.
e−4e7\dfrac{\text{e}^{-4}}{\text{e}^{7}}e7e−4​
3.
e8×e−3e2\dfrac{\text{e}^{8}\times \text{e}^{-3}}{\text{e}^{2}}e2e8×e−3​
4.
(e5)6\left(\text{e}^{5}\right)^6(e5)6
5.
(e−1)2×e9(e2)4\dfrac{(\text{e}^{-1})^2 \times \text{e}^{9}}{(\text{e}^{2})^4}(e2)4(e−1)2×e9​
Exercice 2
Développer et réduire les expressions suivantes définies pour tout réel
xxx
.
1.
(ex+e−x)2\left(\text{e}^{x}+\text{e}^{-x}\right)^2(ex+e−x)2
2.
e4x(e3x−e−5x)+e−2x×ex\text{e}^{4x}(\text{e}^{3x}-\text{e}^{-5x})+\text{e}^{-2x}\times \text{e}^{x}e4x(e3x−e−5x)+e−2x×ex

Résolution d'équations et d'inéquations avec l'exponentielle

Résoudredans
R\mathbb{R}R
 les équations et inéquations suivantes.
1.
e2x−1=0\text{e}^{2x}-1=0e2x−1=0
2.
e4x−5=1\text{e}^{4x-5}=1e4x−5=1
3.
e5x−8−1>0\text{e}^{5x-8}-1>0e5x−8−1>0
4.
3−3e2x+4⩾03-3\text{e}^{2x+4}\geqslant 03−3e2x+4⩾0

Étude de fonction avec l'exponentielle

On considère la fonction
fff
 définie sur
R\mathbb{R}R
 par
f(x)=ex−x+3f(x)=\text{e}^x-x+3f(x)=ex−x+3
. Étudier les variations de la fonction
fff
 sur
R\mathbb{R}R
.

Nombre de solutions de l'équation exp(x) = a

On donne sur le graphiqueci-dessousla courbe représentative de la fonction exponentielle.
1.Sur le graphique, faire varier la valeur de\(a\) et discuter, selon les valeurs du réel
a
, le nombre de solutions de l'équation
\text{e}^x=a
.
2. a.Déterminer graphiquement une valeur approchée de la solution de
\text{e}^x=2
.
    b.Déterminer graphiquement une valeur approchée de la solution de
\text{e}^x=3
.
    c.En déduire une valeur approchée de la solution de
\text{e}^x=6
.