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Exercices vers le supérieur

Propriété Principe d'identification

Sommaire

☛ Exemple de calcul particulier de primitiveCalculs de primitives particulières☆ Équation différentielle avec changement de variable (Pondichéry, avril 2006)Méthode de la variation de la constante

☛ Exemple de calcul particulier de primitive

Propriété Principe d'identification
Deux fonctions affines sont égales entre elles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur et la même ordonnée à l'origine.
Autrement dit, soit
f(x)=ax+bf(x)=ax+bf(x)=ax+b
et
g(x)=cx+dg(x)=cx+dg(x)=cx+d
deux fonctions affines définies sur
R\mathbb RR
, où
aaa
,
bbb
,
ccc
et
ddd
sont des réels. Alors on a :
pour tout reˊel x, f(x)=g(x)⇔{a=cb=d\text{pour tout réel }x\text{, }f(x)=g(x) \Leftrightarrow \begin{cases} a=c \\ b=d \end{cases}pour tout reˊel x, f(x)=g(x)⇔{a=cb=d​
.
Énoncé
Soit 
fff
la fonction définie sur
R\mathbb RR
 par 
f(x)=(x−2)exf(x)=(x-2)\text e^xf(x)=(x−2)ex
.
On admet qu'une primitive
FFF
sur
R\mathbb RR
est de la forme 
F(x)=(ax+b)exF(x) = (ax+b)\text e^xF(x)=(ax+b)ex
, où
aaa
et
bbb
sont des réels.
Déterminer l'expression de
F(x)F(x)F(x)
.
Solution
On cherche une primitive
FFF
de
fff
sur
R\mathbb RR
 de la forme
F(x)=(ax+b)exF(x) = (ax+b)\text e^xF(x)=(ax+b)ex
, où
aaa
et
bbb
sont des réels.
On a, pour tout réel
xxx
,
F′(x)=aex+(ax+b)ex=(ax+a+b)exF'(x)=a\text e^x+(ax+b)\text e^x=(ax+a+b)\text e^xF′(x)=aex+(ax+b)ex=(ax+a+b)ex
.
Pour tout réel
xxx
,
F′(x)=f(x)F'(x)=f(x)F′(x)=f(x)
soit
(ax+a+b)ex=(x−2)ex(ax+a+b)\text e^{x} =(x-2) \text e^x(ax+a+b)ex=(x−2)ex
.
Or, pour tout réel\(x\), 
ex\text e^xex
est non nul. L'équation précédente équivaut à, pour tout
xxx
réel,
ax+a+b=x−2ax+a+b=x-2ax+a+b=x−2
.
D'après le principe d'identification, l'équation équivaut au système
{a=1a+b=−2\begin{cases} a=1 \\ a+b=-2 \\ \end{cases}{a=1a+b=−2​
.
Soit
a=1a=1a=1
et
b=−3b=-3b=−3
. Une primitive de \(f\)sur
R\mathbb RR
 est donc
FFF
définie pour tout réel \(x\) par 
F(x)=(x−3)exF(x)=(x-3)\text e^xF(x)=(x−3)ex
.

Calculs de primitives particulières

1.Soit
fff
la fonction définie sur
R\mathbb RR
par
f(x)=(2x+3)e−xf(x)=(2x+3)\text e^{-x}f(x)=(2x+3)e−x
.
    a. On note
FFF
une primitive de
fff
sur
R\mathbb RR
. On admet qu'il existe deux réels
aaa
et
bbb
tels que, pour tout réel 
xxx
,
F(x)=(ax+b)e−xF(x)=(ax+b)\text e^{-x}F(x)=(ax+b)e−x
. Exprimer 
F′(x)F'(x)F′(x)
pour tout réel \(x\) en fonction de
aaa
et
bbb
 et justifier que 
F′(x)=(−ax+a−b)e−xF'(x) = (-ax+a-b)\text e^{-x}F′(x)=(−ax+a−b)e−x
.
    b. En utilisant le principe d'identification, en déduire une primitive de
fff
sur
R\mathbb RR
.
2. Soit
fff
la fonction définiesur
R\mathbb RR
par
f(x)=(x2+3x+4)exf(x)=(x^2+3x+4)\text e^{x}f(x)=(x2+3x+4)ex
.
    a. On note
FFF
une primitive de
fff
sur
R\mathbb RR
. On admet qu'il existe trois réels
aaa
, 
bbb
et
ccc
tels que, pour tout réel 
xxx
,
F(x)=(ax2+bx+c)exF(x)=(ax^2+bx+c)\text e^{x}F(x)=(ax2+bx+c)ex
. Exprimer\(F'(x)\)pour tout réel 
xxx
 en fonction de 
aaa
, 
bbb
et
ccc
.
    b. En généralisant le principe d'identification à une fonction polynôme de degré
222
, en déduire une primitive de
fff
sur
R\mathbb RR
.

☆ Équation différentielle avec changement de variable (Pondichéry, avril 2006)

Un laboratoire de recherche étudie l'évolution d'une population animale qui semble en voie de disparition.
En
200020002000
, une étude est effectuée sur un échantillon de cette population dont l'effectif initial est égal à mille.
Cet échantillon évolue et son effectif, exprimé en milliers d'individus, est approché par une fonction
fff
du temps
ttt
(exprimé en années à partir de l'origine
200020002000
).
D'après le modèle d'évolution choisi, la fonction
fff
est dérivable, strictement positive sur
[0 ;+∞[[0~;+\infty[[0 ;+∞[
, et satisfait l'équation différentielle 
(E) y′=−120y(3−ln⁡y)(\text{E})\ y' = - \dfrac{1}{20}y(3 - \ln y)(E) y′=−201​y(3−lny)
.
1.Démontrer l'équivalence suivante. 
Une fonction
fff
, dérivable, strictement positive sur
[0 ;+∞[[0~;+\infty[[0 ;+∞[
, vérifie, pour tout 
ttt
de
[0 ;+∞[[0~;+\infty[[0 ;+∞[
,
f′(t)=−120f(t)[3−ln⁡(f(t))]f'(t) = - \dfrac{1}{20}f(t)[3 - \ln\left(f(t)\right)]f′(t)=−201​f(t)[3−ln(f(t))]
si et seulement si la fonction 
g=ln⁡(f)g =\ln (f)g=ln(f)
vérifie, pour tout
ttt
de
[0 ;+∞[[0~;+\infty[[0 ;+∞[
,
g′(t)=120g(t)−320g'(t) = \dfrac{1}{20}g (t) - \dfrac{3}{20}g′(t)=201​g(t)−203​
.
2.Donner la solution générale de l'équation différentielle 
(H) z′=120z−320(\text{H})\ z' = \dfrac{1}{20}z - \dfrac{3}{20}(H) z′=201​z−203​
.
3.En déduire qu'il existe un réel
CCC
tel que, pour tout
ttt
de
[0 ;+∞[[0~;+\infty[[0 ;+∞[
, 
f(t)=exp[3+Cexp(t20)]f(t) = \text{exp}\left[3 + C \text{exp}\left(\dfrac{t}{20}\right)\right]f(t)=exp[3+Cexp(20t​)]
 (la notation
exp\text{exp}exp
désigne la fonction exponentielle naturelle
x↦exx \mapsto \text{e}^xx↦ex
).
4.La condition initiale conduit donc à considérer la fonction
fff
définie par : 
f(t)=exp[3−3exp(t20)]f(t) = \text{exp}\left[3 - 3 \text{exp}\left(\dfrac{t}{20}\right)\right]f(t)=exp[3−3exp(20t​)]
.a.Déterminer la limite de la fonction 
fff
en
+∞+\infty+∞
.b.Déterminer le sens de variation de 
fff
sur
[0 ;+∞[[0~;+\infty[[0 ;+∞[
.c.Résoudre dans
[0 ;+∞[[0~;+\infty[[0 ;+∞[
l'inéquation
f(t)<0, ⁣02f(t) < 0,\!02f(t)<0,02
. Au bout de combien d'années, selon ce modèle, la taille de l'échantillon sera-t-elle inférieure à vingt individus ?

Méthode de la variation de la constante

On cherche à résoudre l'équation différentielle
(E) y′+y=11+ex(\text E) \ y'+y=\dfrac{1}{1+\text{e}^x}(E) y′+y=1+ex1​
.
1.Résoudresur
R\mathbb RR
l'équation différentielle
y′+y=0y'+y=0y′+y=0
.
2.On cherche une solution particulière de l'équation
(E)(\text E)(E)
de la forme
f(x)=k(x)e−xf(x)=k(x)\text e^{-x}f(x)=k(x)e−x
.a.Justifier que, pour tout 
xxx
réel,
k′(x)=ex1+exk'(x)=\dfrac{\text e^{x}}{1+\text e^{x}}k′(x)=1+exex​
.b.En déduire une expression de
k(x)k(x)k(x)
.c.En déduire alors toutes les solutions sur\(\mathbb R\) de l'équation
(E)(\text E)(E)
.