Quizéo

On considère la suite 

\left(u_{n}\right)

définie, pour tout entier naturel \(n\)non nul, par

u_{n}=\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n}

.

1.Calculer

u_1

et

u_2

.

2. a.Démontrer que, pour tout réel

x\geqslant0

,on a 

\ln\left(1+x\right)\leqslant x

.b.En déduire que, pour tout entier naturel 

n

non nul, 

\ln\left(u_{n}\right)\leqslant1

.c.Si la suite 

\left(u_{n}\right)

est convergente, par quel nombre peut-on majorer sa limite ?

3.On considère la suite 

\left(v_{n}\right)

définie, pour tout entier naturel \(n\)non nul, par

v_{n}=\ln\left(u_{n}\right)

.a.Donner

\underset{x\rightarrow0}{\lim}\dfrac{\ln(1+x)}{x}

.b.En déduire que la suite 

\left(v_{n}\right)

converge vers 1.

4.En déduire que la suite

\left(u_{n}\right)

 est convergente et donner sa limite.

5.Soit

x\in \mathbb R

. En s'inspirant de ce qui précède, déterminer

\underset{n\rightarrow+\infty}{\lim}\left(1+\dfrac{x}{n}\right)^{n}

.

☆ e revient

On admet que 

\forall a\in\mathbb R_+^*, \forall b\in\mathbb R,\, a^{b}=\text{e}^{b\ln a}

.

1.Démontrer que, pour tout réel

x>0

,

\dfrac{1}{x+1}\leqslant\ln(x+1)-\ln x\leqslant\dfrac{1}{x}

.

2.On considère la fonction

f

 définie sur

\mathbb R_+^*

par

f(x)=\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^{x}

.a.Démontrer que la fonction 

f

est strictement croissante sur 

\mathbb R_+^*

.b.Démontrer que

\underset{x\rightarrow+\infty}{\lim}\ln\left(f(x)\right)=1

.c.En déduire la limite de 

f

en

+\infty

.

Suite qui tend vers ln (2)

On considère la suite

\left(u_{n}\right)

 définie pour tout entier naturel 

n

non nul par 

\displaystyle u_{n}=\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}\dfrac{1}{n+k}=\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}+...+\dfrac{1}{n+n}

.

1.Donner

u_1

 et démontrer que

u_2=\dfrac {7}{12}

.

2. a.Démontrer que, pour tout entier naturel

n

 non nul,

u_{n+1}-u_{n}=\dfrac{1}{2(n+1)(2n+1)}

.b.En déduire le sens de variations de la suite

\left(u_{n}\right)

.c.Démontrer que, pour tout entier

n

 non nul,

u_n\leqslant1

.d.En déduire que la suite

\left(u_{n}\right)

 est convergente.

3. a.Montrer que, pour tout réel

x>0

, on a

1-\dfrac{1}{x}\leqslant\ln x\leqslant x-1

.b.En déduire que, pour tout entier naturel

p\ne0

,

\dfrac{1}{p+1}\leqslant\ln\left(\dfrac{p+1}{p}\right)\leqslant\dfrac{1}{p}

.

4. a.Démontrer que, pour tout entier naturel

n

 non nul,

u_{n}\leqslant\ln2\leqslant u_{n}+\dfrac{1}{2n}

.b.En déduire que la limite de la suite

\left(u_{n}\right)

.

☆ Une équation

On admet que, pour tout réel

a>0

, pour tout réel

b

,

a^b=\text e^{b\ln a }

. Résoudre dans

\mathbb R_+^*

 l'équation

x^{\left(x^{x}\right)}=\left(x^{x}\right)^{x}

.

Suite implicite

Soit

f

 la fonction définie sur

[0\ ;+\infty[

par

f(x)=\text e^x+x

.

1.Démontrer que, pour tout entier naturel 

n

, l'équation

f(x)=n

 possède une unique solution dans

[0\ ;+\infty[

, que l'on notera

\alpha_n

.

2.Donner

\alpha_1

.

3. a.En remarquant que, pour tout entier naturel 

n

,

f\left(\alpha_n\right)=n

, démontrer que la suite

\left(\alpha_n\right)

 est croissante.b.Montrer, en raisonnant par l'absurde, que

\underset{n\rightarrow+\infty}{\lim}u_{n}=+\infty

.

4.Démontrer que, pour tout entier naturel

n

 non nul,

\ln\left(n-\ln n\right)\leqslant\alpha_n\leqslant\ln n

.

5.En déduire la limite de la suite

\left(\dfrac{\alpha_n}{\ln n}\right)

.

Constante d'Euler

Pour tout entier naturel

n

 non nul, on pose

\displaystyle H_{n}=\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}\dfrac{1}{k}

.

1.Démontrer que la suite

\left(H_{n}\right)

 est strictement croissante.

2. a.Démontrer que, pour tout réel

x>-1

, on a

\ln\left(1+x\right)\leqslant x

.b.En déduire que, pourtout entier naturel

k

 non nul,

\ln\left(k+1\right)-\ln k\leqslant\dfrac{1}{k}

.c.Soit

n\in \mathbb N^*

. Démontrer que

H_{n}\geqslant\ln\left(n+1\right)

. Que peut-on en déduire pour la suite\(\left(H_{n}\right)\) ?

3.On considère la suite

\left(u_{n}\right)

 définie pour tout entier naturel

n

 non nul, par

u_{n}=H_{n}-\ln n

.a.Démontrer que la suite

\left(u_{n}\right)

 est décroissante et minorée.b.Que peut-on en déduire ?

Remarque

La suite

\left(u_{n}\right)

 converge vers un réel

\gamma

 appelé constante d'Euler.

\gamma\approx0,577

.

Dérivée logarithmique

Soit

f

 une fonction strictement positive et dérivable sur un intervalle

I

. On appelle dérivée logarithmique de

f

 la fonction notée 

\mathcal L(f)

 définie sur

I

par

\mathcal L(f)=\dfrac {f'}f

. Il s'agit en fait de la dérivée de la fonction

\ln f

.

1.Soit

f

et

g

 deux fonctions strictement positives et dérivables sur

I

. Montrer quea.

\mathcal L(fg)=\mathcal L(f)+\mathcal L(g)

.b.

\mathcal L\left(\dfrac fg\right)=\mathcal L(f)-\mathcal L(g)

.

2.Soit

f

 la fonction définie sur

\mathbb R

par

f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)

. Utiliser la dérivée logarithmique de

f

 pour déterminer

f'

.

3.Soit

g

 la fonction définie sur

\mathbb R

par

g(x)=\dfrac{x^{4}\left(2x-5\right)^{3}}{\left(x^{2}+3\right)^{2}\text{e}^{6x}}

. Déterminer la dérivée de la fonction

g

.

Un truc de banquier

On admet le résultatsuivant : si

x

 est proche de 0, alors

\ln(1+x)\approx x

.Par exemple, 

\ln(1+0,02)=\ln(1,02)=0,0198

à

10^{-4}

 donc

\ln(1+0,02)\approx0,02

.

Voici l'affirmation d'un banquier : «Pour estimer le nombre d'années qu'il faut à un capital placé à intérêts composés pour doubler, il suffit de diviser 70 par le taux d'intérêt. »

1.Montrer que le nombre d'années

n

 nécessaires au doublement d'un capital placé à

t\ \%

d'intérêts composés vérifie

n\geqslant\dfrac{\ln2}{\ln\left(1+\dfrac{t}{100}\right)}

.

2.Soit

N=\dfrac{\ln2}{\ln\left(1+\dfrac{t}{100}\right)}

.

a.En considérant que

\dfrac{t}{100}

 est proche de 0, donner une valeur approchée de

N

 en fonction de

t

.

b.En déduire que

Nt\approx70

.

3.Déterminer le nombre d'années nécessaires au doublement d'un capital placé àa.3 % (taux du livret A en 2024).b.5 % (taux proposé par la très compétente Samira Bien)c.10 % (taux proposé par l'obscur Charles Attand).

Remarque

Cette règle est appelée règle des 70, ou encore règle des 72, qui fonctionne mieux si le taux d'intérêt est élevé (plus de 5 %). 

Indice de Theil

On admet qu'une fonction convexe sur un intervalle \(I\) vérifie : pour tous réels \(x \text { et } y\) de \(I\), pour tout \(\lambda\in[0;1]\), \(f\left(\lambda x+\left(1-\lambda \right)y\right)\leqslant\lambda f(x)+\left(1-\lambda\right)f(y)\).

Pour mesurer les inégalités de répartition des salaires dans une entreprise, on peut utiliser l'indice de Theil défini par

\displaystyle T=\dfrac{1}{n}{\sum_{i=1}^n}\dfrac{x_{i}}{\overline{x}}\ln\left(\dfrac{x_{i}}{\overline{x}}\right)

, où

x_1,x_2,...,x_n

 sont les salaires des

n

 salariés de l'entreprise et

\overline{x}

 le salaire moyen.

1.Calculer

T

 si tous les salaires sont égaux.

2.Calculer

T

 s'il y a 5 salariés ayant pour salaires : 1 500 € ;  2 000 € ; 2 500 € ; 4 000 € ; 5 000 €.

3.On suppose dans cette question que

n=2

. On note

x

et

y

 les deux salaires. L'objectif est de démontrer que

T\geqslant0

.a. Montrer que

T=\dfrac{1}{2\overline{x}}\left(x\ln x+y\ln y-(x+y)\ln\overline{x}\right)

.b.Montrer que la fonction

\varphi:x\mapsto x\ln x

 est convexe sur

\mathbb R_+^*

.c.En déduire que

T\geqslant0

.On admettra que ce résultat reste valable pour tout entier naturel\(n\geqslant2\).

4.Une entreprise emploie

n

 personnes.Les salariés ont le même salaire \(S\) sauf deux : l'un a un salaire égal à

\left(1+x\right)S

 et l'autre égal à

\left(1-x\right)S

, avec

1<x<1

Remarque

Plus l'écart entre le plus haut salaire\(\left(1+x\right)S\) et le plus bas salaire\(\left(1-x\right)S\)augmente, plus l'indice de Theil augmente.

Exercices vers le supérieur

☆ Suite qui tend vers e

☆ e revient

Suite qui tend vers ln (2)

☆ Une équation

Suite implicite

Constante d'Euler

Dérivée logarithmique

Un truc de banquier

Indice de Theil