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1.Résoudresur\(]-\pi~;~\pi]\) l'équation

Sommaire

☛ Résolution d'équations avec cosinus (1)Résolution d'équations avec cosinus (2)☛ Résolution d'équations avec sinus (1)Résolution d'équations avec sinus (2)☛ Résolution d'inéquation avec cosinus (1)Résolution d'inéquations avec cosinus (2)☛ Résolution d'inéquation avec sinus (1)Résolution d'inéquations avec sinus (2)Étudier une périodicitéÉtudier une paritéCalculs de dérivéesFonctions trigonométriques et intégrales

☛ Résolution d'équations avec cosinus (1)

Énoncé
1.Résoudresur\(]-\pi~;~\pi]\) l'équation
cos⁡(x)=32\cos\left(x\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}cos(x)=23​​
.
2.En déduire les solutions sur \(\mathbb{R}\)de l'équation
cos⁡(x)=32\cos\left(x\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}cos(x)=23​​
.
Solution
1.On a représenté ci-dessous le cercle trigonométrique.
Les solutions sur 
]−π ;π]]-\pi \ ;\pi]]−π ;π]
de
cos⁡(x)=32\cos\left(x\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}cos(x)=23​​
 sont
−π6-\dfrac{\pi}{6}−6π​
 et
π6\dfrac{\pi}{6}6π​
.
2.La fonction cosinus étant
2π2\pi2π
-périodique, pour tout entier relatif
k,k,k,
cos⁡(−π6+2kπ)=cos⁡(−π6)=32\cos \left(-\dfrac{\pi}{6}+2k\pi \right)=\cos\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}cos(−6π​+2kπ)=cos(−6π​)=23​​
cos⁡(π6+2kπ)=cos⁡(π6)=32\cos \left(\dfrac{\pi}{6}+2k\pi \right)=\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}cos(6π​+2kπ)=cos(6π​)=23​​
Les solutions sur
R\mathbb{R}R
 de l'équation
cos⁡(x)=32\cos\left(x\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}cos(x)=23​​
  sont les réels
−π6+2kπ-\dfrac{\pi}{6}+2k\pi−6π​+2kπ
 et
π6+2kπ\dfrac{\pi}{6}+2k\pi6π​+2kπ
, où 
kkk
est unentier relatif.

Résolution d'équations avec cosinus (2)

1.Résoudre sur
]−π ; π]]-\pi~;~\pi]]−π ; π]
 les équations suivantes.
    a.
cos⁡(x)=−12\cos(x)=-\dfrac{1}{2}cos(x)=−21​
    b.
2cos⁡(x)−2=02\cos(x)-\sqrt{2}=02cos(x)−2​=0
    c.
cos⁡(x)(2cos⁡(x)+3)=0\cos(x)\left(2\cos(x)+\sqrt{3}\right)=0cos(x)(2cos(x)+3​)=0
    d.
2cos⁡2(x)+cos⁡(x)−1=02\cos^2(x)+\cos(x)-1=02cos2(x)+cos(x)−1=0
2.Déterminer les solutions sur
R\mathbb{R}R
des équations précédentes.

☛ Résolution d'équations avec sinus (1)

Énoncé
1.Résoudre sur
]−π ; π]]-\pi~;~\pi]]−π ; π]
 l'équation
sin⁡(x)=−22\sin\left(x\right)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}sin(x)=−22​​
.
2.En déduire les solutionssur \(\mathbb{R}\)de l'équation
sin⁡(x)=−22\sin\left(x\right)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}sin(x)=−22​​
.
Solution
1.On a représenté ci-dessous le cercle trigonométrique.
Les solutions sur \(]-\pi~ ;~ \pi]\) de
sin⁡(x)=−22\sin\left(x\right)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}sin(x)=−22​​
 sont
−π4-\dfrac{\pi}{4}−4π​
 et
−3π4-\dfrac{3\pi}{4}−43π​
.
2.La fonction sinus étant
2π2\pi2π
-périodique, pour tout entier relatif
k,k,k,
sin⁡(−π4+2kπ)=sin⁡(−π4)=−22\sin \left(-\dfrac{\pi}{4}+2k\pi \right)=\sin\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}sin(−4π​+2kπ)=sin(−4π​)=−22​​
sin⁡(−3π4+2kπ)=sin⁡(−3π4)=−22\sin \left(-\dfrac{3\pi}{4}+2k\pi \right)=\sin\left(-\dfrac{3\pi}{4}\right)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}sin(−43π​+2kπ)=sin(−43π​)=−22​​
Les solutions sur
R\mathbb{R}R
 de l'équation 
sin⁡(x)=−22\sin\left(x\right)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}sin(x)=−22​​
 sont les réels
−π4+2kπ-\dfrac{\pi}{4}+2k\pi−4π​+2kπ
 et
−3π4+2kπ-\dfrac{3\pi}{4}+2k\pi−43π​+2kπ
, où\(k\) est un entier relatif.

Résolution d'équations avec sinus (2)

1.Résoudre sur
]−π ; π]]-\pi~;~\pi]]−π ; π]
 les équations suivantes.
    a.
sin⁡(x)=32\sin(x)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}sin(x)=23​​
    b.
2sin⁡(x)−2=02\sin(x)-\sqrt{2}=02sin(x)−2​=0
    c.
esin⁡(x)=1\text{e}^{\sin(x)}=1esin(x)=1
    d.
2sin⁡2(x)−sin⁡(x)−1=02\sin^2(x)-\sin(x)-1=02sin2(x)−sin(x)−1=0
2.Déterminer les solutions sur
R\mathbb{R}R
 des équations précédentes.

☛ Résolution d'inéquation avec cosinus (1)

Énoncé
Résoudre sur
]−π ; π]]-\pi~;~\pi]]−π ; π]
 l'inéquation
cos⁡(x)⩽12\cos(x)\leqslant \dfrac{1}{2}cos(x)⩽21​
.
Solution
On peut s'aider d'un cercle trigonométrique pour trouver l'ensemble de solutions.
Il s'agit ici de donner l'ensemble des réels de 
]−π ; π]]-\pi~;~\pi]]−π ; π]
 dont les points bleus du cercle sont les images, après enroulement de la droitedes réels sur lecercle trigonométrique.
L'ensemble des solutions est
]−π ;−π3]∪[π3 ; π]\left]-\pi~;-\dfrac{\pi}{3}\right] \cup \left[\dfrac{\pi}{3}~;~\pi \right]]−π ;−3π​]∪[3π​ ; π]
.

Résolution d'inéquations avec cosinus (2)

Résoudre sur
]−π ; π]]-\pi~;~\pi]]−π ; π]
 les inéquations suivantes.
1.
cos⁡(x)<32\cos(x)<\dfrac{\sqrt{3}}{2}cos(x)<23​​
2.
2cos⁡(x)+2⩽02\cos(x)+\sqrt{2}\leqslant 02cos(x)+2​⩽0
3.
cos⁡(x)>0\cos(x)>0cos(x)>0
4.
2cos⁡(x)+1⩾02\cos(x)+1\geqslant 02cos(x)+1⩾0

☛ Résolution d'inéquation avec sinus (1)

Énoncé
Résoudre sur
]−π ; π]]-\pi~;~\pi]]−π ; π]
 l'inéquation
sin⁡(x)⩽12\sin(x)\leqslant \dfrac{1}{2}sin(x)⩽21​
.
Solution
On peut s'aider d'un cercle trigonométrique pour trouver l'ensemble de solutions.
Il s'agit icide donner l'ensemble des réels de 
]−π ; π]]-\pi~;~\pi]]−π ; π]
 dont les points bleus du cercle sont les images, après enroulement de la droitedes réels sur lecercle trigonométrique.
L'ensemble des solutions est
]−π ; π6]∪[5π6 ; π]\left]-\pi~;~\dfrac{\pi}{6}\right] \cup \left[\dfrac{5\pi}{6}~;~\pi \right]]−π ; 6π​]∪[65π​ ; π]
.

Résolution d'inéquations avec sinus (2)

Résoudre sur
]−π ; π]]-\pi~;~\pi]]−π ; π]
 les inéquations suivantes.
1.
sin⁡(x)<−12\sin(x)<-\dfrac{1}{2}sin(x)<−21​
2.
3−2sin⁡(x)⩾0\sqrt{3}-2\sin(x)\geqslant 03​−2sin(x)⩾0
3.
sin⁡(x)>0\sin(x)> 0sin(x)>0
4.
2+2sin⁡(x)⩾0\sqrt{2}+2\sin(x)\geqslant 02​+2sin(x)⩾0

Étudier une périodicité

Dans chacun des cas suivants, démontrer que la fonction
fff
 est
TTT
-périodique.
1.
fff
 est la fonction définie sur
R\mathbb{R}R
 par
f(x)=3cos⁡(2x−π4)f(x)=3\cos\left(2x-\dfrac{\pi}{4}\right)f(x)=3cos(2x−4π​)
 et
T=πT=\piT=π
.
2.
fff
 est la fonction définie sur
R\mathbb{R}R
 par
f(x)=sin⁡(4x)f(x)=\sin\left(4x\right)f(x)=sin(4x)
 et
T=π2T=\dfrac{\pi}{2}T=2π​
.
3.
fff
 est la fonction définie sur
R\mathbb{R}R
 par
f(x)=sin⁡(x)ecos⁡(x)f(x)=\sin(x)\text{e}^{\cos(x)}f(x)=sin(x)ecos(x)
 et
T=2πT=2\piT=2π
.

Étudier une parité

Dans chacun des cas suivants, étudier la parité de la fonction 
fff
.
1.
fff
 est la fonction définie sur
R\mathbb{R}R
 par
f(x)=sin⁡3(x)f(x)=\sin^3(x)f(x)=sin3(x)
.
2.
fff
 est la fonction définie sur
]−π2 ; π2[\left]-\dfrac{\pi}{2}~;~\dfrac{\pi}{2}\right[]−2π​ ; 2π​[
 par
f(x)=ln⁡(cos⁡(x))f(x)=\ln\left(\cos(x)\right)f(x)=ln(cos(x))
.
3.
fff
 est la fonction définie sur
R\mathbb{R}R
 par
f(x)=3cos⁡2(x)−cos⁡(4x)f(x)=3\cos^2(x)-\cos(4x)f(x)=3cos2(x)−cos(4x)
.

Calculs de dérivées

Dans chacun des cas suivants, calculer
f′(x)f'(x)f′(x)
.
1.
fff
 est définie sur
R\mathbb{R}R
 par
f(x)=x3cos⁡(x)f(x)=x^3\cos(x)f(x)=x3cos(x)
.
2.
fff
 est définie sur
R\mathbb{R}R
 par
f(x)=sin⁡(x)cos⁡(x)f(x)=\sin(x)\cos(x)f(x)=sin(x)cos(x)
.
3.
fff
 est définie sur
R\mathbb{R}R
 par
f(x)=5cos⁡2(x)−cos⁡(3x)f(x)=5\cos^2(x)-\cos(3x)f(x)=5cos2(x)−cos(3x)
.
4.
fff
 est définie sur
R\mathbb{R}R
 par
f(x)=2sin⁡(4x−π5)f(x)=2\sin\left(4x-\dfrac{\pi}{5}\right)f(x)=2sin(4x−5π​)
.
5.
fff
 est définie sur
R\mathbb{R}R
 par
f(x)=3cos⁡(9−4x)f(x)=3\cos\left(9-4x\right)f(x)=3cos(9−4x)
.

Fonctions trigonométriques et intégrales

Exercice 1
Dans chacun des cas suivants, calculer l'intégrale proposée.
1.
I=∫0π4cos⁡(2x)  dxI=\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}} \cos(2x)\;\text d xI=∫04π​​cos(2x)dx
2.
J=∫−ππ2(x−sin⁡(x))  dxJ=\displaystyle \int_{-\pi}^{\frac{\pi}{2}}(x- \sin(x))\;\text d xJ=∫−π2π​​(x−sin(x))dx
3.
K=∫0π3sin⁡(x)cos⁡(x)  dxK=\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{3}} \sin(x)\cos(x)\;\text d xK=∫03π​​sin(x)cos(x)dx
Exercice 2
Déterminer, en justifiant, la bonne réponse parmi celles proposées.
La valeur moyenne de la fonction cosinus sur 
[π2 ;π]\left[\dfrac{\pi}{2}\ ;\pi\right][2π​ ;π]
est égale à :
−2π-\dfrac{2}{\pi}−π2​
000
−1-1−1
111