Revenir
Revenir

Intégrale d'une fonction continue

 une fonction continue sur un intervalle

Sommaire

Définition et propriétésIntégrale d'une fonction continuePropriétés algébriques☛ Utiliser la linéaritéRelation de Chasles☛ Utiliser la relation de ChaslesIntégrales et inégalités☛ Encadrer une intégraleFonctions paires et impairesValeur moyenne d'une fonctionIntégration par parties (IPP)☛ Intégrer par parties (IPP)
Aire et intégraleFonction négative
Fonction de signe non constant
Aire entre deux courbes
☛ Calculer l'aire entre deux courbes

Définition et propriétés

Intégrale d'une fonction continue

Définition
Soit
fff
 une fonction continue sur un intervalle
III
, 
aaa
et
bbb
deux réels de 
III
 et 
FFF
 une primitive de
fff
sur
III
.
Alors, l'intégrale de
aaa
à
bbb
 de
fff
est le réel 
∫abf(x)dx=F(b)−F(a)\boxed{\displaystyle \int_a^b f(x)\text d x =F(b)-F(a)}∫ab​f(x)dx=F(b)−F(a)​
.
Remarque
Le réel
∫abf(x)dx\displaystyle \int_a^b f(x)\text d x∫ab​f(x)dx
  ne dépend pas de la primitive choisie pour
fff
sur
III
.
Exemple
Soit
fff
la fonction définie sur
R\mathbb RR
par
f(x)=e−x−3x2f(x)=\text e^{-x}-3x^2f(x)=e−x−3x2
.
La fonction
fff
est continuesur
R\mathbb RR
.
La fonction
F
définie sur
R\mathbb RR
par
F(x)=−e−x−x3F(x)=-\text e^{-x}-x^3F(x)=−e−x−x3
est une primitive de
fff
sur
R\mathbb RR
.
Alors
∫01f(x)dx=F(1)−F(0)=[−e−x−x3]01=−e−1−13−(−e−0−03)=−e−1\displaystyle \int_0^1f(x)\text d x = F(1)-F(0)=\Big[-\text e^{-x}-x^3\Big]_0^1=-\text e^{-1}-1^3-\left(-\text e^{-0}-0^3\right)=-\text e^{-1}∫01​f(x)dx=F(1)−F(0)=[−e−x−x3]01​=−e−1−13−(−e−0−03)=−e−1
.

Propriétés algébriques

Propriété
Soit
fff
 une fonction continue sur un intervalle
III
. Soit
aaa
et
bbb
deux réels de 
III
. Alors on a :
∫aaf(x)dx=0\displaystyle \int_a^a f(x)\text d x =0∫aa​f(x)dx=0
∫abf(x)dx=−∫baf(x)dx\displaystyle \int_a^b f(x)\text d x = \displaystyle -\int_b^a f(x)\text d x∫ab​f(x)dx=−∫ba​f(x)dx
. 
Démonstration
Soit
fff
 une fonction continue sur un intervalle
III
. Soit
aaa
et
bbb
deux réels de 
III
.
Soit
FFF
une primitive de
fff
sur
[a ; b][a~;~b][a ; b]
. Alors :
∫aaf(x)dx=F(a)−F(a)=0\displaystyle \int_a^a f(x)\text d x =F(a)-F(a)=0∫aa​f(x)dx=F(a)−F(a)=0
∫abf(x)dx=F(b)−F(a)=−(F(a)−F(b))=−∫baf(x)dx\displaystyle \int_a^b f(x)\text d x =F(b)-F(a)=-(F(a)-F(b))= \displaystyle -\int_b^a f(x)\text d x∫ab​f(x)dx=F(b)−F(a)=−(F(a)−F(b))=−∫ba​f(x)dx
.
PropriétéLinéarité
Soit
fff
 une fonction continue sur un intervalle
III
. Soit
aaa
et
bbb
deux réels de 
III
. Alors, on a :
∫ab(f(x)+g(x))dx=∫abf(x)dx+∫abg(x)dx\displaystyle \int_a^b (f(x)+g(x))\text d x = \displaystyle \int_a^b f(x)\text d x + \displaystyle \int_a^b g(x)\text d x∫ab​(f(x)+g(x))dx=∫ab​f(x)dx+∫ab​g(x)dx
    • pour tout réel
kkk
,
∫abkf(x)dx=k∫abf(x)dx\displaystyle \int_a^b kf(x)\text d x = k \displaystyle \int_a^b f(x)\text d x∫ab​kf(x)dx=k∫ab​f(x)dx
Remarque
Cette propriété fait écho à celle des primitives : compatibilité avec la somme et la multiplication par un réel.

☛ Utiliser la linéarité

Énoncé
Calculer 
I=∫12(2x+e−x)dx\displaystyle I=\int_1^2 \left(\dfrac 2 x+\text e^{-x}\right) \text d xI=∫12​(x2​+e−x)dx
.
Solution
I=∫12(2x+e−x)dxI=2∫121xdx+∫12e−xdxI=2×[ln⁡(x)]12+[−e−x]12I=2ln⁡(2)+e−1−e−2\begin{array}{rcl}I &= & \displaystyle \int_1^2 \left(\dfrac 2 x+\text e^{-x}\right) \text d x \\I &= & \displaystyle 2\int_1^2 \dfrac 1 x\text d x + \int_1^2\text e^{-x}\text d x \\\displaystyle I &= & 2 \times \Big[\ln(x)\Big]_1^2+\Big[-\text e^{-x}\Big]_1^2\\\displaystyle I &= &2\ln(2)+\text e^{-1}-\text e^{-2}\\\end{array}IIII​====​∫12​(x2​+e−x)dx2∫12​x1​dx+∫12​e−xdx2×[ln(x)]12​+[−e−x]12​2ln(2)+e−1−e−2​

Relation de Chasles

Propriété
Soit\(f\) une fonction continue sur un intervalle
III
. Soit
aaa
,
bbb
et
c
trois réels de 
III
. Soit
Cf\mathscr C_fCf​
la courbe représentative de
fff
 sur
III
dans un repère orthogonal du plan. Alors on a : \(\boxed{\displaystyle \int_a^b f(x)\text d x = \displaystyle \int_a^c f(x)\text d x+ \displaystyle \int_c^b f(x)\text d x}\).

☛ Utiliser la relation de Chasles

Énoncé
Soit
fff
la fonction définie sur
[0 ; 3][0~;~3][0 ; 3]
par morceaux : 
{f(x)=x si x∈[0 ; 1]f(x)=1 si x∈]1 ; 2]f(x)=−x+3 si x∈]2 ; 3]\begin{cases} f(x)=x \text{ si } x\in[0~;~1] \\ f(x)=1\text{ si }x\in ]1~;~2]\\ f(x)=-x+3 \text{ si } x\in ]2~;~3] \end{cases}⎩⎨⎧​f(x)=x si x∈[0 ; 1]f(x)=1 si x∈]1 ; 2]f(x)=−x+3 si x∈]2 ; 3]​
.
Calculer 
∫03f(x)dx\displaystyle \int_0^ 3f(x)\text d x∫03​f(x)dx
.
Solution
∫03f(x)dx=∫01f(x)dx+∫12f(x)dx+∫23f(x)dx∫03f(x)dx=∫01xdx+∫121dx+∫23(−x+3)dx∫03f(x)dx=[12x2]01+[x]12+[−12x2+3x]23∫03f(x)dx=12+2−1−92+9−(−2+6)=2.\begin{array}{rcl} \displaystyle \int_0^3f(x)\text dx &=&\displaystyle \int_0^1f(x)\text dx+\displaystyle \int_1^2f(x)\text dx+\displaystyle \int_2^3f(x)\text dx\\ \displaystyle \int_0^3f(x)\text dx &=&\displaystyle \int_0^1x \text dx+\displaystyle \int_1^2 1\text dx+\displaystyle \int_2^3 (-x+3)\text dx\\\displaystyle \int_0^3f(x)\text dx &=&\displaystyle \left[\dfrac12x^2\right]_0^1 +\bigg[x\bigg]_1^2+\displaystyle \left[-\dfrac12x^2+3x\right]_2^3\\\displaystyle \int_0^3f(x)\text dx &=&\dfrac12+2-1-\dfrac92+9-(-2+6)=2.\\\end{array}∫03​f(x)dx∫03​f(x)dx∫03​f(x)dx∫03​f(x)dx​====​∫01​f(x)dx+∫12​f(x)dx+∫23​f(x)dx∫01​xdx+∫12​1dx+∫23​(−x+3)dx[21​x2]01​+[x]12​+[−21​x2+3x]23​21​+2−1−29​+9−(−2+6)=2.​

Intégrales et inégalités

Propriété
Soit
aaa
et
bbb
deux réels tels que
a<ba<ba<b
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Positivité : si, pour tout réel
xxx
de
[a ; b][a~;~b][a ; b]
on a 
f(x)⩾0f (x) \geqslant 0f(x)⩾0
, alors 
∫abf(x)dx⩾0\displaystyle \int_a^b f(x)\text d x \geqslant 0∫ab​f(x)dx⩾0
.
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Conservation de l'ordre : si, pour tout réel
xxx
de
[a ; b][a~;~b][a ; b]
on a 
f(x)⩽g(x)f (x) \leqslant g(x)f(x)⩽g(x)
, alors 
∫abf(x)dx⩽∫abg(x)dx\displaystyle \int_a^b f(x)\text d x \leqslant \displaystyle \int_a^b g(x)\text d x∫ab​f(x)dx⩽∫ab​g(x)dx
.
Démonstration
Soit
aaa
et
bbb
deux réels tels que
a<ba<ba<b
Soit
FFF
une primitive de
fff
sur
[a ; b][a~;~b][a ; b]
.
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;On suppose ici que 
fff
est une fonction positive sur
[a ; b][a~;~b][a ; b]
.Première méthode :
∫abf(x)dx\displaystyle \int_a^b f(x)\text d x∫ab​f(x)dx
est l'aire sous la courbe représentative de
fff
entre
aaa
et
bbb
, en unité d'aire, dans un repère orthogonal. Donc
∫abf(x)dx\displaystyle \int_a^b f(x)\text d x∫ab​f(x)dx
est un nombre positif.Seconde méthode :
fff
est une fonction positive sur
[a ; b][a~;~b][a ; b]
donc
FFF
 est croissante sur
[a ; b][a~;~b][a ; b]
. Comme
a⩽ba\leqslant ba⩽b
, alors on a 
F(a)⩽F(b)F(a)\leqslant F(b)F(a)⩽F(b)
soit
F(b)−F(a)⩾0F(b)-F(a) \geqslant 0F(b)−F(a)⩾0
.
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Pour tout réel
xxx
de
[a ; b][a~;~b][a ; b]
, on a 
f(x)⩽g(x)f (x) \leqslant g(x)f(x)⩽g(x)
soit
g(x)−f(x)⩾0g(x)-f(x)\geqslant 0g(x)−f(x)⩾0
. 
g−fg-fg−f
est une fonction continue sur
[a ; b][a~;~b][a ; b]
.Donc, d'après la propriété de positivité, on a 
∫ab(g(x)−f(x))dx⩾0\displaystyle \int_a^b(g(x)-f(x)) \text d x\geqslant 0∫ab​(g(x)−f(x))dx⩾0
.Par conséquent, par linéarité, on a 
∫abg(x)dx−∫abf(x)dx⩾0\displaystyle \int_a^bg(x) \text d x-\int_a^b f(x)\text d x\geqslant 0∫ab​g(x)dx−∫ab​f(x)dx⩾0
,soit 
∫abg(x)dx⩾∫abf(x)dx\displaystyle \int_a^bg(x) \text d x\geqslant \int_a^b f(x)\text d x∫ab​g(x)dx⩾∫ab​f(x)dx
.

☛ Encadrer une intégrale

Énoncé
Donner un encadrement de l'intégrale 
I=∫141x+1dxI=\displaystyle \int_1^4 \dfrac{1}{\sqrt x+1}\text d xI=∫14​x​+11​dx
.
Solution
Soit
fff
la fonction définie sur
[1 ; 4][1~;~4][1 ; 4]
par
f(x)=1x+1f(x)= \dfrac{1}{\sqrt x+1}f(x)=x​+11​
.
fff
 est dérivable sur 
[1 ; 4][1~;~4][1 ; 4]
(donc
fff
est continue sur 
[1 ; 4][1~;~4][1 ; 4]
).
Pour tout
xxx
de 
[1 ; 4][1~;~4][1 ; 4]
, on a
f′(x)=−12x(x+1)2f'(x)=-\dfrac{1}{2\sqrt x(\sqrt x+1)^2}f′(x)=−2x​(x​+1)21​
.
f′f'f′
est négative sur 
[1 ; 4][1~;~4][1 ; 4]
, donc
fff
est décroissante sur 
[1 ; 4][1~;~4][1 ; 4]
,
Donc, pour tout
xxx
de 
[1 ; 4][1~;~4][1 ; 4]
,
f(4)⩽f(x)⩽f(1)⇔13⩽f(x)⩽12f(4)\leqslant f(x)\leqslant f(1) \Leftrightarrow \dfrac13 \leqslant f(x)\leqslant \dfrac12f(4)⩽f(x)⩽f(1)⇔31​⩽f(x)⩽21​
.
Alors, par conservation de l'ordre, on a 
∫1413dx⩽∫14f(x)dx⩽∫1412dx\displaystyle \int_1^4 \dfrac13 \text dx\leqslant \int_1^4f(x) \text dx\leqslant \int_1^4\dfrac12 \text dx∫14​31​dx⩽∫14​f(x)dx⩽∫14​21​dx
, soit 
1⩽I⩽321\leqslant I\leqslant \dfrac321⩽I⩽23​
.

Fonctions paires et impaires

Propriété
Soit
fff
 une fonction continue sur un intervalle
III
, symétrique par rapport à
000
. Soit
aaa
un réel de 
III
.
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Si
fff
est une fonction paire, alors on a
∫−a0f(x)dx=∫0af(x)dx\displaystyle \int_{-a}^0 f(x)\text d x =\displaystyle \int_0^a f(x)\text d x∫−a0​f(x)dx=∫0a​f(x)dx
.
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Si
fff
est une fonction impaire, alors on a
∫−a0f(x)dx=−∫0af(x)dx\displaystyle \int_{-a}^0 f(x)\text d x =-\displaystyle \int_0^a f(x)\text d x∫−a0​f(x)dx=−∫0a​f(x)dx
.
Exemples
1.Soit
fff
la fonction définie sur
[−3 ; 3][-3~;~3][−3 ; 3]
par
f(x)=x2x2+1f(x)=\dfrac{x^2}{x^2+1}f(x)=x2+1x2​
. 
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;L'intervalle 
[−3 ; 3][-3~;~3][−3 ; 3]
 est symétrique par rapport à
000
, 
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Pour tout
x∈[−3 ; 3]x \in [-3~;~3]x∈[−3 ; 3]
, on a
f(−x)=(−x)2(−x)2+1=x2x2+1=f(x)f(-x)=\dfrac{(-x)^2}{(-x)^2+1} = \dfrac{x^2}{x^2+1}=f(x)f(−x)=(−x)2+1(−x)2​=x2+1x2​=f(x)
.
Donc,
fff
est une fonction paire.
Alors, on obtient
∫−30f(x)dx=∫03f(x)dx\displaystyle \int_{-3}^0 f(x)\text d x =\displaystyle \int_0^3 f(x)\text d x∫−30​f(x)dx=∫03​f(x)dx
.
2.Soit
fff
la fonction définie sur 
[−4 ; 4][-4~;~4][−4 ; 4]
par
f(x)=2xx2+1f(x)=\dfrac{2x}{x^2+1}f(x)=x2+12x​
.
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;L'intervalle 
[−4 ; 4][-4~;~4][−4 ; 4]
 est symétrique par rapport à
000
.
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Pour tout
x∈[−4 ; 4]x \in [-4~;~4]x∈[−4 ; 4]
, on a
f(−x)=2×(−x)(−x)2+1=−2xx2+1=−2xx2+1=−f(x)f(-x)=\dfrac{2\times (-x)}{(-x)^2+1} = \dfrac{-2x}{x^2+1}=-\dfrac{2x}{x^2+1}=-f(x)f(−x)=(−x)2+12×(−x)​=x2+1−2x​=−x2+12x​=−f(x)
.
Donc,
fff
est une fonction impaire. 
Alors, on obtient
∫−40f(x)dx=−∫04f(x)dx\displaystyle \int_{-4}^0 f(x)\text d x =\displaystyle - \int_0^4 f(x)\text d x∫−40​f(x)dx=−∫04​f(x)dx
. 

Valeur moyenne d'une fonction

Définition
Soit
aaa
et
bbb
deux réels tels que
a<ba<ba<b
Remarque Interprétation graphique dans le cas où
fff
est positive
Par définition de
μ\muμ
, on a 
(b−a)μ=∫abf(x) dx(b-a)\mu=\displaystyle \int_a^b f(x)\ \text d x(b−a)μ=∫ab​f(x) dx
.
On suppose que
fff
est positive.
Donc
∫abf(x) dx\displaystyle \int_a^b f(x)\ \text d x∫ab​f(x) dx
est l'aire sous la courbe représentative de
fff
entre
aaa
et
bbb
, en unité d'aire, dans un repère orthogonal.
Cette aire est donc égale à celle du rectangle dont les dimensions sont
(b−a)(b -a)(b−a)
 et
μ\muμ
. Cette aire est aussi celle sous la courbe, entre
aaa
et
bbb
, de la fonction constante égale à
μ\muμ
.

Intégration par parties (IPP)

Théorème
Soit
uuu
et
vvv
deux fonctions dérivables sur un intervalle
III
et telles que
u′u'u′
et
v′v'v′
sont continues sur
III
. Soit
aaa
et
bbb
deux réels de 
III
.
Alors on a
∫abu′(x)v(x) dx=[u(x)v(x)]ab−∫abu(x)v′(x) dx\displaystyle \boxed{\int_{a}^{b}u'(x)v(x) \text{ d}x=\Big[u(x)v(x)\Big]_a^b-\int_{a}^{b} u(x)v'(x) \text{ d}x}∫ab​u′(x)v(x) dx=[u(x)v(x)]ab​−∫ab​u(x)v′(x) dx​
.
Démonstration
Soit
uuu
et
vvv
deux fonctions dérivables sur un intervalle
III
et telles que
u′u'u′
et
v′v'v′
sont continues sur
III
. Soit
aaa
et
bbb
deux réels de 
III
.
On a
u′v=(uv)′−uv′u'v=(uv)'-uv'u′v=(uv)′−uv′
sur
III
.
Alors, en intégrant, et par linéarité, on obtient :  
∫ab(u′v)=∫ab(uv)′−∫ab(uv′)=[uv]ab−∫ab(uv′)\displaystyle \int_a^b(u'v)=\displaystyle \int_a^b(uv)'-\displaystyle \int_a^b(uv')=\Big[uv\Big]_a^b-\displaystyle \int_a^b(uv')∫ab​(u′v)=∫ab​(uv)′−∫ab​(uv′)=[uv]ab​−∫ab​(uv′)
.
Remarque
Cette méthode d'intégration par parties sert pour :
  • calculer des primitives de fonctions s'écrivant comme un produit ;
  • calculer des primitives de fonctions dont les règles de calcul de primitives vues dans le chapitre sur les primitives ne permettent pas de les trouver facilement ;
  • étudier des suites d'intégrales, vérifiant éventuellement une relation de récurrence.

☛ Intégrer par parties (IPP)

Énoncé
Calculer
I=∫01xex dx\displaystyle I=\int_{0}^{1} x\text e^{x} \text{ d}xI=∫01​xex dx
.
Solution
On pose : 
u′(x)=exu(x)=exv(x)=xv′(x)=1\begin{array}{|c|c|}\hline{}u'(x)=\text e^x & u(x)=\text e^x\\ \hline{}v(x)=x & v'(x)=1\\\hline\end{array}u′(x)=exv(x)=x​u(x)=exv′(x)=1​​
Les fonctions
uuu
et
vvv
sont dérivables sur 
[0 ; 1][0~;~1][0 ; 1]
.
Les fonctions
u′u'u′
et
v′v'v′
sont continues sur
[0 ; 1][0~;~1][0 ; 1]
.
Alors : 
I=[xex]01−∫011ex dx=1e1−0e0−∫01ex dx=e−[ex]01=e−(e−1)=1\displaystyle I=\Big[x\text e^x\Big]_0^1-\int_{0}^{1} 1\text e^x \text{ d}x=1\text e^1-0\text e^0-\int_{0}^{1} \text e^x \text{ d}x=\text e-\Big[\text e^x\Big]_0^1=\text e-(\text e-1)=1I=[xex]01​−∫01​1ex dx=1e1−0e0−∫01​ex dx=e−[ex]01​=e−(e−1)=1
.
Remarques
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Les choix de
uuu
et
vvv
ne sont pas arbitraires. Si une des deux fonctions est une puissance de
xxx
, il est intéressant de la dériver puisque son degré diminue par dérivation ; on pose cette fonction comme étant
vvv
. Si une des deux fonctions a une primitive qui s'obtient facilement, on pose cette fonction comme étant
u′u'u′
.
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Dans l'exemple précédent, la fonction à intégrer s'écrit comme un produit de deux fonctions explicitement écrites. Parfois, on peut faire apparaître un produit, en posant
u′(x)=1u'(x)=1u′(x)=1
, et on applique la méthode d'intégration par parties.
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Parfois, l'intégrale obtenue dans le membre de droite nécessite à nouveau une intégration par parties pour être calculée. Dans ce cas, on réitère le processus.

Aire et intégrale

Fonction négative

Propriété
Soit
aaa
et
bbb
deux réels tels que
a<ba<ba<b
L'aire
A\mathcal AA
, exprimée en unités d'aire, du domaine délimité par
C\mathscr CC
, l'axe des abscisses et les droites d'équations
x=ax=ax=a
et
x=bx=bx=b
est égale à 
A=∫ab(−f(x)) dx=−∫abf(x) dx\boxed{\mathcal A=\int_a^b{(-f(x))}\ \text{d}x=-\int_a^b{f(x)}\ \text{d}x}A=∫ab​(−f(x)) dx=−∫ab​f(x) dx​
.
Remarque
L'intégrale d'une fonction négative sur
[a ; b][a~;~b][a ; b]
est un nombre réel négatif.
Exemple
∫02(x−2) dx=[12x2−2x]02=−2\displaystyle \int_0^2(x-2)\text{ d}x =\left[\dfrac12x^2-2x\right]_0^2=-2∫02​(x−2) dx=[21​x2−2x]02​=−2
.
La fonction
x↦x−2x\mapsto x-2x↦x−2
est négative sur
[0 ; 2][0~;~2][0 ; 2]
.
L'aire du domaine délimité par la courbe de la fonction 
x↦x−2x\mapsto x-2x↦x−2
, l'axe des abscisses, les droites d'équations
x=0x=0x=0
et
x=2x=2x=2
est 
∫02(−(x−2)) dx=−∫02(x−2) dx=2\displaystyle \int_0^2(-(x-2))\text{ d}x =-\int_0^2(x-2)\text{ d}x=2∫02​(−(x−2)) dx=−∫02​(x−2) dx=2
u.a.

Fonction de signe non constant

Méthode
Lorsque la fonction n'est pas de signe constant, on calcule les aires sur les intervalles sur lesquels la fonction a un signe constant.
Propriété
Soit
aaa
et
bbb
deux réels tels que
a<ba<ba<b
Alors, l'aire
A\mathcal AA
, exprimée en unité d'aire, de la partie du plan hachurée est donnée par 
A=∫acf(x) dx+∫cb(−f(x)) dx\boxed{\mathcal A=\int_a^c f(x)\text{ d}x+\int_c^b (-f(x))\text{ d}x}A=∫ac​f(x) dx+∫cb​(−f(x)) dx​
.
Exemple
On considère la fonction
fff
définie sur
[1 ; 3][1~;~3][1 ; 3]
par
f(x)=x−2f(x)=x-2f(x)=x−2
.
On appelle 
C\mathscr CC
sa courbe représentative de
fff
dans un repère orthogonal.
fff
est continue sur
[1 ; 3][1~;~3][1 ; 3]
. Elle s'annule et change de signe en
x=2x=2x=2
 : elle est négative sur
[1 ; 2][1~;~2][1 ; 2]
et positive sur
[2 ; 3][2~;~3][2 ; 3]
.
L'aire 
A\mathcal AA
de la partie du plan coloriée est donnée par 
A=∫12(−(x−2)) dx+∫23(x−2) dx=12+12=1\displaystyle \mathcal A=\int_1^2(-(x-2)) \text{ d}x+\int_2^3 (x-2) \text{ d}x=\dfrac{1}{2}+\dfrac12=1A=∫12​(−(x−2)) dx+∫23​(x−2) dx=21​+21​=1
u.a.
Remarque
Dans l'exemple précédent, si on calcule directement l'intégrale de
fff
entre
111
et
333
, on obtient
∫13(x−2) dx=0\displaystyle \int_1^3(x-2)\text{ d}x=0∫13​(x−2) dx=0
alors que la fonction
x↦x−2x\mapsto x-2x↦x−2
n'est pas nulle sur
[1 ; 3][1~;~3][1 ; 3]
.

Aire entre deux courbes

Propriété
Soit
aaa
et
bbb
deux réels tels que
a<ba<ba<b

☛ Calculer l'aire entre deux courbes

Énoncé
Soit
fff
 et
ggg
 deux fonctions définies sur
[−32 ; 32]\left[-\dfrac32~;~\dfrac32\right][−23​ ; 23​]
par
f(x)=−13x2+3f(x)=-\dfrac{1}{3}x^2+3f(x)=−31​x2+3
et
g(x)=x2g(x)=x^2g(x)=x2
.
On appelle 
Cf\mathscr C_fCf​
et 
Cg\mathscr C_gCg​
 les courbes représentatives de
fff
et
ggg
dans un repère orthogonal.
On souhaite calculer l'aire hachurée de la partie du plan délimitée par les courbes représentatives de 
Cf\mathscr C_fCf​
 et
Cg\mathscr C_gCg​
et les droites d'équations
x=−32x=-\dfrac32x=−23​
et
x=32x=\dfrac32x=23​
.
1.Étudier la position relative des courbes 
Cf\mathscr C_fCf​
 et
Cg\mathscr C_gCg​
sur
[−32 ; 32]\left[-\dfrac32~;~\dfrac32\right][−23​ ; 23​]
.
2. En déduire l'aire hachurée.
Solution
1.On étudie le signe de la différence entre
fff
 et
ggg
sur
[−32 ; 32]\left[-\dfrac32~;~\dfrac32\right][−23​ ; 23​]
.
On pose
ddd
la fonction définie sur
[−32 ; 32]\left[-\dfrac32~;~\dfrac32\right][−23​ ; 23​]
par 
d(x)=g(x)−f(x)d(x)=g(x)-f(x)d(x)=g(x)−f(x)
.
Pour tout
xxx
de
[−32 ; 32]\left[-\dfrac32~;~\dfrac32\right][−23​ ; 23​]
, on a 
d(x)=43x2−3d(x)=\dfrac43x^2-3d(x)=34​x2−3
.
Pour tout
xxx
de
[−32 ; 32]\left[-\dfrac32~;~\dfrac32\right][−23​ ; 23​]
, on a 
d(x)=0⇔43x2−3=0⇔x2=94⇔x=32d(x)=0 \Leftrightarrow \dfrac43x^2-3=0 \Leftrightarrow x^2=\dfrac94 \Leftrightarrow x=\dfrac32d(x)=0⇔34​x2−3=0⇔x2=49​⇔x=23​
ou
x=−32x=-\dfrac32x=−23​
.
ddd
est une fonction du second degré. On a 
43>0\dfrac43>034​>0
donc
d(x)⩽0d(x)\leqslant 0d(x)⩽0
 sur
[−32 ; 32]\left[-\dfrac32~;~\dfrac32\right][−23​ ; 23​]
.
Sur
[−32 ; 32]\left[-\dfrac32~;~\dfrac32\right][−23​ ; 23​]
, on a donc
d(x)⩽0⇔g(x)−f(x)⩽0⇔g(x)⩽f(x)d(x)\leqslant 0 \Leftrightarrow g(x)-f(x)\leqslant 0 \Leftrightarrow g(x)\leqslant f(x)d(x)⩽0⇔g(x)−f(x)⩽0⇔g(x)⩽f(x)
.
Donc
Cg\mathscr C_gCg​
est en dessous de
Cf\mathscr C_fCf​
sur
[−32 ; 32]\left[-\dfrac32~;~\dfrac32\right][−23​ ; 23​]
.
2.
fff
 et
ggg
sont deux fonctions continues sur
[−32 ; 32]\left[-\dfrac32~;~\dfrac32\right][−23​ ; 23​]
.
On a 
f(x)−g(x)⩾0f(x)-g(x)\geqslant 0f(x)−g(x)⩾0
sur
[−32 ; 32]\left[-\dfrac32~;~\dfrac32\right][−23​ ; 23​]
.
L'aire hachurée est
\begin{array}[t]{rcl}I & =&\displaystyle \int_{-1{,}5}^{1{,}5}(f(x)-g(x))\text{ d}x= \int_{-1{,}5}^{1{,}5}\left(-\dfrac43x^2+3\right)\text{ d}x\\I&=& \left[-\dfrac49x^3+3x\right]_{-1{,}5}^{1{,}5}= 6 \text{ u.a.}\\\end{array}