Propriété
Soit
une fonction définie sur un intervalle
.
On dit qu'une fonction
définie sur
est une solution de l'équation différentielle
sur
lorsque
est dérivable sur
et que, pour tout \(x\in I\),
.
Énoncé
Démontrer que la fonction
définie sur
par
est une solution sur
de l'équation différentielle
.
Solution
est dérivable sur
.
• Pour tout
, on a
.
• Pour tout
, on a bien
, donc
est solution sur
de l'équation différentielle
.
Une primitive d'une fonction
Définition
Soit
une fonction définie sur un intervalle
.
On considère l'équation différentielle
.
Les solutions, sur
, de cette équation différentielle sont appelées lesprimitivesde
sur
.
Ainsi, une primitive de
sur
est une fonctiondéfinieetdérivablesur
et telle que,pour tout réel\(x\)de
,on a\(F'(x) = f (x)\).
Théorème(admis)
Toute fonctioncontinuesur un intervalle \(I\)admet des primitivessur cet intervalle.
Remarque
Ce théorème assure l'existence de primitives d'une fonction continue sur un intervalle. Cependant, laforme explicite d'une primitive n'est pas toujours connue.
Par exemple, la fonction
est continuesur \(\mathbb R\)comme composée de fonctions continuessur \(\mathbb R\); elle admet donc des primitivessur \(\mathbb R\). Mais on ne peut pas écrire ses primitives à l'aide de fonctions usuelles.
✎ ☛ Vérifier qu'une fonction est une primitive
Méthode
Pour vérifier qu'une fonction
est une primitive de
sur un intervalle
,
• on calcule la dérivée de
sur
;
• on vérifieque l'expression \(F'(x)\)obtenue est bien égale à
.
Énoncé
Soit \(f\) et
les fonctions définies sur \(]0~;+\infty[\) par
et
.
Vérifier que
est une primitive de
sur
.
Solution
On dérive la fonction
définieet dérivable sur \(]0~;+\infty[\) en utilisant la dérivée d’un produit et d'une somme.
Pour tout réel
, on a
.
Donc
est une primitive de
sur
.
Les primitives d'une fonction
Exemple
Soit \(F\) et
les fonctions définies sur
par
et
.
Pour tout
réel, on a
et
.
Les fonctions
et
ont la même dérivée, mais ne sont pas égales.
Plus précisément, pour tout réel
, on a
.
Théorème
Soit
une fonction définiesur un intervalle \(I\)et admettant une primitive
sur cet intervalle.
Les primitives de la fonction
sur
sont les fonctions de la forme
,où
est une constante réelle.
Démonstration
Soit \(f\)une fonction définiesur un intervalle\(I\)et admettant une primitive
sur cet intervalle.
Soit
la fonctiondéfinie pour tout
de
par
,où
est un réel.Alors, pour tout \(x\)de
, on a
. Donc
est bien une primitive de
sur
.
Soit
une autre primitive de la fonction
sur
.
Alors, pour tout réel
de
, on a
.
Comme
est une primitive de
sur
, on a pour tout
de
,
.
D'où,pour tout réel
de
,
, c'est-à-dire
.
La fonction
a une dérivée nulle sur
donc
est constante sur
.
On note
cette constante.
Alors, pour tout réel
de
, on a
, c'est-à-dire
.
Remarques
- Si une fonction admet une primitivesur un intervalle, elle en admet une infinité.
- Deux primitives d'une même fonctionsur un intervallediffèrent d'une constante.
☛ Déterminer les primitives d'une fonction
Énoncé
Déterminer les primitives de la fonction
définie sur
par
.
Solution
La fonction \(F\)définie sur
par \(F(x)=x^2-3x\)est une primitive de
sur \(\mathbb R\).
D'après le théorème ci-dessus, les primitives de
sur
sont les fonctions de la forme
, où
.
La primitive vérifiant une condition initiale
Théorème
Soit
une fonction définiesur un intervalle \(I\)et admettant des primitives surcet intervalle.Soit \(x_0 \in I\) et \(y_0\) un réel.
Il existeune et une seule primitive
de
sur\(I\)telle que
.
Démonstration
ExistenceSoit \(F\)une primitive de
sur
.Les primitives de\(f\)sur
sont les fonctions définies sur \(I\) et de la forme : \(x \mapsto F (x) + C\), où
est un réel.On a \(F (x_0) + C = y_0 \Leftrightarrow C = y_0 - F(x_0)\). Par construction, la fonction définie sur \(I\) et de la forme : \(x \mapsto F (x) + y_0 - F(x_0)\)est une primitive de\(f\) sur\(I\) et est telle que \(x_0\)a pour image
.
Unicité
Soit
et
deux primitives de
sur\(I\)et vérifiant
et
.
et
étant deux primitives de
sur
, elles différent d'une constanteréelle
.
Pour tout
de
, on a
.
Donc, en particulier pour
, on a
soit
.
Par conséquent, pour tout
de
, on a
.
Les fonctions
et
sont égales sur
.
Il existe donc une et une seuleprimitive
de
sur\(I\)telle que
.
Remarque
On dit que la relation
est unecondition initiale.
☛ Déterminer la primitive vérifiant une condition initiale
Énoncé
Soit
f
définie sur \(\mathbb R\) par
.
1.Déterminer toutes les primitives de
sur
.
2. Déterminer la primitive\(G\)de
sur
qui vérifie
.
3.Déterminer la primitive\(H\)de
sur
dont la courbe représentative passe par le point de coordonnées
.
Solution
1.Les primitives de
sur
sontles fonctions\(F\)de la forme
, où
.
2.On cherche\(G\), primitive de
sur
, qui vérifie
.
On remplace
par
dans l'expression
et on résout l'équation en
:
.
Or,
, d'où
.
La primitive cherchée estdéfiniesur
par
.
3.On note
,avec
. On cherche
tel que
.
.
Or
, d'où
.
La primitive cherchée estdéfiniesur
par
.
Remarques
• Dire qu'on cherchel'unique primitive
de
sur un intervalle
vérifiant la condition initiale
revient à dire que, parmi les courbes représentatives des primitives de
sur
,on cherche l'unique courbe représentative qui passe par le point
de coordonnées
dans un repère du plan.
• Deux courbes représentatives de primitives de
sur\(I\)se déduisent l'une de l'autre par une translation de vecteurs
, où
est un réel. Une seule d'entre elles passe par le point
.