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Dans chacun des cas suivants, déterminer sur l'intervalle considéré une primitive

Sommaire

Calcul de primitivesCalculs de primitives (somme et produit par un réel)Calculs de primitives (composition)
Équations différentiellesVrai ou faux ?Vérifier qu'une fonction est solution d'une équation différentielle☛ Déterminer l'unique primitive définie par une condition initiale donnéeÉquations différentielles y' = ayÉquations différentielles y' = ay + b

Calcul de primitives

Calculs de primitives (somme et produit par un réel)

Dans chacun des cas suivants, déterminer sur l'intervalle considéré une primitive
FFF
de la fonction 
fff
.
1. \(f\) définie sur
R\mathbb{R}R
 par
f(x)=3x−4f(x)=3x-4f(x)=3x−4
.
2.\(f\) définie sur
R\mathbb{R}R
 par 
f(x)=2x2−3x+1f(x)=2x^2-3x+1f(x)=2x2−3x+1
.
3.\(f\) définie sur \(]0~;+\infty[\) par 
f(x)=6x2−4x2f(x)=6x^2-\dfrac{4}{x^2}f(x)=6x2−x24​
.
4.\(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par 
f(x)=3x3−2xf(x)= 3x^3-2xf(x)=3x3−2x
.
5.
fff
 définiesur\(​​]-\infty~;~0[\) par 
f(x)=x+2+1x3f(x)=x+2+\dfrac{1}{x^3}f(x)=x+2+x31​
.
6.\(f\) définie sur
]0 ;+∞[]0~;+\infty[]0 ;+∞[
 par 
f(x)=3xf(x)=\dfrac{3}{\sqrt x}f(x)=x​3​
.

Calculs de primitives (composition)

Dans chacun des cas suivants, déterminer sur l'intervalle considéré une primitive
FFF
de la fonction 
fff
.
1.\(f\) définie sur
R\mathbb{R}R
 par 
f(x)=5(5x−2)2f(x)=5(5x-2)^2f(x)=5(5x−2)2
2.\(f\) définie sur
R\mathbb{R}R
 par 
f(x)=(2x+4)3f(x)=(2x+4)^3f(x)=(2x+4)3
3.\(f\) définie sur
R\mathbb{R}R
 par 
f(x)=3(3x−1)2f(x)=\dfrac{3}{(3x-1)^2}f(x)=(3x−1)23​
4.\(f\) définie sur\(\left] -\infty~; \dfrac25 \right[\) par 
f(x)=1(−5x+2)3f(x)=\dfrac{1}{(-5x+2)^3}f(x)=(−5x+2)31​
5.\(f\) définie sur
R\mathbb{R}R
 par 
f(x)=2xx2+1f(x)=\dfrac{2x}{\sqrt{x^2+1}}f(x)=x2+1​2x​
6.\(f\) définie sur
]−23 ;+∞[\left]-\dfrac23~;+\infty\right[]−32​ ;+∞[
 par 
f(x)=13x+2f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{3x+2}}f(x)=3x+2​1​
7.\(f\) définie sur
[0 ;+∞[\left[0~;+\infty\right[[0 ;+∞[
 par 
f(x)=3x2+4xx3+2x2+1f(x)=\dfrac{3x^2+4x}{x^3+2x^2+1}f(x)=x3+2x2+13x2+4x​
8.\(f\) définie sur
]−38 ;+∞[\left]-\dfrac38~;+\infty\right[]−83​ ;+∞[
 par
f(x)=18x+3f(x)=\dfrac{1}{8x+3}f(x)=8x+31​
9.\(f\) définie sur
R\mathbb{R}R
 par
f(x)=2xex2f(x)=2x\text e^{x^2}f(x)=2xex2
10.\(f\) définie sur
R\mathbb{R}R
 par
f(x)=e−0,5x+3f(x)=\text e^{-0,5x+3}f(x)=e−0,5x+3

Équations différentielles

Vrai ou faux ?

Indiquer si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses, en justifiant.
1.
y′=2x+3y'=2x+3y′=2x+3
est une équation différentielle.
2.
y=3x2y=3x^2y=3x2
est une équation différentielle.
3. La fonction 
fff
telle que,pour tout réel\(x\),
f(x)=3f(x)=3f(x)=3
, est une solution sur
R\mathbb{R}R
 de l'équation différentielle
y′=3y'=3y′=3
.

Vérifier qu'une fonction est solution d'une équation différentielle

Exercice 1
Soit 
fff
la fonction définie sur 
R\mathbb RR
par
f(t)=2t−7f(t)=2t-7f(t)=2t−7
. Justifier que
fff
est solution, sur
R\mathbb RR
, de l'équation différentielle
(E):y′=4y−8x+30(E) : y'=4y-8x+30(E):y′=4y−8x+30
.
Exercice 2
Soit 
fff
la fonction définie sur 
R\mathbb RR
par 
f(t)=−x22−x2−74f(t)=-\dfrac{x^2}{2}-\dfrac x2-\dfrac74f(t)=−2x2​−2x​−47​
. Justifier que
fff
est solution, sur
R\mathbb RR
, de l'équation différentielle
(E):y′=2y+x2+3(E): y'=2y+x^2+3(E):y′=2y+x2+3
.
Exercice 3
Soit 
fff
la fonction définie sur 
R\mathbb RR
par 
f(t)=(5−t)e−2tf(t)=(5-t)\text e^{-2t}f(t)=(5−t)e−2t
. Justifier que
fff
est solution, sur
R\mathbb RR
, de l'équation différentielle
(E):y′′+y′−2y=3e−2t(E): y''+y'-2y=3\text e^{-2t}(E):y′′+y′−2y=3e−2t
.
Exercice 4
Soit 
fff
la fonction définie sur 
]0 ;+∞[]0~;+\infty[]0 ;+∞[
par 
f(t)=2(ln⁡(t))3f(t)=2(\ln(t))^3f(t)=2(ln(t))3
. 
fff
 est-elle solution, sur 
]0 ;+∞[]0~;+\infty[]0 ;+∞[
, de l'équation différentielle 
(E):y′=3yxln⁡(x)(E): y'=\dfrac{3y}{x\ln(x)}(E):y′=xln(x)3y​
 ?

☛ Déterminer l'unique primitive définie par une condition initiale donnée

Énoncé
Soit
fff
la fonction définie sur
R\mathbb RR
par
f(x)=(2−x)exf(x)=(2-x)\text e^xf(x)=(2−x)ex
. On admet que
fff
est dérivable sur
R\mathbb RR
.
1.Démontrer que la fonction
FFF
définie sur
R\mathbb RR
par
F(x)=(3−x)exF(x)=(3-x)\text e^xF(x)=(3−x)ex
est une primitive de
fff
sur
R\mathbb RR
.
2.En déduire l'ensemble des primitives de
fff
sur
R\mathbb RR
.
3.Déterminer l'unique primitive 
GGG
de
fff
dont la courbe représentative passe par le point
A(0 ; 2)\text A(0~;~2)A(0 ; 2)
.
Solution
1. `F`est dérivable sur
\mathbb{R}
et pour tout réel \(x\), on a
F′(x)=−1ex+(3−x)ex=ex(−1+3−x)=ex(2−x)=f(x)F'(x)=-1\text e^x+(3-x)\text e^x=\text e^x(-1+3-x)=\text e^x(2-x)=f(x)F′(x)=−1ex+(3−x)ex=ex(−1+3−x)=ex(2−x)=f(x)
.
Donc 
FFF
est une primitive de
fff
sur
R\mathbb RR
.
2. Les primitives de
fff
sur
R\mathbb RR
sontles fonctions de la forme
x↦(3−x)ex+Cx \mapsto (3-x)\text e^x+Cx↦(3−x)ex+C
avec
C∈RC\in\mathbb RC∈R
.
3.
G(0)=2⇔3+C=2⇔C=−1G(0)=2\Leftrightarrow 3+C=2\Leftrightarrow C=-1G(0)=2⇔3+C=2⇔C=−1
. 
D'où la primitive cherchée estdéfinie par
G(x)=(3−x)ex−1G(x)=(3-x)\text e^x-1G(x)=(3−x)ex−1
.

Équations différentielles y' = ay

Exercice 1
Écrire les équations différentielles suivantes sous la forme
y′=ayy'=ayy′=ay
, en précisant la valeur du réel
aaa
.
1.
y′+4y=0y'+4y=0y′+4y=0
2.
y=3y′y=3y'y=3y′
3.
4y′−5y=04y'-5y=04y′−5y=0
4.
−y′+2y=0-y'+\sqrt 2y=0−y′+2​y=0
Exercice 2
Résoudre sur
R\mathbb{R}R
 les équations différentielles suivantes.
1.
y′=8yy'=8yy′=8y
2.
3y′−4y=03y'-4y=03y′−4y=0
3.
y′−y=0y'-y=0y′−y=0
4.
y′+πy=0y'+\pi y=0y′+πy=0
Exercice 3
Résoudre sur
R\mathbb{R}R
 les équations différentielles suivantes. Préciser la solution
fff
 qui vérifie la condition initiale donnée. 
1.
y′+y=0y'+y=0y′+y=0
 avec
f(0)=3f(0)=3f(0)=3
.
2.
2y′−y=02y'-y=02y′−y=0
 avec 
f(1)=5f(1)=5f(1)=5
.
3.
3y−2y′=03y-2y'=03y−2y′=0
 avec
f(−2)=−1f(-2)=-1f(−2)=−1
.
4.
πy′+2y=0\pi y' +\sqrt 2 y=0πy′+2​y=0
 avec 
f(π)=e−2f(\pi)=\text e^{-\sqrt 2}f(π)=e−2​
.

Équations différentielles y' = ay + b

Exercice 1
Indiquer si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses, en justifiant.
1.Soit l'équation différentielle
y′=2y+3y'=2y+3y′=2y+3
. La fonction constante 
x↦32x\mapsto \dfrac32x↦23​
  est solution sur
R\mathbb{R}R
de cette équation différentielle.
2.Soit l'équation différentielle
2y′+3y=52y'+3y=52y′+3y=5
. La fonction 
x↦2e−32x+53x\mapsto 2\text e^{-\frac32x}+\dfrac53x↦2e−23​x+35​
est solution sur
R\mathbb{R}R
de cette équation différentielle.
3.L'équation différentielle
y′−2y=4y'-2y=4y′−2y=4
 a pour solutions, sur
R\mathbb{R}R
, les fonctions de la forme
x↦ke2x+2x\mapsto k\text e^{2x}+2x↦ke2x+2
, où
k∈Rk\in \mathbb Rk∈R
.
Exercice 2
Résoudre sur
R\mathbb{R}R
les équations différentielles suivantes. 
1.
y′+2y=−3y'+2y=-3y′+2y=−3
2.
4y′−5y=64y'-5y=64y′−5y=6
3.
5y+πy′=85y+\pi y'=85y+πy′=8
4.
2y′+y=π\sqrt 2 y'+y=\pi2​y′+y=π
Exercice 3
Résoudre sur
R\mathbb{R}R
les équations différentielles suivantes et préciser la solution
fff
qui vérifie
f(1)=4f(1)=4f(1)=4
.  
1.
y′=−2y+3y'=-2y+3y′=−2y+3
2.
y′+0, ⁣02y=0, ⁣04y'+0,\!02y=0,\!04y′+0,02y=0,04
3.
y′−4y=5y'-4y=5y′−4y=5
4.
1350y′+y=3\dfrac{1}{350}y'+y=33501​y′+y=3