Définition
Des épreuves aléatoires sont indépendantes si le résultat d'une des épreuves n'a aucune incidence sur le résultat d'une autre épreuve.
Exemples
1.On lance deux fois de suite un dé équilibré et on note le résultat obtenu après chaque lancer. Si le premier lancer aboutit au résultat 6, il n'y a a priori aucune raison que le second lancer ait plus ou moins de chance d'aboutir aussi au résultat 6.
2.Les tirages avec remise (dans une urne, dans un jeu de cartes, dans une population,etc.) sont des exemples d'épreuves indépendantes. En effet, le fait de remettre l'objet tiré dans l'urne (ou dans le jeu de cartes,etc.) entraîne que les conditions de réalisation des tirages sont exactement les mêmes.
Définition
Soit
n
un entier naturel.
On considère
n
épreuves aléatoires d'univers
\Omega_1
,
\Omega_2
, ...,
\Omega_n
.
La succession de ces
n
épreuves aléatoires est une expérience aléatoire dont l'univers est le produit cartésien
.
Les issues de cette expérience sont par conséquent les
n
-uplets
de
.
Exemples
1.On lance cinq fois un dé à six faces numérotées de 1 à 6 et on note le résultat après chaque lancer. L'univers de cette expérience aléatoireest `{1;2;3;4;5;6}^5`.
2.Pour sélectionner au hasard une carte dans un jeu de 32 cartes, on peut dans un premier temps tirer au hasard sa couleur puis choisir au hasard sa valeur. L'univers de la succession de ces deux épreuves est alors :
.
Probabilités dans une succession d'épreuves indépendantes
Propriété
Soit
n
un entier naturel.
On considère une succession de
n
épreuves aléatoires indépendantes, d'univers
\Omega_1
,
\Omega_2
, ...,
\Omega_n
,de lois de probabilités respectives
P_1
,
P_2
, ...,
P_n
.
Pour toute issue
de\(\Omega_1 \times \Omega_2 \times \dots \times \Omega_n\), on aalors :
.
Autrement dit, la probabilité d'une issue
est égale au produit des probabilités de chacune des composantes
i_1
,
i_2
, ...,
i_n
.
Exemple
Pour réviser le baccalauréat, un professeur souhaite interroger l'un de ses élèves au tableau.Il désigne alors au hasard l'un des 35 élèves de sa classe, parmi lesquels 15 suivent également l'optionmathématiques expertes. Il choisit ensuite un exercice au hasard : 10 sont des exercices de géométrie, 20 sont des exercices d'analyse et 10 sont des exercices de probabilités.
• La probabilité que le professeur choisisse un élève suivant l'optionmathématiques expertes est donc de
15/35
soit
3/7
.
• La probabilité que l'exercice choisi soit un exercice de probabilités vaut
10/40
soit
1/4
.
• Ces deux épreuves étant indépendantes, la probabilité que soit envoyé au tableau un élève suivant l'optionmathématiquesexpertes pour résoudre un exercice de probabilitésvaut
3/7 \times 1/4
soit
3/28
.
Remarque
Si l'onreprésenteune succession d'épreuves indépendantes sous la forme d'un arbrepondéré, on place toujoursle même sous-arbre à chaque nœud d'un étage fixé.De plus, cet arbre peut être construit « dans un sens comme dans l'autre ».
Exemple
Soit
n
un entier naturel.On considère l'expérience aléatoire correspondant aux `n`lancers d'un dé équilibre à six faces, numérotées de 1 à 6.
La probabilité de ne jamais obtenirle résultat 6 sur ces
n
lancersvaut
(5/6)^n
. En passant au complémentaire, la probabilité d'obtenir au moins une fois lerésultat6 sur ces
n
lancersvaut donc
1-(5/6)^n
.
Puisque l'on a
-1<5/6<1
,on obtient :
\lim_{n \to + \infty} (5/6)^n=0
.
Autrement dit, lorsque le nombre de lancers est grand, la probabilité d'obtenir au moins une fois le résultat 6 sur l'un des lancers est très proche de 1.
Il est alors possible de déterminer à partir de combien de lancers cette probabilité dépasse un certain seuil en utilisant par exemple un algorithme ou en faisant appel à la fonction logarithme népérien.