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Les perles du BAC

Dans une boulangerie, les baguettes sortent du four à une température de

Sommaire

Sujet 0, 2021Asie, juin 2021Centres étrangers, juin 2021Polynésie, juin 2021Métropole, juin 2021Sujet 0, 2024

Sujet 0, 2021

Dans une boulangerie, les baguettes sortent du four à une température de
225
°C.
On s'intéresse à l'évolution de la température d'une baguette après sa sortie du four.
On admet qu'on peut modéliser cette évolution à l'aide d'une fonction
fff
définie et dérivable sur l'intervalle
[0;+∞[[0;+\infty[[0;+∞[
.
Dans cette modélisation,
f(t)f(t)f(t)
représente la température en degrés Celsius de la baguette au bout de la durée
ttt
, exprimée en heures, après la sortie du four.
Ainsi,
f(0, ⁣5)f(0,\!5)f(0,5)
représente la température d'une baguette une demi-heure après la sortie du four.
Dans tout l'exercice, la température ambiante de la boulangerie est maintenue à
252525
°C.
On admet alors que la fonction 
fff
est solution de l'équation différentielle
y′+6y=150y'+ 6y = 150y′+6y=150
.
1. a.Préciser la valeur de
f(0)f(0)f(0)
.b.Résoudre l'équation différentielle
y′+6y=150y'+6y = 150y′+6y=150
.c.En déduire que, pour tout réel
t⩾0t\geqslant 0t⩾0
, on a
f(t)=200e−6t+25f(t) = 200 \text e^{-6t}+25f(t)=200e−6t+25
.
2.Par expérience, on observe que la température d'une baguette sortant du four :
  • décroît ;
  • tend à se stabiliser à la température ambiante.
La fonction
fff
fournit-elle un modèle en accord avec ces observations ?
3.Montrer que l'équation
f(t)=40f(t) = 40f(t)=40
admet une unique solution dans
[0 ;+∞[[0~;+\infty[[0 ;+∞[
.
Pour mettre les baguettes en rayon, le boulanger attend que leur température soit inférieure ou égale à
404040
°C. On note
T0\mathcal{T}_0T0​
le temps d'attente minimal entre la sortie du four d'une baguette et sa mise en rayon.
On donne ci-dessous la représentation graphique de la fonction
fff
dans un repère orthogonal.
4. Avec la précision permise par le graphique, lire
T0\mathcal{T}_0T0​
. On donnera une valeur approchée de
T0\mathcal{T}_0T0​
sous forme d'un nombre entier de minutes.
5.On s'intéresse ici à la diminution, minute après minute, de la température d'une baguette à sa sortie du four.
Ainsi, pour un entier naturel
nnn
,
Dn\mathcal{D}_nDn​
désigne la diminution de température en degré Celsius d'une baguette entre la
nnn
-ième et la
n+1n+1n+1
-ième minute après sa sortie du four.
On admet que, pour tout entier naturel
nnn
, 
Dn=f(n60)−f(n+160)\mathcal{D}_n=f\left(\dfrac{n}{60}\right)-f\left(\dfrac{n+1}{60}\right)Dn​=f(60n​)−f(60n+1​)
.a.Vérifier que
191919
est une valeur approchée de
D0\mathcal{D}_0D0​
à 0,1 près, et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.b.Vérifier que l'on a, pour tout entier naturel
nnn
, 
Dn=200e−0,1n(1−e−0,1)\mathcal{D}_n=200 \text e^{-0,1n}(1 - \text e^{-0,1})Dn​=200e−0,1n(1−e−0,1)
. En déduire le sens de variation de la suite
(Dn)\left(\mathcal{D}_n\right)(Dn​)
, puis la limite de la suite
(Dn)\left(\mathcal{D}_n\right)(Dn​)
. Ce résultat était-il prévisible dans le contexte de l'exercice ?

Asie, juin 2021

Partie I
Considérons l'équation différentielle
y′=−0, ⁣4y+0, ⁣4y'= -0,\!4y + 0,\!4y′=−0,4y+0,4
, où
yyy
désigne une fonction de la variable
ttt
, définie et dérivable sur
[0 ;+∞[[0~; + \infty[[0 ;+∞[
.
1. a.Déterminer une solution particulière constante de cette équation différentielle.   b.En déduire l'ensemble des solutions de cette équation différentielle.c.Déterminer la fonction
ggg
, solution de cette équation différentielle, qui vérifie
g(0)=10g(0) = 10g(0)=10
.
Partie II
Soit
ppp
la fonction définiesur l'intervalle \([0~; + \infty[\)par
p(t)=1g(t)=11+9e−0,4tp(t) = \dfrac{1}{g(t)} = \dfrac{1}{1 + 9\text e^{-0,4t}}p(t)=g(t)1​=1+9e−0,4t1​
. On admet que
ppp
est dérivable sur\([0~; + \infty[\).
1.Déterminer la limite de
ppp
en
+∞+ \infty+∞
.
2.Montrer que
p′(t)=3, ⁣6e−0,4t(1+9e−0,4t)2p'(t) = \dfrac{3,\!6\text e^{-0,4t}}{ \left(1 + 9\text e^{-0,4t}\right)^2}p′(t)=(1+9e−0,4t)23,6e−0,4t​
pour tout
t∈[0 ;+∞[t \in [0~;+ \infty[t∈[0 ;+∞[
.
3. a. Montrer que l'équation
p(t)=12p(t) = \dfrac{1}{2}p(t)=21​
admet une unique solution
α\alphaα
sur
[0 ;+∞[[0~; + \infty[[0 ;+∞[
.b.Déterminer une valeur approchée de
α\alphaα
à
10−110^{-1}10−1
près à l'aide d'une calculatrice.
Partie III
1.
ppp
désigne la fonction de la Partie II. Vérifier que
ppp
est solution de l'équation différentielle
y′=0, ⁣4y(1−y)y' = 0,\!4y(1 - y)y′=0,4y(1−y)
avec la condition initiale 
y(0)=110y(0) = \dfrac{1}{10}y(0)=101​
où
yyy
désigne une fonction définie et dérivable sur
[0 ;+∞[[0~; + \infty[[0 ;+∞[
.
2.Dans un pays en voie de développement, en l'année 
202020202020
,
101010
% des écoles ont accès à Internet.
Une politique volontariste d'équipement est mise en œuvre et on s'intéresse à l'évolution de la proportion des écoles ayant accès à Internet.
On note
ttt
le temps écoulé, exprimé en année, depuis l'année
202020202020
.
La proportion des écoles ayant accès à Internet à l'instant
ttt
est modélisée par\(p(t)\).
Interpréter dans ce contexte la limite de la questionII.1.puis la valeur approchée de
α\alphaα
de la questionII.3.b. ainsi que la valeur
p(0)p(0)p(0)
.

Centres étrangers, juin 2021

Partie A - Détermination d'une fonction\(f\)et résolution d'une équation différentielle
On considère la fonction
fff
définie sur
R\mathbb RR
par 
f(x)=ex+ax+be−xf(x) = \text e^x+ ax + b\text e^{-x}f(x)=ex+ax+be−x
, où
aaa
et
bbb
sont des nombres réels que l'on propose de déterminer dans cette partie.
Dans le plan muni d'un repère d'origine
O\text OO
, on areprésentéci-dessous la courbe
C\mathscr{C}C
, représentant la fonction
fff
, et la tangente
(T)(T)(T)
à la courbe
C\mathscr{C}C
au point d'abscisse
000
.
1.Par lecture graphique, donner les valeurs de
f(0)f(0)f(0)
et de
f′(0)f'(0)f′(0)
.
2.En utilisant l'expression de la fonction
fff
, exprimer
f(0)f(0)f(0)
en fonction de
bbb
et en déduire la valeur de
bbb
.
3.On admet que la fonction
fff
est dérivable sur
R\mathbb RR
et on note
f′f'f′
sa fonction dérivée.a.Donner, pour tout réel
xxx
, l'expression de
f′(x)f'(x)f′(x)
.b.Exprimer
f′(0)f'(0)f′(0)
en fonction de
aaa
.c.En utilisant les questions précédentes, déterminer
aaa
, puis en déduire l'expression de
f(x)f(x)f(x)
.
4.On considère l'équation différentielle 
(E)(E)(E)
 :
y′+y=2ex−x−1y' +y =2\text e^x - x - 1y′+y=2ex−x−1
.a.Vérifier que la fonction
ggg
définie sur
R\mathbb RR
par 
g(x)=ex−x+2e−xg(x) = \text e^x - x + 2\text e^{-x}g(x)=ex−x+2e−x
 est solution de l'équation
(E)(E)(E)
.b.Résoudre l'équation différentielle
y′+y=0y' + y = 0y′+y=0
.c.En déduire toutes les solutions de l'équation
(E)(E)(E)
.
Partie B-Étude de la fonction g sur\([1~;+\infty[\)
1.Vérifier que, pour tout réel
xxx
, on a 
e2x−ex−2=(ex−2)(ex+1)\text e^{2x} - \text e^x - 2 = \left(\text e^x - 2\right)\left(\text e^x + 1\right)e2x−ex−2=(ex−2)(ex+1)
.
2.En déduire une expression factorisée de
g′(x)g'(x)g′(x)
, pour tout réel
xxx
.
3.On admettra que, pour tout
x∈[1 ;+∞[x \in [1~; +\infty[x∈[1 ;+∞[
,
ex−2>0\text e^x - 2 > 0ex−2>0
. Étudier le sens de variation de la fonction
ggg
sur \([1~;+\infty[\).

Polynésie, juin 2021

Cet exercice est composé de trois parties indépendantes.
On a représenté ci-dessous, dans un repère orthonormé, une portion de la courbe représentative
C\mathscr{C}C
d'une fonction
fff
définie sur
R\mathbb RR
.
On considère les points
A(0 ; 2)\text A(0~;~ 2)A(0 ; 2)
et
B(2 ; 0)\text B(2~;~ 0)B(2 ; 0)
.
Partie 1
Sachant que la courbe
C\mathscr{C}C
passe par
A\text AA
et que la droite
(AB)(\mathrm{AB})(AB)
est la tangente à la courbe
C\mathscr{C}C
au point
A\text AA
, donner par lecture graphique les éléments suivants.
1.La valeur de
f(0)f(0)f(0)
et celle de
f′(0)f'(0)f′(0)
.
2.Un intervalle sur lequel la fonction
fff
semble convexe.
Partie 2
On note
(E)(E)(E)
l'équation différentielle
y′=−y+e−xy' = -y + \text{e}^{-x}y′=−y+e−x
.
On admet que
g: x↦xe−xg :\, x \mapsto x\text{e}^{-x}g:x↦xe−x
est une solution particulière de
(E)(E)(E)
.
1.Donner toutes les solutions sur
R\mathbb RR
de l'équation différentielle
(H)(H)(H)
y′=−yy' = -yy′=−y
.
2.En déduire toutes les solutions sur
R\mathbb RR
de l'équation différentielle
(E)(E)(E)
.
3.Sachant que la fonction
fff
est la solution particulière de
(E)(E)(E)
qui vérifie
f(0)=2f(0) = 2f(0)=2
, déterminer une expression de
f(x)f(x)f(x)
en fonction de
xxx
.
Partie 3
On admet que, pour tout nombre réel
xxx
,
f(x)=(x+2)e−xf(x) = (x + 2)\text{e}^{-x}f(x)=(x+2)e−x
.
1.On rappelle que
f′f'f′
désigne la fonction dérivée de la fonction
fff
.a.Montrer que, pour tout
x∈Rx \in \mathbb Rx∈R
,
f′(x)=(−x−1)e−xf'(x) = (-x - 1) \text{e}^{-x}f′(x)=(−x−1)e−x
.b. Étudier le signe de
f′(x)f'(x)f′(x)
pour tout \(x \in \mathbb R\)et dresser le tableau des variations de
fff
sur
R\mathbb RR
. On ne précisera ni la limite de
fff
en
−∞- \infty−∞
ni la limite de
fff
en
+∞+ \infty+∞
. On calculera la valeur exacte de l'extremum de 
fff
sur
R\mathbb RR
.
2.On rappelle que
f′′f''f′′
désigne la fonction dérivée seconde de la fonction
fff
.a.Calculer, pour tout \(x \in \mathbb R\),
f′′(x)f''(x)f′′(x)
.b.Peut-on affirmer que
fff
est convexe sur l'intervalle
[0 ;+∞[[0\ ; +\infty[[0 ;+∞[
?

Métropole, juin 2021

On considère l'équation différentielle
(E)(E)(E)
y′=y+2xexy'= y+2x\text e^xy′=y+2xex
.
On cherche l'ensemble des fonctions définies et dérivables sur l'ensemble
R\mathbb RR
des nombres réels qui sont solutions de cette équation.
1.  Soit
uuu
la fonction définie sur 
R\mathbb RR
par
u(x)=x2exu(x) = x^2\text e^xu(x)=x2ex
. On admet que
uuu
est dérivable et on note
u′u'u′
sa fonction dérivée. Démontrer que
uuu
est une solution particulière de
(E)(E)(E)
.
2.Soit
fff
une fonction définie et dérivable sur
R\mathbb RR
. On note
ggg
la fonction définie sur
R\mathbb RR
par 
g(x)=f(x)−u(x)g(x) = f(x) - u(x)g(x)=f(x)−u(x)
.a.Démontrer que si la fonction
fff
est solution de l'équation différentielle
(E)(E)(E)
alors la fonction
ggg
est solution de l'équation différentielle 
y′=yy' = yy′=y
. On admet que la réciproque de cette propriété est également vraie.b. À l'aide de la résolution de l'équation différentielle
y′=yy' = yy′=y
, résoudre l'équation différentielle
(E)(E)(E)
.
3.Étude de la fonction
uuu
.a.Étudier le signe de
u′(x)u'(x)u′(x)
pour \(x\)variant dans
R\mathbb RR
.b.Dresser le tableau de variations de la fonction
uuu
sur
R\mathbb RR
(les limites ne sont pas demandées).c.Déterminer le plus grand intervalle sur lequel la fonction
uuu
est concave.

Sujet 0, 2024

L'exercice est constitué de deux parties indépendantes.
Partie I
On considère l'équation différentielle 
(E):y′+y=e−x(E) : y' + y = \text e^{-x}(E):y′+y=e−x
.
1. Soit
uuu
la fonction définie sur
R\mathbb RR
par
u(x)=xe−xu(x) = x \text e^{-x}u(x)=xe−x
. Vérifier que la fonction
uuu
est une solution de l'équation différentielle
(E)(E)(E)
.
2.On considère l'équation différentielle
(E′):y′+y=0\left(E'\right): y' + y = 0(E′):y′+y=0
. Résoudre l'équation différentielle
(E′)\left(E'\right)(E′)
sur
R\mathbb RR
.
3.En déduire toutes les solutions de l'équation différentielle 
(E)(E)(E)
sur
R\mathbb RR
.
4.Déterminer l'unique solution
ggg
de l'équation différentielle
(E)(E)(E)
telle que
g(0)=2g(0) = 2g(0)=2
.
Partie II
Dans cette partie,
kkk
est un nombre réel fixé que l'on cherche à déterminer.
On considère la fonction
fkf_{k}fk​
définie sur
R\mathbb RR
par :
fk(x)=(x+k)e−xf_{k}(x) = (x + k) \text e^{-x}fk​(x)=(x+k)e−x
.
Soit
hhh
la fonction définie sur
R\mathbb RR
par
h(x)=e−xh(x) = \text e^{-x}h(x)=e−x
.
On note 
CkC_{k}Ck​
la courbe représentative de la fonction
fkf_{k}fk​
dans un repère orthogonal et
CCC
la courbe représentative de la fonction
hhh
.
On a représenté sur le graphique en annexe les courbes
CkC_{k}Ck​
et
CCC
sans indiquer les unités sur les axes ni le nom des courbes.
1.Sur le graphique ci-dessous à rendre avec la copie, l'une des courbes est en rouge, l'autre est en bleu. Laquelle est la courbe
CCC
?
2.En expliquant la démarche utilisée, déterminer la valeur du nombre réel
kkk
et placer sur le graphique l'unité sur chacun des axes du graphique.