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Exercices vers le supérieur

\(\forall x\in\mathbb{R}\setminus\{-1~;~0\}\)

Sommaire

IPP avec décomposition en éléments simplesChangement d'écrituree is back !Trois intégrales d'un coupDeux suites d'intégrales☆ ln(2)Suite doublement indexéeLimite d'une intégrale☆ Intégrale et sommeQuand les bornes varient☆ Point fixe

IPP avec décomposition en éléments simples

1.Déterminer deux réels
aaa
 et
bbb
 tels que,
∀x∈R∖{−1 ; 0}\forall x\in\mathbb{R}\setminus\{-1~;~0\}∀x∈R∖{−1 ; 0}
, on a
1x(x+1)=ax+bx+1\dfrac{1}{x(x+1)}=\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{x+1}x(x+1)1​=xa​+x+1b​
.
2.En déduire la valeur de
∫12ln⁡x(x+1)2\mboxdx{\displaystyle \int_{1}^{2}\dfrac{\ln x}{(x+1)^{2}}\mbox{d}x}∫12​(x+1)2lnx​\mboxdx
.

Changement d'écriture

On considère l'intégrale
I=∫011(1+ex)2\mboxdx{\displaystyle I={\displaystyle \int_{0}^{1}\dfrac{1}{\left(1+\text{e}^{x}\right)^{2}}\mbox{ d}x}}I=∫01​(1+ex)21​\mboxdx
.
1.Déterminer les réels
aaa
,
bbb
 et
ccc
 tels que, pour tout réel
X≠−1X\ne-1X=−1
, on a
1(1+X)2=a+bX1+X+cX(1+X)2\dfrac{1}{\left(1+X\right)^{2}}=a+\dfrac{bX}{1+X}+\dfrac{cX}{\left(1+X\right)^{2}}(1+X)21​=a+1+XbX​+(1+X)2cX​
.
2.En déduire la valeur de
III
.

e is back !

Pour tout entier naturel 
nnn
, on considère
In=∫01(1−x)nn!ex\mboxdxI_n=\displaystyle \int_{0}^{1}\dfrac{\left(1-x\right)^{n}}{n!}\text{e}^{x}\mbox{d}xIn​=∫01​n!(1−x)n​ex\mboxdx
.
1.Calculer
I0I_0I0​
 et
I1I_1I1​
.
2. a.Calculer
∫01(1−x)n\mboxdx\displaystyle \int_{0}^{1}(1-x)^n\mbox{d}x∫01​(1−x)n\mboxdx
.b.Démontrer que, pour tout entier naturel 
nnn
, on a
0⩽In⩽en+10\leqslant I_{n}\leqslant\dfrac{\text{e}}{n+1}0⩽In​⩽n+1e​
.c.En déduire que la suite 
(In)\left(I_{n}\right)(In​)
converge vers
000
.
3.À l'aide d'une intégration par parties, montrer que,
∀k∈N, Ik=1(k+1)!+Ik+1\forall k\in\mathbb{N},\,I_{k}=\dfrac{1}{(k+1)!}+I_{k+1}∀k∈N,Ik​=(k+1)!1​+Ik+1​
.
4.En déduire que
lim⁡n→+∞∑k=0n1k!=e\underset{n\rightarrow+\infty}{\lim}\displaystyle \sum_{k=0}^n\dfrac{1}{k!}=\text{e}n→+∞lim​k=0∑n​k!1​=e
.

Trois intégrales d'un coup

Le but de l'exercice est de calculer les intégrales
III
,
JJJ
et 
KKK
définies par :
\(I=\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}\mbox{ d}x\)  ; 
J=∫01x2x2+1\mboxdxJ=\displaystyle \int_{0}^{1}\dfrac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+1}}\mbox{ d}xJ=∫01​x2+1​x2​\mboxdx
  et 
K=∫01x2+1\mboxdxK=\displaystyle \int_{0}^{1}\sqrt{x^{2}+1}\mbox{ d}xK=∫01​x2+1​\mboxdx
.
1.Soit 
FFF
la fonction définie sur 
R\mathbb{R}R
 par
F(x)=ln⁡(x+x2+1)F(x)=\ln\left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right)F(x)=ln(x+x2+1​)
.a.Démontrer que la fonction 
FFF
est une primitive sur 
R\mathbb{R}R
de
f:x⟼1x2+1f:x\longmapsto\dfrac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}f:x⟼x2+1​1​
.b.En déduire la valeur de
III
.
2.Sans chercher à calculer explicitement 
JJJ
et 
KKK
, vérifier que 
J+I=KJ+I=KJ+I=K
.
3.Soit 
ggg
la fonction définie sur
R\mathbb{R}R
 par
g(x)=xx2+1g(x)=x\sqrt{x^{2}+1}g(x)=xx2+1​
.a.Déterminer
g′(x)g'(x)g′(x)
.b.En déduire la valeur de
K+JK+JK+J
.
4.En déduire les valeurs de 
JJJ
et de
KKK
.

Deux suites d'intégrales

On considère les suites 
(un)\left(u_{n}\right)(un​)
et 
(vn)\left(v_{n}\right)(vn​)
définies, pour tout entier naturel
nnn
, par
un=∫0111+xn\mboxdxu_{n}={\displaystyle \int_{0}^{1}\dfrac{1}{1+x^{n}}\mbox{d}x}un​=∫01​1+xn1​\mboxdx
  et 
vn=∫01nxn1+xn\mboxdxv_{n}={\displaystyle \int_{0}^{1}\dfrac{nx^{n}}{1+x^{n}}\mbox{d}x}vn​=∫01​1+xnnxn​\mboxdx
.
1.Calculer
u0u_0u0​
,
v0v_0v0​
,
u1u_1u1​
 et
v1v_1v1​
.
2. a.Démontrer à l'aide d'une intégration par parties que, pour tout 
n∈Nn\in\mathbb{N}n∈N
, 
vn=ln⁡2−∫01ln⁡(1+xn)\mboxdxv_{n}=\ln2-{\displaystyle \int_{0}^{1}\ln\left(1+x^{n}\right)\mbox{d}x}vn​=ln2−∫01​ln(1+xn)\mboxdx
.b.Démontrer que, pour tout réel
t⩾0t\geqslant0t⩾0
, on a 
0⩽ln⁡(1+t)⩽t0\leqslant\ln\left(1+t\right)\leqslant t0⩽ln(1+t)⩽t
.c.En déduire que 
lim⁡n→+∞vn=ln⁡2\underset{n\rightarrow+\infty}{\lim}v_{n}=\ln2n→+∞lim​vn​=ln2
.
3. a.Démontrer que, pour tout entier naturel
nnn
, on a 
vn+nun=nv_{n}+nu_{n}=nvn​+nun​=n
.b.En déduire la limite de la suite
(un)\left(u_{n}\right)(un​)
.

☆ ln(2)

Pour tout entier naturel
nnn
, on pose
In=∫01xn1+x\mboxdxI_{n}={\displaystyle \int_{0}^{1}\dfrac{x^{n}}{1+x}\mbox{d}x}In​=∫01​1+xxn​\mboxdx
.
1.Montrer que
lim⁡n→+∞In=0\underset{n\rightarrow+\infty}{\lim}I_{n}=0n→+∞lim​In​=0
.
2. a.Pour tout entier naturel
kkk
 non nul, calculer
Ik−1+IkI_{k-1}+I_kIk−1​+Ik​
.b.En déduire que
lim⁡n→+∞∑k=1n(−1)k−1k=ln⁡2\displaystyle\underset{n\rightarrow+\infty}{\lim} \sum_{k=1}^n\dfrac{(-1)^{k-1}}{k}=\ln2n→+∞lim​k=1∑n​k(−1)k−1​=ln2
.

Suite doublement indexée

Soit
nnn
 et
ppp
 deux entiers naturels. On pose
In,p=∫01xn(1−x)pdxI_{n,p}=\displaystyle\int_0^1x^n(1-x)^p\text dxIn,p​=∫01​xn(1−x)pdx
.
1.À l'aide d'une intégration par parties, montrer que,
∀n∈N, ∀p∈N∗, In,p=pn+1In+1,p−1\forall n\in\mathbb{N},\,\forall p\in\mathbb{N}^{*},\,I_{n,p}=\dfrac{p}{n+1}I_{n+1,p-1}∀n∈N,∀p∈N∗,In,p​=n+1p​In+1,p−1​
. En itérant le procédé, on peut montrer que
∀n∈N, ∀p∈N, In,p=n!p!(n+p)!In+p,0\forall n\in\mathbb{N},\,\forall p\in\mathbb{N},\,I_{n,p}=\dfrac{n!p!}{(n+p)!}I_{n+p,0}∀n∈N,∀p∈N,In,p​=(n+p)!n!p!​In+p,0​
.
2.En déduire que 
∀n∈N, ∀p∈N, In,p=n!p!(n+p+1)!\forall n\in\mathbb{N},\,\forall p\in\mathbb{N},\,I_{n,p}=\dfrac{n!p!}{(n+p+1)!}∀n∈N,∀p∈N,In,p​=(n+p+1)!n!p!​
.
3.a. Démontrer que, pour tout entier naturel
nnn
,
In,n=12n+1∏k=1nkn+k\displaystyle I_{n,n}=\dfrac{1}{2n+1}\prod_{k=1}^n\dfrac{k}{n+k}In,n​=2n+11​k=1∏n​n+kk​
.b. En déduire que, pour tout entier naturel
nnn
, 
0⩽In,n⩽12n+10\leqslant I_{n,n} \leqslant \dfrac{1}{2n+1}0⩽In,n​⩽2n+11​
 puis déterminer la limite de 
(In,n)(I_{n,n})(In,n​)
.

Limite d'une intégrale

Soit
fff
 une fonction dérivable et de dérivée continue sur
[0;1][0;1][0;1]
.
L'objectif de cet exercice est d'étudier la limite, quand
nnn
 tend vers
+∞+\infty+∞
, de
n∫01f(x)xn\mboxdxn{\displaystyle \int_{0}^{1}f(x)x^{n}\mbox{d}x}n∫01​f(x)xn\mboxdx
.
On admet le théorème suivant : toute fonction continue sur un segment (intervalle fermé borné) est bornée et atteint ses bornes. Autrement dit, si une fonction
fff
est définie et continue sur un intervalle
[a ; b][a~;~b][a ; b]
, alors il existe deux réels
MMM
 et
mmm
tels que, pour tout
xxx
de
[a ; b][a~;~b][a ; b]
,
m⩽f(x)⩽Mm\leqslant f(x)\leqslant Mm⩽f(x)⩽M
.
1.Montrer que
∫01f(x)xn\mboxdx=f(1)n+1−1n+1∫01f′(x)xn+1\mboxdx{\displaystyle \int_{0}^{1}f(x)x^{n}\mbox{d}x}=\dfrac{f(1)}{n+1}-{\displaystyle \dfrac{1}{n+1}\int_{0}^{1}f'(x)x^{n+1}\mbox{d}x}∫01​f(x)xn\mboxdx=n+1f(1)​−n+11​∫01​f′(x)xn+1\mboxdx
.
2.Démontrer que
lim⁡n→+∞∫01f′(x)xn+1\mboxdx=0\displaystyle\underset{n\rightarrow+\infty}{\lim}\int_{0}^{1}f'(x)x^{n+1}\mbox{d}x=0n→+∞lim​∫01​f′(x)xn+1\mboxdx=0
.
3.En déduire la limite de 
(n∫01f(x)xn\mboxdx)\left(n{\displaystyle \int_{0}^{1}f(x)x^{n}\mbox{d}x}\right)(n∫01​f(x)xn\mboxdx)
.

☆ Intégrale et somme

Pour tout entier naturel
nnn
, on pose
In=∫01(1−t2)n\mboxdtI_{n}={\displaystyle \int_{0}^{1}\left(1-t^{2}\right)^{n}\mbox{d}t}In​=∫01​(1−t2)n\mboxdt
.
1.À l'aide d'une intégration par parties, montrer que
In+1=(2n+2)∫01t2(1−t2)n\mboxdtI_{n+1}=(2n+2){\displaystyle \int_{0}^{1}t^2\left(1-t^{2}\right)^{n}\mbox{d}t}In+1​=(2n+2)∫01​t2(1−t2)n\mboxdt
.
2.En déduire que
In+1=2n+22n+3InI_{n+1}=\dfrac{2n+2}{2n+3}I_nIn+1​=2n+32n+2​In​
.
3.Calculer la valeur de
InI_nIn​
.
4.En déduire la valeur de
Sn=∑k=0n(−1)k2k+1(nk)S_n=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dfrac{(-1)^{k}}{2k+1}\binom{n}{k}Sn​=k=0∑n​2k+1(−1)k​(kn​)
.

Quand les bornes varient

On considère la fonction
fff
 définie par
f(x)=∫xx2dtln⁡tf(x)={\displaystyle \int_{x}^{x^{2}}\dfrac{\text{d}t}{\ln t}}f(x)=∫xx2​lntdt​
.
1.Démontrer que
fff
 est définie sur l'intervalle
]1 ;+∞[]1~;+\infty[]1 ;+∞[
.
2.Démontrer que 
fff
est dérivable sur 
]1 ;+∞[]1~;+\infty[]1 ;+∞[
et montrer que 
f′(x)=x−1ln⁡xf'(x)=\dfrac{x-1}{\ln x}f′(x)=lnxx−1​
.
3.Déterminer
lim⁡x→+∞f(x)\underset{x\rightarrow+\infty}{\lim}f(x)x→+∞lim​f(x)
.

☆ Point fixe

Soit
fff
 une fonction continue sur
[0 ;1][0~;1][0 ;1]
 telle que
∫01f(x)\mboxdx=12{\displaystyle \int_{0}^{1}f(x)\mbox{d}x=\dfrac{1}{2}}∫01​f(x)\mboxdx=21​
.
Démontrer que
fff
 admet un point fixe (c'est-à-direqu'il existe un réel
xxx
de \([0~;1]\)tel que
f(x)=xf(x)=xf(x)=x
).