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(\text{e}^x+5)(\text{e}^x-10)=0

Sommaire

Équations et inéquations avec la fonction exponentielleÉquations et inéquations avec la fonction lnUtiliser les propriétés algébriques (1)Utiliser les propriétés algébriques (2)Ensembles de définitionCalculs de limitesCalculs de dérivéesÉtudes de fonctionsLn et suites : recherche de seuilTemps de charge d'une batterieFréquence cardiaque

Équations et inéquations avec la fonction exponentielle

Exercice 1
Résoudre dans
\mathbb{R}
 les équations suivantes.
1.
\text{e}^x=8
2.
3\text{e}^x=27
3.
12\text{e}^x+25=10
4.
(\text{e}^x+5)(\text{e}^x-10)=0
Exercice 2
Résoudre dans
\mathbb{R}
 les inéquations suivantes.
1.
4ex−11>04\text{e}^x-11>04ex−11>0
2.
2−8ex⩾12-8\text{e}^x\geqslant 12−8ex⩾1
3.
e2x(4ex−20)<0\text{e}^{2x}(4\text{e}^x-20)<0e2x(4ex−20)<0
4.
3+2ex⩾03+2\text{e}^x\geqslant 03+2ex⩾0

Équations et inéquations avec la fonction ln

Exercice 1
Résoudre dans
\mathbb{R}
 les équations suivantes.
1.
\ln(x)=-4
2.
10\ln(x)=5
3.
1-3\ln(x)=7
4.
7\ln(x)-4=22
5.
ln⁡(x)(5ln⁡(x)−8)=0\ln(x)(5\ln(x)-8)=0ln(x)(5ln(x)−8)=0
Exercice 2
Résoudre dans
\mathbb{R}
 les inéquations suivantes.
1. \(2\ln(x)-5>0\)
2.\(8-3\ln(x)\leqslant 2\)
3.
6−2ln⁡(x)⩾06-2\ln(x)\geqslant 06−2ln(x)⩾0
4.
4\ln(x)+11<2

Utiliser les propriétés algébriques (1)

Exercice 1
Écrire lesréels suivants en fonction de
\ln(3)
 et
\ln(5)
.
1.
\ln(15)
2.
\ln(45text{e})
3.
\ln(75)-\ln(5\text{e}^4)
4.
ln⁡(81125)\ln\left( \dfrac{81}{125}\right)ln(12581​)
5.
ln⁡(253e)−ln⁡(3)\ln\left(\dfrac{25}{3\text{e}}\right)-\ln(3)ln(3e25​)−ln(3)
6.
ln⁡(19)−ln⁡(25)+ln⁡(3)\ln\left(\dfrac{1}{9}\right)-\ln(25)+\ln(\sqrt{3})ln(91​)−ln(25)+ln(3​)
Exercice 2
Écrire les nombres suivants sous la forme \(\ln(x)\) où
xxx
 est un réel strictement positif.
1.
ln⁡(12)+ln⁡(5)\ln(12)+\ln(5)ln(12)+ln(5)
2.
ln⁡(20)−ln⁡(2)\ln(20)-\ln(2)ln(20)−ln(2)
.
3.
ln⁡(4)+3ln⁡(2)+1\ln(4)+3\ln(2)+1ln(4)+3ln(2)+1
4.
2ln⁡(10)−3ln⁡(4)2\ln(10)-3\ln(4)2ln(10)−3ln(4)
5.
3ln⁡(2)+2ln⁡(7)−53\ln(2)+2\ln(7)-53ln(2)+2ln(7)−5

Utiliser les propriétés algébriques (2)

Exercice 1
On considère la fonction
fff
 définie sur
]0 ;+∞[]0\ ;+\infty[]0 ;+∞[
 par
f(x)=xln⁡(x)f(x)=x\ln(x)f(x)=xln(x)
.
Exprimer en fonction de
ln⁡(2)\ln(2)ln(2)
 les images suivantes : 
f(4)f(4)f(4)
, 
f(8e2)f(8\text{e}^2)f(8e2)
 et
f(16e)f\left(\dfrac{16}{\text{e}}\right)f(e16​)
.
Exercice 2
Simplifier les expressions suivantes.
1.
A=e−3ln⁡(2)A=\text{e}^{-3\ln(2)}A=e−3ln(2)
2.
B=e12ln⁡(4)B=\text{e}^{\frac{1}{2}\ln(4)}B=e21​ln(4)
3. 
C=e2x+ln⁡(3)C=\text{e}^{2x+\ln(3)}C=e2x+ln(3)
 où
xxx
 est un réel.
4.
D=ln⁡(8)ln⁡(2)D=\dfrac{\ln(\sqrt{8})}{\ln(\sqrt{2})}D=ln(2​)ln(8​)​
5.
E=ln⁡(22)+ln⁡(2)−ln⁡(16)E=\ln(2^2)+\ln(\sqrt{2})-\ln(16)E=ln(22)+ln(2​)−ln(16)
6.
F=2ln⁡(3x)−ln⁡(9)F=2\ln(3x)-\ln(9)F=2ln(3x)−ln(9)
 où
xxx
 est un réel strictement positif.

Ensembles de définition

Dans chacun des cas suivants, déterminer l'ensemble de définition de la fonction
fff
 définie par
f(x)f(x)f(x)
.
1.
f(x)=(x−4)ln⁡(x)f(x)=(x-4)\ln(x)f(x)=(x−4)ln(x)
2.
f(x)=ln⁡(4−x)−2xf(x)=\ln(4-x)-2xf(x)=ln(4−x)−2x
3.
f(x)=5ln⁡(x2−2x−3)f(x)=5\ln(x^2-2x-3)f(x)=5ln(x2−2x−3)
4.
f(x)=ln⁡(ex+e−4x)f(x)=\ln(\text{e}^{x}+\text{e}^{-4x})f(x)=ln(ex+e−4x)
5. \(f(x)=\ln\left(\dfrac{4x-6}{1-x}\right)\)
6.
f(x)=\ln\left(\ln(x)\right)

Calculs de limites

Dans chacun des cas suivants, déterminer la limite de la fonction
fff
 en
α\alphaα
.
1.
f(x)=7−4ln⁡(x)f(x)=7-4\ln(x)f(x)=7−4ln(x)
 ; 
α=0\alpha=0α=0
 par valeurs supérieures puis
α=+∞\alpha=+\inftyα=+∞
2.
f(x)=3ln⁡(x)−5xf(x)=3\ln(x)-\dfrac{5}{x}f(x)=3ln(x)−x5​
 ; 
α=0\alpha=0α=0
 par valeurs supérieures puis
α=+∞\alpha=+\inftyα=+∞
3.
f(x)=(ln⁡(x))2f(x)=(\ln(x))^2f(x)=(ln(x))2
 ; 
α=0\alpha=0α=0
 par valeurs supérieures puis
α=+∞\alpha=+\inftyα=+∞
4.
f(x)=1−5ln⁡(2x−4)f(x)=1-5\ln(2x-4)f(x)=1−5ln(2x−4)
 ; 
α=2\alpha=2α=2
 par valeurs supérieures puis
α=+∞\alpha=+\inftyα=+∞
5.
f(x)=3ln⁡(4+1x)f(x)=3\ln\left(4+\dfrac{1}{x}\right)f(x)=3ln(4+x1​)
 ;\(\alpha=0\) parvaleurs supérieurespuis
α=+∞\alpha=+\inftyα=+∞
6.
f(x)=e1ln⁡(x)f(x)=\text{e}^{\frac{1}{\ln(x)}}f(x)=eln(x)1​
 ;\(\alpha=0\) par valeurs supérieures puis
α=1\alpha=1α=1
par valeurs inférieures

Calculs de dérivées

Dans chacun des cas suivants, 
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;déterminer l'ensemble de définition de
fff
,
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;déterminer l'ensemble de dérivabilité de la fonction
fff
 puis calculer
f′(x)f'(x)f′(x)
.
1.
f(x)=xln⁡(x)f(x)=x\ln(x)f(x)=xln(x)
2.
f(x)=ln⁡(x)xf(x)=\dfrac{\ln(x)}{x}f(x)=xln(x)​
3.
f(x)=4ln⁡(x)+3xf(x)=4\ln(x)+\dfrac{3}{x}f(x)=4ln(x)+x3​
4.
f(x)=2ln⁡(5x−7)f(x)=2\ln(5x-7)f(x)=2ln(5x−7)
5.
f(x)=ln⁡(e2x+1)−4xf(x)=\ln(\text{e}^{2x}+1)-4xf(x)=ln(e2x+1)−4x

Études de fonctions

Dans chacun des cas suivants,étudier les variations de la fonction
fff
 sur son ensemble de définition.
1.
f(x)=3ln⁡(x)−2x+4f(x)=3\ln(x)-2x+4f(x)=3ln(x)−2x+4
définie sur
]0 ;+∞[]0~;+\infty[]0 ;+∞[
.
2.
f(x)=xln⁡(x)f(x)=x\ln(x)f(x)=xln(x)
 définie sur
]0 ;+∞[]0~;+\infty[]0 ;+∞[
. 
3.
f(x)=3−2ln⁡(x)xf(x)=\dfrac{3-2\ln(x)}{x}f(x)=x3−2ln(x)​
 définie sur
]0 ;+∞[]0~;+\infty[]0 ;+∞[
. 
4.
f(x)=ln⁡(7−8x)f(x)=\ln(7-8x)f(x)=ln(7−8x)
 définie sur
]−∞ ; 78[\left]-\infty~;~\dfrac{7}{8}\right[]−∞ ; 87​[
.
5.
f(x)=ln⁡(x2+x+1)f(x)=\ln\left(x^{2}+x+1\right)f(x)=ln(x2+x+1)
 définie sur
R\mathbb{R}R
.

Ln et suites : recherche de seuil

Exercice 1
On considère la suite géométrique
(un)(u_n)(un​)
 de premier terme
u0=1u_0=1u0​=1
 et de raison
222
.
1.Déterminer la limite de
(un)(u_n)(un​)
.
2. a.Justifier qu'il existe un entier naturel 
n0n_0n0​
 tel que, pour tout entier naturel
n⩾n0n \geqslant n_0n⩾n0​
, on a 
un⩾102025u_n\geqslant 10^{2025}un​⩾102025
.
    b. À l'aide de la fonction logarithme népérien, déterminer le plus petit entier naturel
nnn
 tel que
un⩾102025u_n\geqslant 10^{2025}un​⩾102025
.
Exercice 2
Une tasse de thé est servie à une température initiale de 100 °C dans un milieu dont la température est constante. 
Pour tout entier naturel
nnn
, on note 
TnT_nTn​
la température du thé à l’instant
nnn
, avec
TnT_nTn​
 exprimée en degrés Celsius et 
nnn
 le temps exprimé en minutes.
On a ainsi
T0=100T_0=100T0​=100
.
On admet que, pour tout entier naturel
n, Tn=70×0,8n+30n,\ T_n=70 \times 0,8^n+30n, Tn​=70×0,8n+30
.
Camille aime boire son thé à une température d'au plus
323232
 °C.
Déterminer le temps que devra attendre Camille pour pouvoir boire son thé.

Temps de charge d'une batterie

On branche une batterie vide sur une borne de recharge.
La charge en kilowattheures (kWh) en fonction du temps 
ttt
(en heures) est modélisée par une fonction 
fff
définie sur
[0 ;+∞[[0\ ;+\infty[[0 ;+∞[
, par
f(t)=22(1−e−0,55t)f(t)=22(1-\text{e}^{-0,55t})f(t)=22(1−e−0,55t)
.
La batterie a une capacité de 22 kWh (charge complète).
Déterminer la durée nécessaire pour que la batterie soit chargée à 95 %.
On arrondira le résultat à la minute.

Fréquence cardiaque

Lors d’une course de 100 mètres, on a mesuré la fréquence cardiaque d’un sportif.
Cette fréquence cardiaque, en battements par minute, est modélisée par la fonction
fff
définie sur
[0 ;100][0 \ ; 100][0 ;100]
par
f(x)=28ln⁡(x+1)+70f (x) = 28 \ln(x + 1) + 70f(x)=28ln(x+1)+70
, où 
xxx
est la distance, en mètre, parcourue par ce sportif depuis le départ de la course.
1.Selon ce modèle, quelle est la fréquence cardiaque de ce sportif au départ de la
course ?
2.Selon ce modèle, au bout de combien de mètres la fréquence cardiaque de ce sportif est-elle supérieure ou égale à 185 battements par minute ? Arrondir à l’unité.