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☆ À n'ouvrir qu'en cas d'urgence ☆

\(\begin{align}x^{(x^x)}=(x^x)^x&\Leftrightarrow \mathrm{e}^{x^x\ln x}=\mathrm{e}^{x\ln(x^x)}\\&\Leftrightarrow...

Sommaire

☛ Une équation⚒ Suite qui tend vers e⚒ e revient

☛ Une équation

Pour tout réel
x>0,x>0,x>0,
x(xx)=(xx)x⇔exxln⁡x=exln⁡(xx)⇔xxln⁡x=xln⁡(xx)⇔xxln⁡x=x2ln⁡x⇔x2(xx−2−1)ln⁡x=0⇔e(x−2)ln⁡x−1=0  ou  ln⁡x=0  car  x≠0⇔(x−2)ln⁡x=0  ou  x=1⇔x=2  ou  x=1\begin{align}x^{(x^x)}=(x^x)^x&\Leftrightarrow \mathrm{e}^{x^x\ln x}=\mathrm{e}^{x\ln(x^x)}\\&\Leftrightarrow x^x \ln x=x\ln(x^x)\\&\Leftrightarrow x^x \ln x=x^2\ln x\\&\Leftrightarrow x^2 (x^{x-2}-1)\ln x=0\\&\Leftrightarrow\mathrm{e}^{(x-2)\ln x}-1=0\; \mathrm{ou}\; \ln x=0\; \textrm{car}\;x\neq0\\&\Leftrightarrow(x-2)\ln x=0\; \mathrm{ou}\; x=1\\&\Leftrightarrow x=2\; \mathrm{ou}\;x=1\\\end{align}x(xx)=(xx)x​⇔exxlnx=exln(xx)⇔xxlnx=xln(xx)⇔xxlnx=x2lnx⇔x2(xx−2−1)lnx=0⇔e(x−2)lnx−1=0oulnx=0carx=0⇔(x−2)lnx=0oux=1⇔x=2oux=1​​
L'équation admet deux solutions :
S={1  ;2}\mathscr{S}=\{1\;;2\}S={1;2}
.

⚒ Suite qui tend vers e

5.Considérer la suite
(wn)\left(w_{n}\right)(wn​)
 définie sur
N∗\mathbb N^*N∗
 par
wn=(1+xn)nw_n=\left(1+\dfrac{x}{n}\right)^{n}wn​=(1+nx​)n
et déterminer la limite de la suite
(ln⁡(wn))\left(\ln\left(w_n\right)\right)(ln(wn​))
.

⚒ e revient

1.On pourra étudier les fonctions
ggg
 et
hhh
 définies sur
R+∗\mathbb R_+^*R+∗​
par
g(x)=ln⁡(x+1)−ln⁡(x)−1x+1g(x)=\ln(x+1)-\ln(x)-\dfrac{1}{x+1}g(x)=ln(x+1)−ln(x)−x+11​
et
h(x)=ln⁡(x+1)−ln⁡(x)−1xh(x)=\ln(x+1)-\ln(x)-\dfrac{1}{x}h(x)=ln(x+1)−ln(x)−x1​
.