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Exercices vers le supérieur

On admet que, pour tous réels

Sommaire

Formules d'addition☆ Calculs d'intégralesComposée et fonction inconnueFonction arcsinus☆ Courbe paramétrée☆ Périodicité ?Intégrales de Wallis☆ Zêta

Formules d'addition

On admet que, pour tous réels
aaa
 et
bbb
, on a
cos⁡(a+b)=cos⁡(a)cos⁡(b)−sin⁡(a)sin⁡(b)\cos(a+b)=\cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b)cos(a+b)=cos(a)cos(b)−sin(a)sin(b)
.
1. a.Déterminer une formule analogue pour
cos⁡(a−b)\cos(a-b)cos(a−b)
.
    b.En déduire la valeur exacte de 
cos⁡(π12)\cos\left(\dfrac{\pi}{12}\right)cos(12π​)
.
2. a.On rappelle que, pour tout réel
xxx
, on a
sin⁡(x)=cos⁡(π2−x)\sin(x)=\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)sin(x)=cos(2π​−x)
. Montrer que, pour tous réels
aaa
 et
bbb
, on a
sin⁡(a+b)=sin⁡(a)cos⁡(b)+sin⁡(b)cos⁡(a)\sin(a+b)=\sin(a)\cos(b)+\sin(b)\cos(a)sin(a+b)=sin(a)cos(b)+sin(b)cos(a)
.
    b.Déterminer une formule analogue pour
sin⁡(a−b)\sin(a-b)sin(a−b)
.
4. a.À l'aide des questions précédentes, montrer que, pour tout réel
xxx
,
sin⁡(2x)=2sin⁡(x)cos⁡(x)\sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)sin(2x)=2sin(x)cos(x)
cos⁡(2x)=2cos⁡2(x)−1\cos(2x)=2\cos^2(x)-1cos(2x)=2cos2(x)−1
cos⁡(2x)=1−2sin⁡2(x)\cos(2x)=1-2\sin^2(x)cos(2x)=1−2sin2(x)
    b.En déduire la valeur exacte de
cos⁡(π8)\cos\left(\dfrac{\pi}{8}\right)cos(8π​)
 et
sin⁡(π8)\sin\left(\dfrac{\pi}{8}\right)sin(8π​)
.

☆ Calculs d'intégrales

Soit les deux intégrales définies par
I=∫0πexsin⁡(x)  dxI=\displaystyle \int_0^{\pi} \text{e}^x\sin(x)\;\text d xI=∫0π​exsin(x)dx
 et
J=∫0πexcos⁡(x)  dxJ=\displaystyle \int_0^{\pi} \text{e}^x\cos(x)\;\text d xJ=∫0π​excos(x)dx
.
1.Démontrer que
I=−JI = -JI=−J
et que
I=J+eπ+1I = J + \text{e}^π + 1I=J+eπ+1
.
2.En déduire les valeurs exactes de 
III
et de
JJJ
.

Composée et fonction inconnue

On désigne par 
ggg
lafonction définie sur
]−1 ; 1[] - 1~ ;~ 1[]−1 ; 1[
par
g(0)=0g (0) = 0g(0)=0
et
g′(x)=11−x2g'(x) = \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}g′(x)=1−x2​1​
, où
g′g'g′
 désigne la dérivée de la fonction 
ggg
sur
]−1 ; 1[] - 1 ~;~ 1[]−1 ; 1[
.
On necherchepasici à expliciter
g(x)g (x)g(x)
.
On considère la fonction composée 
hhh
définie sur
]−π ; 0[] - \pi ~;~ 0[]−π ; 0[
par
h(x)=g(cos⁡(x))h(x) = g (\cos (x))h(x)=g(cos(x))
.
1.Démontrer que, pour tout réel 
xxx
de l'intervalle 
]−π ; 0[] - \pi ~;~ 0[]−π ; 0[
, on a
h′(x)=1h'(x) = 1h′(x)=1
.
2.Calculer 
h(−π2)h\left(- \dfrac{π}{2}\right)h(−2π​)
puis donner l’expression de
h(x)h(x)h(x)
.

Fonction arcsinus

1.Donner le tableau de variations de la fonction sinus sur
[−π2 ; π2]\left[-\dfrac{\pi}{2}~;~\dfrac{\pi}{2}\right][−2π​ ; 2π​]
.
2.Soit
yyy
 un réel appartenant à
[−1 ; 1][-1~;~ 1][−1 ; 1]
. Montrer qu'il existe un unique réel
xxx
 appartenant à \(\left[-\dfrac{\pi}{2}~;~\dfrac{\pi}{2}\right]\)et tel que
sin⁡(x)=y\sin(x)=ysin(x)=y
.
On définit ainsi, sur
[−1 ; 1][-1 \ ;\ 1][−1 ; 1]
, une nouvelle fonction appeléearcsinus et notée
arcsin⁡\arcsinarcsin
.
Pour tout réel
xxx
 de
[−π2 ; π2]\left[-\dfrac{\pi}{2}~;~\dfrac{\pi}{2}\right][−2π​ ; 2π​]
 et tout réel
yyy
 de
[−1 ; 1][-1~ ;~ 1][−1 ; 1]
, on a donc
sin⁡(x)=y⇔x=arcsin⁡(y)\sin(x)=y \Leftrightarrow x=\arcsin(y)sin(x)=y⇔x=arcsin(y)
.
3. a.Montrer que, pour tout réel
xxx
 de
[−1 ; 1][-1~;~1][−1 ; 1]
, on a
cos⁡(arcsin⁡(x))=1−x2\cos\left(\arcsin(x)\right)=\sqrt{1-x^2}cos(arcsin(x))=1−x2​
.
    b.On admet que la fonctionarcsinusest dérivable sur
]−1 ; 1[]-1~;~1[]−1 ; 1[
. Montrer que, pour tout réel
xxx
 de l'intervalle
]−1 ; 1[]-1~;~ 1[]−1 ; 1[
, on a
arcsin⁡′(x)=11−x2\arcsin^{\prime}(x)=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}arcsin′(x)=1−x2​1​
.
    c.En déduire les variations de la fonctionarcsinussur l'intervalle 
[−1 ; 1][-1~ ;~ 1][−1 ; 1]
.

☆ Courbe paramétrée

Dans cet exercice, le plan est rapporté à un repère orthonormé
(O ;i⃗,j⃗)(\text{O}~;\vec{i},\vec{j})(O ;i,j​)
 d'unité
444
cm.
On considère les fonctions
xxx
 et
yyy
 définies sur
R\mathbb{R}R
 par 
x(t)=sin⁡(t)x(t)=\sin(t)x(t)=sin(t)
et
y(t)=sin⁡(2t)y(t)=\sin(2t)y(t)=sin(2t)
.
On note 
Γ\GammaΓ
l'ensemble des points
M(t)\text{M}(t)M(t)
 du plan de coordonnées
(x(t) ; y(t))\left(x(t)~;~y(t)\right)(x(t) ; y(t))
, où
ttt
 décrit
R\mathbb{R}R
.
Γ\GammaΓ
 est appelé courbe paramétrée du plan.
1. a.Montrer que, pour tout réel
ttt
, les points
M(t+2π)\text{M}(t+2\pi)M(t+2π)
 et
M(t)\text{M}(t)M(t)
 sont confondus.
    b.Montrer que, pour tout réel
ttt
, les points
M(t+π)\text{M}(t+\pi)M(t+π)
 et
M(t)\text{M}(t)M(t)
 sont symétriques par rapport à l'axe des ordonnées.
    c.Montrer que, pour tout réel
ttt
, les points
M(−t)\text{M}(-t)M(−t)
 et
M(t)\text{M}(t)M(t)
 sont symétriques par rapport à l'origine du repère.
    d.Expliquer pourquoi on peut limiter l'étude des fonctions
xxx
 et
yyy
 à l'intervalle
[0 ; π2]\left[0~;~ \dfrac{\pi}{2}\right][0 ; 2π​]
.
2.Étudier les variations des fonctions
xxx
 et
yyy
 sur l'intervalle
[0 ; π2]\left[0~;~ \dfrac{\pi}{2}\right][0 ; 2π​]
.
3.Soit
t0t_0t0​
 un réel. On admet que si
(x′(t0) ;y′(t0))≠(0 ;0)(x'(t_0)\ ; y'(t_0)) \neq (0\ ;0)(x′(t0​) ;y′(t0​))=(0 ;0)
 alors
Γ\GammaΓ
 admet en
M(t0)\text{M}(t_0)M(t0​)
 une tangente dirigée par le vecteur de coordonnées
(x′(t0) ;y′(t0))(x'(t_0)\ ;y'(t_0))(x′(t0​) ;y′(t0​))
. Déterminer un vecteur directeur de la tangente à
Γ\GammaΓ
 aux points
M(0), M(π4)\text{M}(0),\ \text{M}\left(\dfrac{\pi}{4}\right)M(0), M(4π​)
 et
M(π2)\text{M}\left(\dfrac{\pi}{2}\right)M(2π​)
.
4. a.Tracer, dans le repère
(O ;i⃗,j⃗)(\text{O}~;\vec{i},\vec{j})(O ;i,j​)
 la portion de la courbe
Γ\GammaΓ
 pour 
ttt
 décrivant
[0 ; π2]\left[0~;~ \dfrac{\pi}{2}\right][0 ; 2π​]
. On prendra soin de faire figurer les vecteurs directeurs des tangentes considérées dans la question3. 
    b.Compléter la courbe précédente à l'aide des symétries évoquées dans la question 1.
Remarque
Une telle courbe est appelée courbe de Lissajous.

☆ Périodicité ?

Soit 
a \in \mathbb{R}
.
On considère la fonction 
f:x↦cos⁡(x)+cos⁡(ax)f:x\mapsto \cos(x) + \cos(a x)f:x↦cos(x)+cos(ax)
, définie sur 
R\mathbb{R}R
.
1.Montrer que si 
a
 est rationnel, alors 
f
 est périodique.
2.Montrer que si 
aaa
 est irrationnel, alors 
fff
 n'est pas périodique.

Intégrales de Wallis

Pour tout entier naturel
nnn
, on pose
wn=∫0π/2(cos⁡x)n\mboxdxw_{n}={\displaystyle \int_{0}^{\pi/2}(\cos x)^n\mbox{d}x}wn​=∫0π/2​(cosx)n\mboxdx
, que l'on peut écrire plus simplement
wn=∫0π/2cos⁡nx\mboxdxw_{n}={\displaystyle \int_{0}^{\pi/2}\cos^{n}x\mbox{d}x}wn​=∫0π/2​cosnx\mboxdx
.
1.Calculer
w0w_0w0​
 et
w1w_1w1​
.
2. a.Montrer que la suite 
(wn)\left(w_{n}\right)(wn​)
 est décroissante.
b.Montrer que, pour tout entier naturel 
nnn
, on a
wn⩾0w_{n}\geqslant0wn​⩾0
. Que peut-on en déduire ?
3.Soit
n∈Nn\in\mathbb{N}n∈N
.a.À l'aide d'une intégration par parties, montrer que 
wn+2=(n+1)∫0π/2cos⁡nxsin⁡2x\mboxdxw_{n+2}=(n+1){\displaystyle \int_{0}^{\pi/2}\cos^{n}x\sin^{2}x\mbox{d}x}wn+2​=(n+1)∫0π/2​cosnxsin2x\mboxdx
.b.En déduire que
wn+2=n+1n+2wnw_{n+2}=\dfrac{n+1}{n+2}w_{n}wn+2​=n+2n+1​wn​
.c.Démontrer que, pour tout entier naturel
nnn
, on a
w2n=π2(2n)!22n(n!)2w_{2n}=\dfrac{\pi}{2}\dfrac{\left(2n\right)!}{2^{2n}\left(n!\right)^{2}}w2n​=2π​22n(n!)2(2n)!​
 et
w2n+1=22n(n!)2(2n+1)!w_{2n+1}=\dfrac{2^{2n}\left(n!\right)^{2}}{(2n+1)!}w2n+1​=(2n+1)!22n(n!)2​
.

☆ Zêta

On définit, pour tout entier naturel
n
 non nul, la suite
(Sn)\left(S_{n}\right)(Sn​)
 par
Sn=∑nk=11k2\displaystyle S_{n}=\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}\dfrac{1}{k^{2}}Sn​=k=1∑n​​k21​
. L'objectif est de déterminer la limite de cette suite.
Pour tout entier naturel
nnn
, on pose
In=∫0π/2cos⁡nx\mboxdxI_{n}={\displaystyle \int_{0}^{\pi/2}\cos^{n}x\mbox{d}x}In​=∫0π/2​cosnx\mboxdx
 et
Jn=∫0π/2x2cos⁡nx\mboxdxJ_{n}={\displaystyle \int_{0}^{\pi/2}x^{2}\cos^{n}x\mbox{d}x}Jn​=∫0π/2​x2cosnx\mboxdx
.
1.Calculer
I0, J0, I1I_0,\, J_0,\,I_1I0​,J0​,I1​
 et
J1J_1J1​
.
2.Montrer que, pour tout entier naturel
nnn
, on a
In>0I_n>0In​>0
.
3.Établir que, pour tout entier naturel
nnn
, on a
In+2=n+1n+2InI_{n+2}=\dfrac{n+1}{n+2}I_{n}In+2​=n+2n+1​In​
.
4. a.Montrer que, pour tout
x∈[0;π2]x\in\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]x∈[0;2π​]
, on a
0⩽x⩽π2sin⁡x0\leqslant x\leqslant\dfrac{\pi}{2}\sin x0⩽x⩽2π​sinx
.b.En déduire que, pour tout entier naturel 
nnn
, on a
0⩽Jn⩽π24(In−In+2)0\leqslant J_{n}\leqslant\dfrac{\pi^{2}}{4}\left(I_{n}-I_{n+2}\right)0⩽Jn​⩽4π2​(In​−In+2​)
.c.Montrer alors que la suite de terme général 
JnIn\dfrac{J_{n}}{I_{n}}In​Jn​​
converge vers
000
.
5.Soit 
kkk
 un entier naturel.a.À l'aide d'une double intégration par parties, montrer que
Ik+2=(k+1)(k+2)Jk−(k+2)2Jk+22I_{k+2}=\dfrac{(k+1)(k+2)J_{k}-(k+2)^{2}J_{k+2}}{2}Ik+2​=2(k+1)(k+2)Jk​−(k+2)2Jk+2​​
.b.En déduire que
1(k+2)2=12(JkIk−Jk+2Ik+2)\dfrac{1}{\left(k+2\right)^{2}}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{J_{k}}{I_{k}}-\dfrac{J_{k+2}}{I_{k+2}}\right)(k+2)21​=21​(Ik​Jk​​−Ik+2​Jk+2​​)
.c.En sommant les égalités précédentes, démontrer que la suite
(Sn)\left(S_{n}\right)(Sn​)
 converge vers
π26\dfrac{\pi^{2}}{6}6π2​
.