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Étude de la fonction ln

\(x>0,\ \text{e}^{\ln(x)}=x\)

Sommaire

Dérivée et sens de variation☛ Conséquences de la stricte croissance de la fonction lnContinuitéÉtude de la convexitéLimites aux bornesTableau de variationsCourbe représentativeCroissances comparées☛ Déterminer des limites par croissances comparées

Dérivée et sens de variation

Théorème
La fonction
ln⁡\lnln
 est dérivable sur
]0 ;+∞[]0\ ; +\infty[]0 ;+∞[
 et, pour toutréel 
xxx
strictement positif, on a
ln⁡′(x)=1x\ln'(x)=\dfrac{1}{x}ln′(x)=x1​
.
Démonstration
On admet que la fonction
ln⁡\lnln
 est dérivable sur
]0 ;+∞[]0 \ ;+\infty[]0 ;+∞[
.
Pour tout réel
x>0, eln⁡(x)=xx>0,\ \text{e}^{\ln(x)}=xx>0, eln(x)=x
. (*)
x↦eln⁡(x)x \mapsto \text{e}^{\ln(x)}x↦eln(x)
 est la composée de
uuu
 par
vvv
 avec
u(x)=ln⁡(x)u(x)=\ln(x)u(x)=ln(x)
 et
v(x)=exv(x)=\text{e}^xv(x)=ex
.
On rappelle que
(v∘u)′=u′×(v′∘u)(v \circ u)^{\prime}=u^{\prime} \times (v^{\prime} \circ u)(v∘u)′=u′×(v′∘u)
.
En dérivant chaque membre de l'égalité (*), on obtient
ln⁡′(x)eln⁡(x)=1\ln'(x)\text{e}^{\ln(x)}=1ln′(x)eln(x)=1
.
Ainsi
ln⁡′(x)×x=1\ln'(x) \times x=1ln′(x)×x=1
 et donc
ln⁡′(x)=1x\ln'(x)=\dfrac{1}{x}ln′(x)=x1​
.
Propriété
La fonction
ln⁡\lnln
 est strictement croissante sur
]0 ;+∞[]0\ ;+\infty[]0 ;+∞[
.
Démonstration
La fonction
ln⁡\lnln
 est dérivable sur
]0 ;+∞[]0\ ;+\infty[]0 ;+∞[
 et, pour toutréel 
xxx
 strictement positif, on a
ln⁡′(x)=1x\ln'(x)=\dfrac{1}{x}ln′(x)=x1​
.
Pour toutréel 
xxx
 strictement positif, 
1x>0\dfrac{1}{x}>0x1​>0
 donc la fonction
ln⁡\lnln
 est strictement croissante sur
]0 ;+∞[]0\ ;+\infty[]0 ;+∞[
.

☛ Conséquences de la stricte croissance de la fonction ln

Propriété
Soit 
xxx
et 
yyy
deux réelsstrictement positifs, alors :
ln⁡(x)=ln⁡(y)⇔x=y\ln(x) = \ln(y) \Leftrightarrow x = yln(x)=ln(y)⇔x=y
ln⁡(x)⩾ln⁡(y)⇔x⩾y\ln(x) \geqslant \ln(y) \Leftrightarrow x \geqslant yln(x)⩾ln(y)⇔x⩾y
ln⁡(x)>ln⁡(y)⇔x>y\ln(x) > \ln(y) \Leftrightarrow x > yln(x)>ln(y)⇔x>y
Énoncé
Étudier les variations de la fonction
fff
 définie sur
R\mathbb{R}R
 par
f(x)=e2x−8x+1f(x)=\text{e}^{2x}-8x+1f(x)=e2x−8x+1
.
Solution
fff
 est dérivable sur
R\mathbb{R}R
 et, pour tout réel 
xxx
, on a
 f′(x)=2e2x−8\ f'(x)=2\text{e}^{2x}-8 f′(x)=2e2x−8
.
2e2x−8⩾0⇔e2x⩾42e2x−8⩾0⇔ln⁡(e2x)⩾ln⁡(4)2e2x−8⩾0⇔2x⩾ln⁡(22)2e2x−8⩾0⇔2x⩾2ln⁡(2)2e2x−8⩾0⇔x⩾ln⁡(2)2\text{e}^{2x}-8\geqslant 0 \Leftrightarrow \text{e}^{2x} \geqslant 4\\2\text{e}^{2x}-8\geqslant 0 \Leftrightarrow \ln(\text{e}^{2x}) \geqslant \ln(4)\\2\text{e}^{2x}-8\geqslant 0 \Leftrightarrow 2x \geqslant \ln(2^2)\\2\text{e}^{2x}-8\geqslant 0 \Leftrightarrow 2x \geqslant 2\ln(2)\\2\text{e}^{2x}-8\geqslant 0 \Leftrightarrow x \geqslant \ln(2)\\2e2x−8⩾0⇔e2x⩾42e2x−8⩾0⇔ln(e2x)⩾ln(4)2e2x−8⩾0⇔2x⩾ln(22)2e2x−8⩾0⇔2x⩾2ln(2)2e2x−8⩾0⇔x⩾ln(2)
On en déduit le tableau de variations suivant pour
fff
.
Remarque
La valeur du minimum est
f(ln⁡(2))=5−8ln⁡(2)f(\ln(2))=5-8\ln(2)f(ln(2))=5−8ln(2)
.

Continuité

Propriété
La fonction 
ln⁡\lnln
est continue sur
]0 ;+∞[]0\ ;+\infty[]0 ;+∞[
.
Démonstration
La fonction
ln⁡\lnln
est dérivable sur
]0 ;+∞[]0\ ;+\infty[]0 ;+∞[
 donc continue sur
]0 ;+∞[]0\ ;+\infty[]0 ;+∞[
.

Étude de la convexité

Propriété
La fonction 
ln⁡\lnln
est concave sur
]0 ;+∞[]0 \ ; +\infty[]0 ;+∞[
.
Démonstration
ln⁡\lnln
 est dérivable sur
]0 ;+∞[]0\ ; +\infty[]0 ;+∞[
 et, pour tout réel
x>0, ln⁡′(x)=1xx>0,\ \ln'(x)=\dfrac{1}{x}x>0, ln′(x)=x1​
.
ln⁡′\ln^{\prime}ln′
 est dérivable sur
]0 ;+∞[]0\ ; +\infty[]0 ;+∞[
 et, pour tout réel
x>0, ln⁡′′(x)=−1x2x>0,\ \ln''(x)=-\dfrac{1}{x^2}x>0, ln′′(x)=−x21​
.
Pour tout réel 
xxx
 strictement positif, 
ln⁡′′(x)<0\ln''(x)<0ln′′(x)<0
donc la fonction
ln⁡\lnln
 est concave sur
]0 ;+∞[]0 \ ;+\infty[]0 ;+∞[
.

Limites aux bornes

Propriété
lim⁡x→0x>0ln⁡(x)=−∞\lim\limits_{\substack{x \to 0 \\ x>0}}\ln(x)=-\inftyx→0x>0​lim​ln(x)=−∞
 et
lim⁡x→+∞ln⁡(x)=+∞\lim\limits_{x \to +\infty}\ln(x)=+\inftyx→+∞lim​ln(x)=+∞
Démonstration
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Soit
A∈RA \in \mathbb{R}A∈R
.Pour tout réel
x⩾eA, ln⁡(x)⩾Ax \geqslant \text{e}^A,\ \ln(x) \geqslant Ax⩾eA, ln(x)⩾A
.Ainsi, tout intervalle de la forme 
[A ;+∞[[A\ ;+\infty[[A ;+∞[
contienttoutes les valeurs de \(\ln(x)\) pour 
xxx
suffisamment grand donc
lim⁡x→+∞ln⁡(x)=+∞\lim\limits_{x \to +\infty}\ln(x)=+\inftyx→+∞lim​ln(x)=+∞
.
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Pour tout réel
x>0, ln⁡(x)=−ln⁡(1x)x>0,\ \ln(x)=-\ln\left(\dfrac{1}{x}\right)x>0, ln(x)=−ln(x1​)
.
lim⁡x→0x>01x=+∞\lim\limits_{\color{green}{\substack{x \to 0 \\ x>0}}}\dfrac{1}{x}=\color{red}{+\infty}x→0x>0​lim​x1​=+∞
 et
\lim\limits_\color{red}{{X \to +\infty}}\ln(X)=\color{blue}{+\infty}
 donc par composée
\lim\limits_\color{green}{{\substack{x \to 0 \\ x>0}}}\ln\left(\dfrac{1}{x}\right)=\color{blue}{+\infty}
.Comme 
ln⁡(x)=−ln⁡(1x)\ln(x)=-\ln\left(\dfrac{1}{x}\right)ln(x)=−ln(x1​)
donc
lim⁡x→0x>0ln⁡(x)=−∞\lim\limits_{\substack{x \to 0 \\ x>0}}\ln(x)=-\inftyx→0x>0​lim​ln(x)=−∞
.

Tableau de variations

Propriété
Le tableau complet des variations de la fonction
ln⁡\lnln
 est le suivant.

Courbe représentative

Propriété
On se place dans un repère orthonormé du plan. Les courbes représentatives des fonctions logarithme népérien et exponentielle sont symétriques par rapport à la droite d'équation\(y=x\).
En faisant varier le point M sur la courbe rouge, qui représente la fonction exponentielle, on voit apparaître, en bleu, la courbe représentative de la fonction logarithme népérien.

Croissances comparées

Propriété
Pour tout entier naturel
nnn
 non nul, on a
lim⁡x→0x>0xnln⁡(x)=0\lim\limits_{\substack{x \to 0\\ x>0}}x^n\ln(x)=0x→0x>0​lim​xnln(x)=0
 et
lim⁡x→+∞ln⁡(x)xn=0\lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{\ln(x)}{x^n}=0x→+∞lim​xnln(x)​=0
.
Démonstrationdans le cas où\(\boldsymbol{n=1}\)
lim⁡x→+∞ln⁡(x)=+∞\lim\limits_{x \to +\infty}\ln(x)=+\inftyx→+∞lim​ln(x)=+∞
 .Par croissances comparées,
lim⁡X→+∞eXX=+∞\lim\limits_{X \to +\infty}\dfrac{\text{e}^X}{X}=+\inftyX→+∞lim​XeX​=+∞
 donc
lim⁡X→+∞XeX=0\lim\limits_{X \to +\infty}\dfrac{X}{\text{e}^X}=0X→+∞lim​eXX​=0
.Par composée, 
lim⁡x→+∞ln⁡(x)eln⁡(x)=0\lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{\ln(x)}{\text{e}^{\ln(x)}}=0x→+∞lim​eln(x)ln(x)​=0
 donc
lim⁡x→+∞ln⁡(x)x=0\lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{\ln(x)}{x}=0x→+∞lim​xln(x)​=0
.
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Pour tout réel
x>0x>0x>0
, on a
 xln⁡(x)=−ln⁡(1x)1x\ x\ln(x)=-\dfrac{\ln\left(\frac{1}{x}\right)}{\frac{1}{x}} xln(x)=−x1​ln(x1​)​
.
\lim\limits_\color{green}{{\substack{x \to 0 \\ x>0}}}\dfrac{1}{x}=\color{red}{+\infty}
 et, par croissances comparées, 
\lim\limits_\color{red}{{X \to +\infty}}\dfrac{\ln(X)}{X}=\color{blue}{0}
donc, par composée, 
\lim\limits_\color{green}{{\substack{x \to 0 \\ x>0}}}\dfrac{\ln\left(\frac{1}{x}\right)}{\frac{1}{x}}=\color{blue}{0}
.
xln⁡(x)=−ln⁡(1x)1xx\ln(x)=-\dfrac{\ln\left(\frac{1}{x}\right)}{\frac{1}{x}}xln(x)=−x1​ln(x1​)​
 donc
lim⁡x→0x>0xln⁡(x)=0\lim\limits_{\substack{x \to 0 \\ x>0}}x\ln(x)=0x→0x>0​lim​xln(x)=0
.

☛ Déterminer des limites par croissances comparées

Énoncé
On considère la fonction
fff
 définie sur
]0 ;+∞[]0\ ;+\infty[]0 ;+∞[
 par
f(x)=x2−3xln⁡(x)f(x)=x^2-3x\ln(x)f(x)=x2−3xln(x)
.
Déterminer les limites de la fonction
fff
 aux bornes de son ensemble de définition.
Solution
lim⁡x→0x>0x2=0\lim\limits_{\substack{x \to 0\\ x>0}}x^2=0x→0x>0​lim​x2=0
 et
lim⁡x→0x>0−3xln⁡(x)=0\lim\limits_{\substack{x \to 0\\ x>0}}-3x\ln(x)=0x→0x>0​lim​−3xln(x)=0
 par croissances comparées.Par somme
lim⁡x→0x>0f(x)=0\lim\limits_{\substack{x \to 0\\ x>0}}f(x)=0x→0x>0​lim​f(x)=0
.
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Pour tout réel
x>0, f(x)=x2(1−3×ln⁡(x)x)x>0,\ f(x)=x^2\left(1-3 \times \dfrac{\ln(x)}{x}\right)x>0, f(x)=x2(1−3×xln(x)​)
.
lim⁡x→+∞x2=+∞\lim\limits_{x \to +\infty}x^2=+\inftyx→+∞lim​x2=+∞
.Par croissances comparées,
lim⁡x→+∞ln⁡(x)x=0\lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{\ln(x)}{x}=0x→+∞lim​xln(x)​=0
 donc
lim⁡x→+∞(1−3×ln⁡(x)x)=1\lim\limits_{x \to +\infty}\left(1-3 \times \dfrac{\ln(x)}{x}\right)=1x→+∞lim​(1−3×xln(x)​)=1
.Par produit,
lim⁡x→+∞x2(1−3×ln⁡(x)x)=+∞\lim\limits_{x \to +\infty}x^2\left(1-3 \times \dfrac{\ln(x)}{x}\right)=+\inftyx→+∞lim​x2(1−3×xln(x)​)=+∞
 donc
lim⁡x→+∞f(x)=+∞\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=+\inftyx→+∞lim​f(x)=+∞
.