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Intégrale d'une fonction continue et positive

1.Dans un repère orthogonal du plan, l'aire sous la courbe de la fonction carré entre

Sommaire

GénéralitésAire et intégraleNotation intégrale - RemarquesCas particulier des fonctions constantes
Intégrale et primitiveLien entre intégrale et primitiveCalcul d'intégrale à l'aide d'une primitive☛ Calculer une intégrale à l'aide d'une primitive

Généralités

Aire et intégrale

Définition
Soit
aaa
et
bbb
deux réels tels que
a<ba<ba<b
Définition
Soit
aaa
et
bbb
deux réels tels que
a<ba<ba<b
Exemples
1.Dans un repère orthogonal du plan, l'aire sous la courbe de la fonction carré entre
111
et
444
est, en unité d'aire,
∫14x2dx\displaystyle \int_1^4 x^2\text d x∫14​x2dx
.
2.Dans un repère orthogonal du plan, l'intégrale 
\displaystyle \int_{0}^\sqrt 5 x^3\text d x
 représente l'aire sous la courbe de la fonction cube entre
000
et
5\sqrt 55​
, en unité d'aire.

Notation intégrale - Remarques

  • La notation de l'intégrale est due au mathématicien allemandGottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716). Ce symbole fait penser à un « S » allongé et s’explique par le fait que l'intégrale est une aire calculée comme somme infinie d'aires. Plus tard, un second mathématicien allemand,Bernhard Riemann (1826-1866) établit une théorie aboutie du calcul intégral.
  • Les nombres\(a\)et\(b\)sont appelés les bornes de l'intégrale\(\displaystyle \int_a^b f(x)\text d x\).
  • L'intégrale \(\displaystyle \int_a^b f(x)\text d x\)ne dépend que de\(a\),\(b\)et\(f\).
  • \(x\)est la variable d’intégration. On dit que\(x\)est une variable muette ; elle peut être remplacée par toute autre lettre qui n’intervient pas dans les calculs.
    L'intégrale\(\displaystyle \int_a^b f(x)\text d x\)peut donc aussi s'écrire, par exemple,\(\displaystyle \int_a^b f(t)\text d t\).
  • La notation\(\text dx\)s'appelle parfois « accroissement infinitésimal de la variable\(x\) » et  représente, dans la notation d'une intégrale, la largeur (infiniment petite) d'un rectangle de hauteur\(f(x)\).
    Ainsi, la notation intégrale\(\displaystyle \int_a^b f(x)\text d x\)représente la sommation, sur l'intervalle\([a~;~b]\), d'une infinité de rectangles de largeur infiniment petite\(\text dx\)et de hauteur\(f(x)\).

Cas particulier des fonctions constantes

Propriété
Le plan est muni d'un repère orthogonal. Soit
aaa
et
bbb
deux réels tels que
a<ba<ba<b
Démonstration
Le plan est muni d'un repère orthogonal. Soit
aaa
et
bbb
deux réels tels que
a<ba<ba<b
Exemples
1.
∫145  dx=5×(4−1)=15\displaystyle \int_1^4 5\; \text d x = 5\times (4-1)=15∫14​5dx=5×(4−1)=15
.
2.Soit
ttt
un réel positif. On a
∫145t  dx=5t(4−1)=15t\displaystyle \int_1^4 5t\;\text d x=5t(4-1)=15t∫14​5tdx=5t(4−1)=15t
. En effet, pourtout
ttt
réel positif donné, la fonction 
x↦5tx\mapsto 5tx↦5t
est une fonction constante par rapport à
xxx
.

Intégrale et primitive

Lien entre intégrale et primitive

Théorème
Le plan est muni d'un repère orthogonal.Soit
aaa
et
bbb
deux réels tels que
a<ba<ba<b
Autrement dit,
Fa(a)=0F_a(a)=0Fa​(a)=0
et la fonction
FaF_aFa​
est dérivable sur
[a ; b][a~;~b][a ; b]
et, pour tout réel
xxx
de
[a ; b][a~;~b][a ; b]
, on a
Fa′(x)=f(x)F_a'(x)=f(x)Fa′​(x)=f(x)
.
DémonstrationCas où\(f\)est croissante sur\([a~;~b]\)
Le plan est muni d'un repère orthogonal.
Soit
fff
une fonction continue, positive et croissante sur
[a ; b][a~;~b][a ; b]
.
Soit
FaF_aFa​
la fonction définie sur
[a ; b][a~;~b][a ; b]
par 
Fa(x)=∫axf(t)dtF_a(x)=\displaystyle \int_a^x f(t)\text d tFa​(x)=∫ax​f(t)dt
.
Pour tout
xxx
de l'intervalle
[a ; b][a~;~b][a ; b]
,
Fa(x)F_a(x)Fa​(x)
est l'aire sous la courbe
C\mathscr CC
de la fonction 
fff
entre
aaa
et
xxx
, en unité d'aire.On a\(F_a(a)=\displaystyle \int_a^af(x)\text d x = 0\).
On fixe
x0x_0x0​
dans\([a~;~b]\).
Fa(x0)F_a(x_0)Fa​(x0​)
est l'aire sous la courbe 
C\mathscr CC
entre
aaa
et
x0x_0x0​
.
Pour
h≠0h\neq 0h=0
tel que
x0+h∈[a ; b]x_0+h\in[a~;~b]x0​+h∈[a ; b]
, on définit le tauxde variation de\(F_a\)entre
x0x_0x0​
et
x0+hx_0+hx0​+h
 par 
τ(h)=Fa(x0+h)−Fa(x0)h\tau(h)=\dfrac{F_a(x_0+h)-F_a(x_0)}{h}τ(h)=hFa​(x0​+h)−Fa​(x0​)​
. On cherche à l'encadrer.
Fa(x0+h)F_a(x_0+h)Fa​(x0​+h)
représente l'aire sous la courbe 
C\mathscr CC
entre 
aaa
et
x0+hx_0+hx0​+h
.
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Soit
h>0h>0h>0
.
Fa(x0+h)−Fa(x0)F_a(x_0+h)-F_a(x_0)Fa​(x0​+h)−Fa​(x0​)
représente la différence des aires précédentes, c'est-à-dire l'aire sous la courbe
C\mathscr CC
entre
x0x_0x0​
et
x0+hx_0+hx0​+h
.
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Cette aire est alors encadrée par les aires des rectangles de largeur 
hhh
(entre les abscisses
x0x_0x0​
 et 
x0+hx_0+hx0​+h
) et de hauteurs respectives 
f(x0)f(x_0)f(x0​)
et
f(x0+h)f(x_0+h)f(x0​+h)
.
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;On obtient donc l'encadrement suivant : 
hf(x0)⩽∫x0x0+hf(t)dt⩽hf(x0+h)hf(x_0) \leqslant \displaystyle \int_{x_0}^{x_0+h}f(t)\text dt \leqslant hf(x_0+h)hf(x0​)⩽∫x0​x0​+h​f(t)dt⩽hf(x0​+h)
.Soit 
hf(x0)⩽Fa(x0+h)−Fa(x0)⩽hf(x0+h)hf(x_0) \leqslant \displaystyle F_a(x_0+h)-F_a(x_0) \leqslant hf(x_0+h)hf(x0​)⩽Fa​(x0​+h)−Fa​(x0​)⩽hf(x0​+h)
.D'où, 
f(x0)⩽τ(h)⩽f(x0+h)f(x_0)\leqslant \tau(h)\leqslant f(x_0+h)f(x0​)⩽τ(h)⩽f(x0​+h)
.Or, comme
fff
est continue sur\([a~;~b]\), on a 
lim⁡h→0f(x0+h)=f(x0)\displaystyle \lim_{h \to 0} f(x_0+h)=f(x_0)h→0lim​f(x0​+h)=f(x0​)
.Alors, d'après le théorème des gendarmes, on a
lim⁡h→0Fa(x0+h)−Fa(x0)h=f(x0)\displaystyle \lim_{h\to 0} \dfrac{F_a(x_0+h)-F_a(x_0)}{h} =f(x_0)h→0lim​hFa​(x0​+h)−Fa​(x0​)​=f(x0​)
.Ceci signifie que 
FFF
est dérivable en\(x_0\)et
F′(x0)=f(x0)F'(x_0)=f(x_0)F′(x0​)=f(x0​)
.
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Si
h<0h<0h<0
, on raisonne de la même façon en considérant
Fa(x0)−Fa(x0+h)F_a(x_0)-F_a(x_0+h)Fa​(x0​)−Fa​(x0​+h)
.
Conclusion
La fonction
FFF
est la primitive de 
fff
sur
[a ; b][a~;~b][a ; b]
qui s'annule en
aaa
.

Calcul d'intégrale à l'aide d'une primitive

Théorème
Le plan est muni d'un repère orthogonal. Soit
aaa
et
bbb
deux réels tels que
a<ba<ba<b
Notation
Ce nombre se note\(\Big[F(x)\Big]_a^b\).
Remarque
Ce nombre ne dépend pas de la primitive choisie pour
fff
sur
[a ; b][a~;~b][a ; b]
.
Démonstration
Le plan est muni d'un repère orthogonal. Soit
aaa
et
bbb
deux réels tels que
a<ba<ba<b

☛ Calculer une intégrale à l'aide d'une primitive

Énoncé
Le plan est muni d'un repère orthogonal.
1. Soit
fff
la fonction carré définie sur
[1 ; 4][1~;~4][1 ; 4]
. Calculer 
∫14f(x)dx\displaystyle \int_1^4 f(x)\text d x∫14​f(x)dx
.
2. Soit
fff
la fonction définie sur
[0 ; 2][0~;~2][0 ; 2]
par
f(t)=e−3t+1f(t)=\text e^{-3t+1}f(t)=e−3t+1
. Calculer
∫02f(t)dt\displaystyle \int_0^2 f(t)\text d t∫02​f(t)dt
.
Solution
1.La fonction carré est une fonction continue et positive sur \([1~;~4]\).
Une primitive de
x↦x2x\mapsto x^2x↦x2
 sur
[1 ; 4][1~;~4][1 ; 4]
est 
x↦13x3x\mapsto \dfrac 13 x^3x↦31​x3
,
donc 
∫14f(x)dx=[13x3]14=13×43−13×13=643−13=633=21\displaystyle \int_1^4 f(x)\text d x = \left[\dfrac13x^3\right]_1^4=\dfrac13\times 4^3-\dfrac13\times 1^3=\dfrac{64}{3}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{63}{3}=21∫14​f(x)dx=[31​x3]14​=31​×43−31​×13=364​−31​=363​=21
.
2.La fonction`f`est une fonction continue et positive sur\([0~;~2]\).
Une primitive de 
fff
  sur
[0 ; 2][0~;~2][0 ; 2]
est la fonction définie, pour tout réel
ttt
de
[0 ; 2][0~;~2][0 ; 2]
, par 
F(t)=−13e−3t+1F(t)=-\dfrac13\text e^{-3t+1}F(t)=−31​e−3t+1
.
Donc 
∫02f(t)dt=[−13e−3t+1]02=−13e−3×2+1−(−13e−3×0+1)=13e−13e−5\displaystyle \int_0^2 f(t)\text d t = \left[-\dfrac13\text e^{-3t+1}\right]_0^2 = -\dfrac13\text e^{-3\times 2+1}-\left(-\dfrac13\text e^{-3\times 0+1}\right)=\dfrac{1}{3}\text e-\dfrac13\text e^{-5}∫02​f(t)dt=[−31​e−3t+1]02​=−31​e−3×2+1−(−31​e−3×0+1)=31​e−31​e−5
.