Notion de primitive d'une fonction

Propriété

Soit

f

une fonction définie sur un intervalle

I

. 
On dit qu'une fonction

g

définie sur

I

est une solution de l'équation différentielle

y'=f

sur

I

lorsque

g

est dérivable sur

I

et que, pour tout \(x\in I\),

g'(x)=f(x)

.

Énoncé

Démontrer que la fonction

g

définie sur

]0~;+\infty[

par

g(x)=\dfrac 23 x\sqrt x

est une solution sur

]0~;+\infty[

de l'équation différentielle

y'=\sqrt x

.

Solution

g

est dérivable sur 

]0~;+\infty[

.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Pour tout

x>0

, on a 

g'(x)=\dfrac23\sqrt x+\dfrac23x\times \dfrac{1}{2\sqrt x}=\dfrac23\sqrt x+\dfrac13\sqrt x=\sqrt x

.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Pour tout

x>0

, on a bien

g'(x)=\sqrt x

, donc

g

est solution sur

]0~;+\infty[

de l'équation différentielle

y'=\sqrt x

.

Une primitive d'une fonction

Définition

Soit

f

une fonction définie sur un intervalle

I

.
On considère l'équation différentielle

y'=f

.
Les solutions, sur

I

, de cette équation différentielle sont appelées lesprimitivesde

f

sur

I

.
Ainsi, une primitive de

f

sur

I

est une fonctiondéfinieetdérivablesur

I

et telle que,pour tout réel\(x\)de

I

,on a\(F'(x) = f (x)\).

Théorème(admis)

Toute fonctioncontinuesur un intervalle \(I\)admet des primitivessur cet intervalle.

Remarque

Ce théorème assure l'existence de primitives d'une fonction continue sur un intervalle. Cependant, laforme explicite d'une primitive n'est pas toujours connue.
Par exemple, la fonction

x\mapsto \text e^{x^2}

est continuesur \(\mathbb R\)comme composée de fonctions continuessur \(\mathbb R\); elle admet donc des primitivessur \(\mathbb R\). Mais on ne peut pas écrire ses primitives à l'aide de fonctions usuelles.

✎ ☛ Vérifier qu'une fonction est une primitive

Méthode

Pour vérifier qu'une fonction

F

est une primitive de

f

 sur un intervalle

I

,

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;on calcule la dérivée de

F

sur

I

;

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;on vérifieque l'expression \(F'(x)\)obtenue est bien égale à

f (x)

.

Énoncé

Soit \(f\) et 

F

 les fonctions définies sur \(]0~;+\infty[\) par 

f (x) = \ln x

et

F(x) = x \ln x-x

.
Vérifier que

F

est une primitive de

f

sur

]0 \ ;+\infty[

.

Solution

On dérive la fonction

F

définieet dérivable sur \(]0~;+\infty[\) en utilisant la dérivée d’un produit et d'une somme. 
Pour tout réel

x > 0

, on a

F'(x) = 1\times \ln x +x \times \dfrac 1x -1 = \ln x + 1-1=\ln x=f(x)

.
Donc

F

est une primitive de

f

sur

]0 \ ;+\infty[

.

Les primitives d'une fonction

Exemple

Soit \(F\) et 

G

 les fonctions définies sur 

\mathbb{R}

par

F(x)=x^2-3x

et

G(x)=x^2-3x+5

.
Pour tout

x

réel, on a

F'(x)=2x-3

et

G'(x)=2x-3

.
Les fonctions

F

et

G

ont la même dérivée, mais ne sont pas égales.
Plus précisément, pour tout réel 

x

, on a 

G(x)=F(x)+5

.

Théorème

Soit

f

une fonction définiesur un intervalle \(I\)et admettant une primitive

F

sur cet intervalle.
Les primitives de la fonction

f

sur

I

sont les fonctions de la forme

x \mapsto F(x)+C

,où

C

est une constante réelle.

Démonstration

Soit \(f\)une fonction définiesur un intervalle\(I\)et admettant une primitive

F

sur cet intervalle.

Soit

G

 la fonctiondéfinie pour tout

x

de

I

par

G(x)=F(x)+C

,où 

C

est un réel.Alors, pour tout \(x\)de

I

, on a

G'(x)=F'(x)+0=f(x)

. Donc

G

est bien une primitive de

f

sur

I

.

Soit 

G

une autre primitive de la fonction

f

sur

I

.
Alors, pour tout réel

x

de

I

, on a 

G'(x)=f(x)

.
Comme

F

est une primitive de 

f

sur

I

, on a pour tout

x

de

I

,

F'(x)=f(x)

.
D'où,pour tout réel ​​

x

de

I

,

G'(x)-F'(x)=0

, c'est-à-dire

(G-F)'(x)=0

.
La fonction

G-F

a une dérivée nulle sur

I

 donc 

G-F

est constante sur

I

.
On note

C

cette constante.
Alors, pour tout réel 

x

de

I

, on a 

G(x)-F(x)=C

, c'est-à-dire

G(x)=F(x)+C

.

Remarques

Si une fonction admet une primitivesur un intervalle, elle en admet une infinité.
Deux primitives d'une même fonctionsur un intervallediffèrent d'une constante.

☛ Déterminer les primitives d'une fonction

Énoncé

Déterminer les primitives de la fonction

f

 définie sur

\mathbb R

par

f(x)=2x-3

.

Solution

La fonction \(F\)définie sur

\mathbb R

par \(F(x)=x^2-3x\)est une primitive de 

f

sur \(\mathbb R\).
D'après le théorème ci-dessus, les primitives de

f

sur

\mathbb R

 sont les fonctions de la forme

x\mapsto x^2-3x+C

, où

C\in \mathbb R

.

La primitive vérifiant une condition initiale

Théorème

Soit

f

une fonction définiesur un intervalle \(I\)et admettant des primitives surcet intervalle.Soit \(x_0 \in I\) et \(y_0\) un réel.
Il existeune et une seule primitive

F

de

f

sur\(I\)telle que 

F(x_0) = y_0

.

Démonstration

ExistenceSoit \(F\)une primitive de

f

sur

I

.Les primitives de\(f\)sur

I

sont les fonctions définies sur \(I\) et de la forme : \(x \mapsto F (x) + C\), où

C

est un réel.On a \(F (x_0) + C = y_0 \Leftrightarrow C = y_0 - F(x_0)\). Par construction, la fonction définie sur \(I\) et de la forme : \(x \mapsto F (x) + y_0 - F(x_0)\)est une primitive de\(f\) sur\(I\) et est telle que \(x_0\)a pour image

y_0

.

Unicité
Soit 

F_1

et

F_2

deux primitives de

f

sur\(I\)et vérifiant 

F_1(x_0) = y_0

et

F_2(x_0) = y_0

.

F_1

et

F_2

 étant deux primitives de

f

sur

I

, elles différent d'une constanteréelle

C

.
Pour tout

x

de

I

, on a

F_1(x) - F_2(x) = C

.
Donc, en particulier pour 

x = x_0

, on a

F_1(x_0) - F_2(x_0) = C

soit 

C = y_0 - y_0 = 0

.
Par conséquent, pour tout 

x

de

I

, on a 

F_1(x) = F_2(x)

.
Les fonctions

F_1

et

F_2

sont égales sur

I

.
Il existe donc une et une seuleprimitive

F

de

f

sur\(I\)telle que 

F(x_0) = y_0

.

Remarque

On dit que la relation 

F(x_0) = y_0

 est unecondition initiale.

☛ Déterminer la primitive vérifiant une condition initiale

Énoncé

Soit

f

définie sur \(\mathbb R\) par

f(x)=2x-3

.

1.Déterminer toutes les primitives de

f

sur

\mathbb R

.
2. Déterminer la primitive\(G\)de

f

sur

\mathbb R

qui vérifie

G(2)=6

.
3.Déterminer la primitive\(H\)de

f

sur

\mathbb R

dont la courbe représentative passe par le point de coordonnées

(-1\ ;\ 4)

.

Solution

1.Les primitives de

f

sur

\mathbb R

sontles fonctions\(F\)de la forme

F(x)=x^2-3x+C

, où

C\in \mathbb R

.

2.On cherche\(G\), primitive de

f

sur

\mathbb R

, qui vérifie

G(2)=6

.
On remplace

x

par

2

dans l'expression 

x^2-3x+C

et on résout l'équation en

C

:

G(2)=2^2-3\times 2+C=4-6+C=-2+C

.
Or, 

G(2)=6

, d'où 

-2+C=6 \Leftrightarrow C=8

. 
La primitive cherchée estdéfiniesur

\mathbb R

par

G(x)=x^2-3x+8

.

3.On note

H(x)=x^2-3x+C

,avec

C\in \mathbb R

. On cherche

C

tel que

H(-1)=4

.

H(-1)=(-1)^2-3\times (-1)+C=4+C

.
Or

H(-1)=4

, d'où

4+C=4 \Leftrightarrow C=0

.
La primitive cherchée estdéfiniesur

\mathbb R

par

H(x)=x^2-3x

.

Remarques

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Dire qu'on cherchel'unique primitive

F

de

f

 sur un intervalle 

I

 vérifiant la condition initiale

F(x_0)=y_0

 revient à dire que, parmi les courbes représentatives des primitives de

f

sur

I

,on cherche l'unique courbe représentative qui passe par le point

\mathrm M_0

de coordonnées

(x_0~;~y_0)

dans un repère du plan.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Deux courbes représentatives de primitives de

f

sur\(I\)se déduisent l'une de l'autre par une translation de vecteurs

C\overrightarrow j

, où

C

est un réel. Une seule d'entre elles passe par le point

\text M_0(x_0~;~y_0)

.

☛ Équation différentielle de la forme y' = f

Une primitive d'une fonction

✎ ☛ Vérifier qu'une fonction est une primitive

Les primitives d'une fonction

☛ Déterminer les primitives d'une fonction

La primitive vérifiant une condition initiale

☛ Déterminer la primitive vérifiant une condition initiale