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Déterminer une primitive sur 

Sommaire

Calculs de primitives* Déterminer des primitives (1)* Déterminer des primitives (2)** Déterminer des primitives (3)** Déterminer des primitives (4)*** Déterminer des primitives (5)
Équations différentielles* Taux de chlore dans une piscine* Refroidissement d'un plat** Fibre optique, puissance d'un signal** Congélation d'aliments** En lien avec la SVT : taux d'alcool - Grand Oral*** Équation différentielle y' = ay + f (1)
*** Équation différentielle y' = ay + f (2)

Calculs de primitives

* Déterminer des primitives (1)

Déterminer une primitive sur 
R\mathbb RR
de chacune des fonctions suivantes définies sur 
R\mathbb RR
.
1. 
f(x)=2x3−3x+4f(x)=2x^3-3x+4f(x)=2x3−3x+4
2.
f(x)=x6−2xf(x)=x^6-2xf(x)=x6−2x
3.
f(x)=5+2ex+3x2f(x)=5+2\text e^x+3x^2f(x)=5+2ex+3x2
4.
f(x)=x34+23f(x)=\dfrac{x^3}{4}+\dfrac{2}{3}f(x)=4x3​+32​

* Déterminer des primitives (2)

Déterminer une primitive sur
]0 ;+∞[]0~;+\infty[]0 ;+∞[
de chacune des fonctions suivantes définies sur
]0 ;+∞[]0~;+\infty[]0 ;+∞[
.
1.
f(x)=2x−1+1xf(x)=2x-1+\dfrac1xf(x)=2x−1+x1​
2.
f(x)=x3+3x3f(x)=x^3+\dfrac{3}{x^3}f(x)=x3+x33​
3.
f(x)=2x+12xf(x)=2x+\dfrac{1}{2x}f(x)=2x+2x1​
4.
f(x)=2x+3x−4x2f(x)=\dfrac{2}{\sqrt x} + \dfrac{3}{x} - \dfrac{4}{x^2}f(x)=x​2​+x3​−x24​
5.
f(x)=x2+2x+1−1x3+2x2f(x)=x^2+2x+1-\dfrac{1}{x^3}+\dfrac{2}{x^2}f(x)=x2+2x+1−x31​+x22​

** Déterminer des primitives (3)

Déterminer une primitivesur
III
de chacune des fonctions suivantes définies sur
III
.
1.
f(x)=x−3x2f(x)=\dfrac{x-3}{x^2}f(x)=x2x−3​
 sur
I=]0 ;+∞[I=]0~;+\infty[I=]0 ;+∞[
.
2.
f(x)=x2+4x−7x2f(x)=\dfrac{x^2+4x-7}{x^2}f(x)=x2x2+4x−7​
 sur 
I=]0 ;+∞[I=]0~;+\infty[I=]0 ;+∞[
.
3. 
f(x)=2−xxxf(x)=\dfrac{2-x\sqrt x}{x}f(x)=x2−xx​​
 sur 
I=]0 ;+∞[I=]0~;+\infty[I=]0 ;+∞[
.
4.
f(x)=x3−2x+1xf(x)=\dfrac{x^3-2x+1}{x}f(x)=xx3−2x+1​
 sur 
I=]0 ;+∞[I=]0~;+\infty[I=]0 ;+∞[
.
5.
f(x)=(x−3)(x+4)f(x)=(x-3)(x+4)f(x)=(x−3)(x+4)
 sur 
I=RI=\mathbb RI=R
.
6.
f(x)=1e−xf(x)=\dfrac{1}{\text e^{-x}}f(x)=e−x1​
 sur 
I=RI=\mathbb RI=R
.

** Déterminer des primitives (4)

Déterminer une primitive sur 
R\mathbb RR
de chacune des fonctions suivantes définies sur 
R\mathbb RR
.
1.
f(x)=x2(x3+4)5f(x)=x^2(x^3+4)^5f(x)=x2(x3+4)5
2.
f(x)=(4x−3)3f(x)=(4x-3)^3f(x)=(4x−3)3
3.
f(x)=xx2+2f(x)=\dfrac{x}{x^2+2}f(x)=x2+2x​
4.
f(x)=e3−xf(x)=\text e^{3-x}f(x)=e3−x
5.
f(x)=3exex+1f(x)=\dfrac{3\text e^x}{\text e^x+1}f(x)=ex+13ex​
6.
f(x)=e−xf(x)=\text e^{-x}f(x)=e−x

*** Déterminer des primitives (5)

Déterminer une primitivesur
III
de chacune des fonctions suivantes définies sur
III
.
1.
f(x)=3x(ln⁡(x)+1)3f(x)=\dfrac{3}{x}(\ln(x)+1)^3f(x)=x3​(ln(x)+1)3
, sur
I=]0 ;+∞[I=]0~;+\infty[I=]0 ;+∞[
.
2.
f(x)=34x+2−3(4x+2)2f(x)=\dfrac{3}{4x+2} -\dfrac{3}{(4x+2)^2}f(x)=4x+23​−(4x+2)23​
, sur
I=]−12 ;+∞[I=\left]-\dfrac12~;+\infty\right[I=]−21​ ;+∞[
.
3.
f(x)=ln⁡xxf(x)= \dfrac{\ln x}{x}f(x)=xlnx​
, sur
I=]0 ;+∞[I=]0~;+\infty[I=]0 ;+∞[
.
4.
f(x)=3x(ln⁡(x)+1)f(x)= \dfrac{3}{x(\ln(x)+1)}f(x)=x(ln(x)+1)3​
, sur
I=]e−1 ;+∞[I=\left]\text e^{-1}~;+\infty\right[I=]e−1 ;+∞[
.

Équations différentielles

* Taux de chlore dans une piscine

Le bassin d'une piscine municipale a une capacité de
600 000600\ 000600 000
litres d'eau. Afin de respecter les normes d'hygiène et de sécurité,
30 00030\ 00030 000
litres d'eau de la piscine sont renouvelés chaque heure. Le taux de chlore maximum autorisé est de
0, ⁣250,\!250,25
mg/L.
Un soir à
202020
 h, à la fermeture de la piscine, alors que le taux de chlore est négligeable,
111
kg de chlore est déversé par erreur dans le bassin.
Le directeur de la piscine souhaiterait savoir quand il pourra ouvrir à nouveau la piscine au public.
On modélise la concentration massique du chlore présent dans la piscine par une fonction
fff
. Lorsque 
ttt
désigne le temps,exprimé en heures, écoulé depuisla fermeture de la piscine, 
f(t)f(t)f(t)
 représente la concentration massique du chlore présent dans la piscine en milligrammes par litre.
On admet que la fonction
fff
 est solutionsur  
[0 ;+∞[[0~;+ \infty[[0 ;+∞[
de l'équation différentielle
(E)(E)(E)
:
y′+0, ⁣05y=0y'+0,\!05y=0y′+0,05y=0
 où 
yyy
désigne une fonction de la variable
ttt
.
1. a.Résoudre l'équation différentielle
(E)(E)(E)
.b.Que vaut
f(0)f(0)f(0)
 ? En déduire une expression de
f(t)f(t)f(t)
 sur
[0 ;+∞[[0~;+ \infty[[0 ;+∞[
.
2.On admet que 
fff
est définie sur
[0 ;+∞[[0~;+ \infty[[0 ;+∞[
par
f(t)=53×e−0,05tf(t) = \dfrac{5}{3} \times \text{e}^{- 0,05t}f(t)=35​×e−0,05t
. À quel moment la piscine pourra-t-elle ouvrir de nouveau au public ?

* Refroidissement d'un plat

La grand-mère de Théo sort un gratin du four, le plat étant alors à
100100100
°C. Elle conseille à son petit-fils de ne pas le toucher, afin de ne pas se brûler, et de laisser le plat se refroidir dans la cuisine dont la température ambiante est supposée constante à
202020
°C.
Théo luirépondque, quand il sera à
373737
°C, il pourra le toucher sans risque. Sa grand-mère lui  précise qu'il lui faudra attendre
303030
minutes pour cela.
La température du plat est donnée par une fonction
ggg
du temps
ttt
, exprimé en minutes, qui est solution de l'équation différentielle 
(E)(E)(E)
y′+0,04y=0,8y' + 0{,}04y = 0{,}8y′+0,04y=0,8
. 
1.Résoudresur \([0~;+\infty[\) l'équation différentielle
(E)(E)(E)
et donner sa solution particulière
ggg
telle que  
g(0)=100g(0) = 100g(0)=100
.
2.En utilisant l'expression de
g(t)g(t)g(t)
trouvée, répondre aux questions suivantes.
    a.La grand-mère de Théo a-t-elle bien évalué le temps nécessaire pour atteindre
373737
°C ?b.Quelle est la valeur exacte du temps nécessaire pour obtenir cette température ? En donner une valeur arrondie à la seconde près.

** Fibre optique, puissance d'un signal

Dans cet exercice, les résultats seront arrondis à\(10^{-2}\)près.
Une fibre optique est un fil très fin, en verre ou en plastique, qui a la propriété d'être un conducteur de la lumière et qui sert dans la transmission d'un signal véhiculant des données.
La puissance du signal, exprimée en milliwatts (mW), s'atténue au cours de la propagation.
On note
PEP_EPE​
et
PSP_SPS​
les puissances respectives du signal à l'entrée et à la sortie d'une fibre. 
Pour une fibre de longueur
LLL
exprimée en kilomètres (km), la relation liant
PEP_EPE​
, 
PSP_SPS​
et
LLL
est donnée par 
PS=PE×e−aLP_S = P_E \times \text{e}^{- aL}PS​=PE​×e−aL
, où
aaa
est le coefficient d'atténuation linéaire dépendant de la fibre.
Une entreprise utilise deux types de fibre optique de coefficients d'atténuation différents.
Dans tout l'exercice :
    • la puissance du signal à l'entrée de la fibre est
777
mW ;
    • à la sortie, un signal est détectable si sa puissance est d'au moins
0, ⁣080,\!080,08
mW ;
    • pour rester détectable, un signal doit être amplifié dès que sa puissance devient strictement inférieure à
0, ⁣080,\!080,08
mW.
Partie A
Le premier type de fibre de longueur
100100100
km utilisé par l'entreprise a un coefficient d'atténuation linéaire
a=0,046a = 0{,}046a=0,046
.
Pour ce type de fibre, sera-t-il nécessaire de placer au moins un amplificateur sur la ligne pour que le signal soit détectable en sortie ?
Partie B
La puissance du signal le long du second type de fibre est modélisée par une fonction
ggg
de la variable
xxx
, où 
xxx
est la distance en kilomètres parcourue par le signal depuis l'entrée de la fibre. On admet que cette fonction
ggg
est définie et dérivable sur l'intervalle 
[0 ;+∞[[0~;+\infty[[0 ;+∞[
et qu'elle est solution sur cet intervalle de l'équation différentielle
y′+0, ⁣035y=0y' + 0,\!035 y = 0y′+0,035y=0
.
1.Résoudre l'équation différentielle
y′+0, ⁣035y=0y' + 0,\!035 y = 0y′+0,035y=0
.
2. a. Sachant que
g(0)=7g(0) = 7g(0)=7
, vérifier que la fonction 
ggg
est définie sur l'intervalle
[0 ;+∞[[0~;+\infty[[0 ;+∞[
par
g(x)=7e−0,035xg(x) = 7\text{e}^{-0,035x}g(x)=7e−0,035x
.b.En déduire le coefficient d'atténuation de cette fibre.
3. a. Étudier le sens de variation de la fonction
ggg
.b.Déterminer la limite de la fonction
ggg
en
+∞+ \infty+∞
.
4. a.Le signal sera-t-il encore détecté au bout de
100100100
km de propagation ?b.Déterminer la longueur maximale de la fibre permettant une détection du signal à la sortie sans amplification.

** Congélation d'aliments

Dans cet exercice, la température est exprimée en degrés Celsius (°C) et le temps
ttt
est exprimé en heures.
Une entreprise congèle des aliments dans un tunnel de congélation avant de les conditionner en sachets. À l'instant
t=0t = 0t=0
, les aliments, à une température de
555
°C, sont placés dans le tunnel. Pour pouvoir respecter la chaîne du froid, le cahier des charges impose que les aliments aient une température inférieure ou égale à
−24-24−24
°C.
Partie A
La température des aliments dans le tunnel de congélation est modélisée en fonction du temps
ttt
par la fonction
fff
définie sur l'intervalle
[0 ;+∞[[0~;+\infty[[0 ;+∞[
par
f(t)=35e−1,6t−30f (t) = 35\mathrm{e}^{-1,6t}-30f(t)=35e−1,6t−30
.
1.Déterminer la température atteinte par les aliments au bout de
303030
minutes.
2.Étudier le sens de variation de la fonction
fff
.
3.Si les aliments sont laissés une heure et demie dans le tunnel de congélation, la température de ces aliments sera-t-elle conforme au cahier des charges ?
4.Résoudre par le calcul l'équation
f(t)=−24f(t)=-24f(t)=−24
et interpréter le résultat trouvé.
Partie B
Pour moderniser son matériel, l'entreprise a investi dans un nouveau tunnel de congélation.
La température des aliments dans ce nouveau tunnel est modélisée, en fonction du temps, par une fonction
ggg
définie et dérivable sur l'intervalle
[0 ;+∞[[0~;+\infty[[0 ;+∞[
, qui est solution de l'équation différentielle
y′+1, ⁣5y=−52, ⁣5y'+1,\!5y=-52,\!5y′+1,5y=−52,5
.
1.Résoudre l'équation différentielle
y′+1, ⁣5y=−52, ⁣5y'+1,\!5y=-52,\!5y′+1,5y=−52,5
.
2. a.Justifier que
g(0)=5g(0) = 5g(0)=5
.b.Vérifier que la fonction
ggg
est définie par
g(t)=40e−1,5t−35g(t) = 40\mathrm{e}^{-1,5t}-35g(t)=40e−1,5t−35
.
3.Ce nouveau tunnel permet-il une congélation plus rapide ?

** En lien avec la SVT : taux d'alcool - Grand Oral

Lorsque l'on consomme de l'alcool, le taux d'alcool dans le sang varie en fonction du temps écoulé depuis l'absorption. Ce taux est appeléalcoolémie et est mesuré en grammes par litre (g/L).
Une personne donnée absorbede l'alcool à\(12\)h. Son alcoolémie, en fonction du temps exprimé en heures, est modélisée par une fonction
fff
 de la variable
ttt
, solution de l'équation différentielle
(E):y′+y=2, ⁣5e−t(E) : y' + y = 2,\!5\text e^{- t}(E):y′+y=2,5e−t
.À l'instant\(t=0\), le taux d'alcool de la personne est nul.
1.Vérifier que la fonction définie sur
[0 ;+∞[[0~;+\infty[[0 ;+∞[
par 
f(t)=2, ⁣5te−tf(t) = 2,\!5t\text e^{- t}f(t)=2,5te−t
 est solution du problème.
2. a.Déterminer la limite de
fff
en
+∞+\infty+∞
.b.Étudier les variations de
fff
sur
[0 ;+∞[[0~;+\infty[[0 ;+∞[
 et dresser le tableau de variations de
fff
 sur 
[0 ;+∞[[0~;+\infty[[0 ;+∞[
.
3.a.Quelle est l'alcoolémie la plus élevée pour la personne considérée ?b. En France, la législation autorise pour un conducteur une alcoolémie maximale de
0,50{,}50,5
g/L.
La personne finit son déjeuner à
131313
h. Pourra-t-elle conduire à ce moment-là ?
4. a.Justifier que l'équation
f(t)=0,5f(t)=0{,}5f(t)=0,5
admet une unique solution sur 
[1 ;+∞[[1~;+\infty[[1 ;+∞[
.b.À partir de quelle heure, à la minute près, la personne pourra-t-elle reprendre le volant ?

*** Équation différentielle y' = ay + f (1)

On considère la fonction
fff
définie sur
R\mathbb RR
par 
f(x)=3x−1+1e2xf(x) = 3x - 1 + \dfrac{1}{\text{e}^{2x}}f(x)=3x−1+e2x1​
.
1. a.Montrer que la fonction dérivée
f′f'f′
est telle que
f′(x)=3e2x−2e2xf'(x) = \dfrac{3\text{e}^{2x} - 2}{\text{e}^{2x}}f′(x)=e2x3e2x−2​
pour tout réel
xxx
.b. Résoudre sur \(\mathbb R\)l'équation
f′(x)=0f'(x) = 0f′(x)=0
. Justifier l'existence d'unminimum de \(f\)sur
R\mathbb RR
 et en donner la valeur exacte.c.Dresser le tableau de variations de
fff
(les limites en
−∞- \infty−∞
et
+∞+ \infty+∞
 sont demandées sans justification).
2.On considère l'équation différentielle
(E)(E)(E)
:
y′+2y=6x+1y' + 2y = 6x + 1y′+2y=6x+1
où
yyy
est une fonction de la variable réelle
xxx
et
y′y'y′
sa dérivée.a.Résoudresur \(\mathbb R\)l'équation différentielle
y′+2y=0y' + 2y = 0y′+2y=0
.b.Démontrer que la fonction
ggg
définie sur 
R\mathbb RR
par
g(x)=3x−1g(x) = 3x - 1g(x)=3x−1
est solutionsur \(\mathbb R\)de l'équation
(E)(E)(E)
.   c.Vérifier que la fonction
fff
est solutionsur \(\mathbb R\)de
(E)(E)(E)
et que
f(0)=0f(0) = 0f(0)=0
.

*** Équation différentielle y' = ay + f (2)

Partie A - Résolution d'une équation différentielle
On considère l'équation différentielle
(E)(E)(E)
: 
y′+5y=5x3+3x2+5y'+ 5y = 5x^3 +3x^2 +5y′+5y=5x3+3x2+5
, où
yyy
représente une fonction de la variable
xxx
, définie et dérivable sur
R\mathbb RR
.
1. Résoudre sur \(\mathbb R\)l'équation différentielle
(E0)(E_{0})(E0​)
 :
y′+5y=0y'+ 5y = 0y′+5y=0
.
2. Déterminer deux réels
aaa
et
bbb
tels que la fonction
uuu
, définie sur
R\mathbb RR
par
u(x)=ax3+bu(x) = ax^3 + bu(x)=ax3+b
, est solution de l'équation différentielle
(E)(E)(E)
.
3. Soit
hhh
la fonction définie sur
R\mathbb RR
par
h(x)=ke−5x+x3+1h(x) = k\text{e}^{-5x} + x^3 + 1h(x)=ke−5x+x3+1
, où
kkk
est un nombre réel.a.Vérifier que 
hhh
est solution sur \(\mathbb R\)de l'équation
(E)(E)(E)
.b.Déterminer le réel 
kkk
tel
h(0)=−2h(0) = - 2h(0)=−2
.
Partie B - Étude de la fonction\(f\)
Soit
fff
la fonction définie sur
R\mathbb RR
par
f(x)=−3e−5x+x3+1f(x) = - 3\text{e}^{-5x} + x^3 + 1f(x)=−3e−5x+x3+1
.
1. a.Déterminer la limite de
f(x)f(x)f(x)
lorsque
xxx
tend vers
−∞- \infty−∞
.b.Déterminer la limite de
f(x)f(x)f(x)
lorsque
xxx
tend vers
+∞+ \infty+∞
.
2. a. On désigne par
f′f'f′
la fonction dérivée de la fonction
fff
. Calculer
f′(x)f'(x)f′(x)
pour tout réel
xxx
.b.En déduire le sens de variation de la fonction 
fff
sur
R\mathbb RR
et dresser son tableau de variations.
3. a. Calculer
f(0)f(0)f(0)
et
f(1)f(1)f(1)
.b. Établir que l'équation
f(x)=0f(x) = 0f(x)=0
admet une solution unique
α\alphaα
dans l'intervalle
[0 ; 1][0~;~1][0 ; 1]
.c.Donner un encadrement d'amplitude
10−210^{- 2}10−2
du nombre réel
α\alphaα
.d.Déterminer, selon les valeurs du réel
xxx
, le signe de
f(x)f(x)f(x)
.