Quizéo

1.On pourra intégrer par parties l’intégrale 

I

de deux façons différentes.

⚒ Courbe paramétrée

4. a.Faire varier le curseur

\text{a}_1

    b.Faire varier le curseur

\text{a}_2

 puis

\text{a}_3

.

⚒ Périodicité ?

2. On pourra chercher une solution non nulle de l'équation \(f(x)=2\) et aboutir à une contradiction.

☛ Zêta

1.

I_{0}={\displaystyle \int_{0}^{\pi/2}\cos^{0}x\mbox{d}x=\int_{0}^{\pi/2}1\mbox{d}x}=\dfrac{\pi}{2}

.

I_{1}={\displaystyle \int_{0}^{\pi/2}\cos x\mbox{d}x=\left[\sin x\right]_{0}^{\pi/2}=1}

.

J_{0}={\displaystyle \int_{0}^{\pi/2}x^{2}\mbox{d}x}=\left[\dfrac{x^3}{3}\right]_{0}^{\pi/2}=\dfrac{\pi^3}{24}

.

J_{1}={\displaystyle \int_{0}^{\pi/2}x^{2}\cos x\mbox{d}x}

.
On effectue une intégration par parties en posant

u'(x)=\cos x

et

v(x)=x^2

.
On a alors

u(x)=\sin x

et

v'(x)=2x

. 
Les fonctions

u'

et

v'

 sont continues sur

\left[0 \ ; \dfrac{\pi}{2} \right ]

 donc 

\displaystyle{J_{1}={ \int_{0}^{\pi/2}x^{2}\cos x\mbox{d}x}=\left[x^2\sin x\right]_{0}^{\pi/2}-\int_{0}^{\pi/2}2x\sin x\mbox{d}x=\dfrac{\pi^2}{4}-\int_{0}^{\pi/2}2x\sin x\mbox{d}x}

.

On refait une intégration par parties pour calculer la deuxième intégrale en posant

u'(x)=\sin x

et

v(x)=2x

. On a alors

u(x)=-\cos x

et

v'(x)=2

. 
On obtient

\displaystyle{\int_{0}^{\pi/2}2x\sin x\mbox{d}x=\left[-2x\cos x\right]_{0}^{\pi/2}+\int_{0}^{\pi/2}2\cos x\mbox{d}x}=\left[2\sin x\right]_{0}^{\pi/2}=2

.
Par conséquent

J_1=\dfrac{\pi^2}{4}-2

.

2.La fonction cosinus étant positive sur

\left[0\ ;\dfrac{\pi}{2}\right]

, il est clair que, pour tout entier naturel

n

, on a

I_n\geqslant0

.
On peut écrire par exemple que

I_{n}={\displaystyle \int_{0}^{\pi/4}\cos^{n}x\mbox{d}x+\int_{\pi/4}^{\pi/2}\cos^{n}x\mbox{d}x}

.
Pour tout réel

x\in\left[0;\dfrac{\pi}{4}\right]

,

\cos^n x>0

 donc

{\displaystyle \int_{0}^{\pi/4}\cos^{n}x\mbox{d}x}>0

.
Comme

{\displaystyle \int_{\pi/4}^{\pi/2}\cos^{n}x\mbox{d}x}\geqslant 0

, alors

I_n>0

.

3.

I_{n+2}={\displaystyle \int_{0}^{\pi/2}\cos^{n+2}x\mbox{d}x}

. 
On effectue une intégration par parties en posant

u'(x)=\cos x

et

v(x)=\cos ^{n+1}x

.
On a alors

u(x)=\sin x

et

v'(x)=-(n+1)\cos^n x \sin x

.

\displaystyle{I_{n+2}= \left[\sin x\cos ^{n+1} x\right]_{0}^{\pi/2}-\int_{0}^{\pi/2}-(n+1)\cos^{n}x\sin^2 x\mbox{d}x=(n+1)\int_{0}^{\pi/2}\cos^{n}x\sin^2 x\mbox{d}x}

. 
Mais

\sin^2 x=1-\cos^2x

 donc

\displaystyle{I_{n+2}=(n+1)\int_0^{\pi/2}\cos^n x\left(1-\cos^2 x\right)\mbox{d}x=(n+1)\left(\int_0^{\pi/2}\cos^n x\mbox{d}x-\int_0^{\pi/2}\cos^{n+2} x\mbox{d}x\right)}

Donc

I_{n+2}=(n+1)\left(I_n-I_{n+2}\right)

 soit

\left(1+n+1\right)I_{n+2}=(n+1)I_n

D'où, pour tout entier naturel

n

, on a bien

I_{n+2}=\dfrac{n+1}{n+2}I_{n}

.

4. a.Il est clair que

x\geqslant0

 pour tout

x\in\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]

.
De plus, la fonction sinus est concave sur l'intervalle

\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]

.
En effet, pour tout réel 

x

de

\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right], \ \sin''(x)=-\sin(x)\leqslant0

.
La courbe représentative de la fonction sinus est au-dessus de ses cordes, en particulier celle reliant les points

\mbox A\left(0\ ; \sin 0\right)

et

\mbox B\left(\dfrac{\pi}{2}\ ; \sin \left(\dfrac{\pi}{2}\right)\right)

, soit encore

\mbox A\left(0\ ; 0\right)

et

\mbox B\left(\dfrac{\pi}{2}\ ; 1\right)

.
La droite

(\mbox {AB})

 ayant pour équation

y=\dfrac {2}{\pi}x

, on en déduit que, pour tout réel

x

 de\(\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]\), on a 

\dfrac {2}{\pi}x\leqslant\sin x

.
Ainsi, pour tout

x\in\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]

,

0\leqslant x\leqslant\dfrac{\pi}{2}\sin x

.

b.La fonction carré est croissante sur

\mathbb R_+

 donc, pour tout

x\in\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]

,

0\leqslant x^2\leqslant\dfrac{\pi^2}{4}\sin^2 x

.
En multipliant par

\cos^n x

, quantité positive sur 

\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]

, on obtient, pour tout entier naturel

n

,

0\leqslant x^2\cos^n x\leqslant\dfrac{\pi^2}{4}\cos^n x\sin^2 x

, soit encore

0\leqslant x^2\cos^n x\leqslant\dfrac{\pi^2}{4}\cos^n x\left(1-\cos^2 x\right)

 puis 

0\leqslant x^2\cos^n x\leqslant\dfrac{\pi^2}{4}\left(\cos^n x-\cos^{n+2}x\right)

.
En intégrant sur l'intervalle

\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]

, on obtient

0\leqslant J_{n}\leqslant\dfrac{\pi^{2}}{4}\left(I_{n}-I_{n+2}\right)

.

c.En divisant les membres des inégalités précédentes par 

I_n

(

I_n>0

 d'après2), on obtient, pour tout entier naturel

n

,

0\leqslant \dfrac{J_{n}}{I_n}\leqslant\dfrac{\pi^{2}}{4}\left(1-\dfrac{I_{n+2}}{I_n}\right)

.
Mais, d'après3,

\dfrac{I_{n+2}}{I_n}=\dfrac{n+1}{n+2}

. Donc

0\leqslant \dfrac{J_{n}}{I_n}\leqslant\dfrac{\pi^{2}}{4}\left(1-\dfrac{{n+1}}{n+2}\right)

, ce qui peut encore s'écrire 

0\leqslant \dfrac{J_{n}}{I_n}\leqslant\dfrac{\pi^{2}}{4}\times \dfrac{{1}}{n+2}

.

Comme

\underset{n\rightarrow+\infty}{\lim}\dfrac{\pi^{2}}{4}\times\dfrac{1}{n+2}=0

, alors, d'après le théorème des gendarmes,

\underset{n\rightarrow+\infty}{\lim}\dfrac{J_{n}}{I_{n}}=0

.

5.a.On effectue une première intégration par parties en posant

u'(x)=1

et

v(x)=\cos ^{k+2}x

. On a alors

u(x)=x

et

v'(x)=-(k+2)\cos^{k+1} x \sin x

. On en déduit que :

\begin{array}{ccl}I_{k+2} & = & {\displaystyle \int_{0}^{\pi/2}\cos^{k+2}x\mbox{d}x}\\ & = & \left[x\cos^{k+2}x\right]_{0}^{\pi/2}+(k+2){\displaystyle \int_{0}^{\pi/2}x\cos^{k+1}x\sin x\mbox{d}x}\\ & = & (k+2){\displaystyle \int_{0}^{\pi/2}x\cos^{k+1}x\sin x\mbox{d}x}\end{array}

On effectue une deuxième intégration par parties en posant

u'(x)=x

et

v(x)=\cos ^{k+1}x\sin x

.
On a alors

u(x)=\dfrac {x^2}{2}

et

v'(x)=-(k+1)\cos ^{k}x\sin^2 x+\cos^{k+1}x\cos x

, que l'on peut écrire sous la forme 

v'(x)=-(k+1)\cos ^{k}x\left(1-\cos^2 x\right)+\cos^{k+2}x

ou encore  

v'(x)=-(k+1)\cos^{k}x+(k+2)\cos ^{k+2}x

. On en déduit que :

\begin{array}{ccl}{\displaystyle \int_{0}^{\pi/2}x\cos^{k+1}\sin x\mbox{d}x} & = & \left[\dfrac{x^{2}}{2}\cos^{k+1}x\sin x\right]_{0}^{\pi/2}-{\displaystyle \int_{0}^{\pi/2}\dfrac{x^{2}}{2}\left(-(k+1)\cos^{k}x+(k+2)\cos^{k+2}x\right)\mbox{d}x}\\ & = & (k+1){\displaystyle \int_{0}^{\pi/2}\dfrac{x^{2}}{2}\cos^{k}\mbox{d}x-(k+2){\displaystyle \int_{0}^{\pi/2}\dfrac{x^{2}}{2}\cos^{k+2}\mbox{d}x}}\\ & = & (k+1)\dfrac{J_{k}}{2}-(k+2)\dfrac{J_{k+2}}{2}\end{array}

Par conséquent, 

I_{k+2}=\dfrac{(k+1)(k+2)J_{k}-(k+2)^{2}J_{k+2}}{2}

.

b.De la question précédente, on déduit que

\dfrac{1}{(k+2)^2}=\dfrac12\left( \dfrac{k+1}{k+2}\times\dfrac{J_{k}}{I_{k+2}}-\dfrac{J_{k+2}}{I_{k+2}}\right)

.

Or, d'après3,

I_{k+2}=\dfrac{k+1}{k+2}I_k

 donc

\dfrac{1}{\left(k+2\right)^{2}}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{J_{k}}{I_{k}}-\dfrac{J_{k+2}}{I_{k+2}}\right)

.

c.En sommant de

k=0

à

n-2

, on obtient :

\begin{array}{ccl}{\displaystyle \sum_{k=0}^{n-2}\dfrac{1}{(k+2)^{2}}} & = & \displaystyle\sum_{k=0}^{n-2}\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{J_{k}}{I_{k}}-\dfrac{J_{k+2}}{I_{k+2}}\right)\\ & = & \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{J_{0}}{I_{0}}+\dfrac{J_{1}}{I_{1}}-\dfrac{J_{n-1}}{I_{n-1}}-\dfrac{J_{n}}{I_{n}}\right)\,\,\,\,\,\,\,\text{par télescopage}\end{array}

De plus, 

\displaystyle \sum_{k=0}^{n-2}\dfrac{1}{(k+2)^2}=\sum_{k=2}^{n}\dfrac{1}{k^2}=S_n-1

. Donc

S_n=1+\dfrac12\left( \dfrac{\dfrac{\pi^3}{24}}{\dfrac{\pi}{2}}+\dfrac{\pi^2}{4}-2-\dfrac {J_{n-1}}{I_{n-1}}-\dfrac {J_n}{I_n}\right)=\dfrac{\pi^2}{6}-\dfrac12\left(\dfrac {J_{n-1}}{I_{n-1}}-\dfrac {J_n}{I_n}\right)

.
Comme 

\underset{n\rightarrow+\infty}{\lim}\dfrac{J_{n-1}}{I_{n-1}}=\underset{n\rightarrow+\infty}{\lim}\dfrac{J_{n}}{I_{n}}=0

 (question4c), alors la suite

\left(S_{n}\right)

 converge vers

\dfrac{\pi^{2}}{6}

.

Remarque

On a donc montré que

1+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{4^2}+...=\dfrac{\pi^2}{6}

 que l'on peut écrire sous la forme dite d'une somme de série

\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n^2}=\dfrac{\pi^2}{6}

. Ce nombre, noté

\zeta(2)

, n'est qu'un cas particulier de la fonction de Riemann

\displaystyle\zeta(s)=\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n^{s}}

, où

s

 est un réel strictement supérieur à

1

.

On sait par exemple que

\zeta(4)=\dfrac{\pi^4}{90}

, mais on ne connaît pas de valeur explicite pour

\zeta(3)

. En 1978, le français Roger Apéry a « simplement » montré que 

\zeta(3)

était un nombre irrationnel. Alors... À vos stylos !!

☆ À n'ouvrir qu'en cas d'urgence ☆

⚒ Calculs d'intégrales

⚒ Courbe paramétrée

⚒ Périodicité ?

☛ Zêta