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Premiers pas dans les équations différentielles

On appelleéquation différentielleune équation dans laquelle l'inconnue est une fonction et qui lie cette...

Sommaire

Introduction aux équations différentielles✎ ☛ Vérifier qu'une fonction est solution d'une équation différentielle

Introduction aux équations différentielles

Définition
On appelleéquation différentielleune équation dans laquelle l'inconnue est une fonction et qui lie cette fonction et une ou plusieurs de ses dérivées successives.
Vocabulaire
L'ordred'une équation différentielle donnée correspond à l'ordre maximal de dérivation présent dans cette équation différentielle.
Remarque
L'inconnue d'une équation différentielle est souvent notée
yyy
. Elle représente une fonction (et non plus un nombre).
Exemples
1.
y′+2y=0y'+2y=0y′+2y=0
est une équation dupremier ordre à coefficients constants.
2.
y′+2y=4y'+2y=4y′+2y=4
est une équation dupremier ordre à coefficients constants.
3.
y′+y2=0y'+y^2=0y′+y2=0
est une équation dupremier ordreà coefficients constants.
4.
ty′(t)+y(t)=0ty'(t)+y(t)=0ty′(t)+y(t)=0
est une équation dupremier ordreà coefficients non constants.
5.
y′′+y=0y''+y=0y′′+y=0
est une équation dusecond ordreà coefficients constants.
Définition
Soit
nnn
un entier naturel non nul.Résoudreune équation différentielle d'ordre
nnn
sur un intervalle
III
, c'est trouvertoutes les fonctionsdéfinies sur
III
 et dérivables
nnn
fois, vérifiant cette équation.
On dit qu'une telle fonction estsolutionsur\(I\)​​ de l'équation différentielle.

✎ ☛ Vérifier qu'une fonction est solution d'une équation différentielle

Méthode
Pour vérifier qu'une fonction
fff
est solution d'une équation différentielle :
    • calculer la ou les dérivées successives de
fff
présentes dans l'équation ;
    • remplacer, dans le second membre de l'équation, la fonction
fff
et sa ou ses dérivées successives ;
    • vérifier que les deux membres donnent le même résultat.
Énoncé
Soit
(E)(E)(E)
l'équation différentielle
y′=−4y+12y'=-4y+12y′=−4y+12
. Démontrer que la fonction définie sur
R\mathbb RR
par 
f(t)=2e−4t+3f(t) = 2\text e^{-4t}+3f(t)=2e−4t+3
 est solution sur
R\mathbb RR
 de
(E)(E)(E)
.
Solution
Soit
ttt
un réel.
    • On a
f′(t)=−8e−4tf'(t)=-8\text e^{-4t}f′(t)=−8e−4t
.
    • On a
−4f(t)+12=−4×(2e−4t+3)+12=−8e−4t−12+12=−8e−4t-4f(t)+12=-4\times (2\text e^{-4t}+3)+12=-8\text e^{-4t}-12+12=-8\text e^{-4t}−4f(t)+12=−4×(2e−4t+3)+12=−8e−4t−12+12=−8e−4t
.
ConclusionPour tout réel \(t\), on a \(f'(t)=-4f(t)+12\), ce qui signifie que
fff
est solution sur
R\mathbb RR
de
(E)(E)(E)
.