Propriété
Soit
n
un entier naturel et
k
un entier naturel inférieur ou égal à
n
.
Le nombre de chemins menant à
k
succès dans un schéma de Bernoulli à
n
épreuvesvaut
.
Exemple
On considère un schéma de Bernoulli à 5 épreuves. Le nombre de chemins menant à 3 succès est alors
.
Si l'on note S le succès et E l'échec, ces chemins sont SSSEE, SSESE, SSEES, SESSE, SESES, SEESS, ESSSE, ESSES, ESESS, EESSS.
Loi binomiale
Définition
Soit
n
un entier naturel et
p\in[0;1].
On considère un schéma de Bernoulli de paramètres
n
et
p
.
Onappelle
X
la variable aléatoire qui compte le nombre de succès obtenus dans ce schéma de Bernoulli.
On dit alors que
X
suit une loi binomiale de paramètres
n
et
p
.On note :
Remarques
• La variable aléatoire
X
est donc à valeurs dans
{0 ; 1 ; 2 ; ...; n}
.
• On rappelle que le terme« schéma de Bernoulli »signifie que les épreuves considérées sont identiques et indépendantes.
Exemple
On lance 10 fois un dé équilibré à 6 faces, numérotées de 1 à 6.On s'intéresse au nombre de fois que l'on obtient le résultat 2.On introduit donc la variable aléatoire
X
qui compte donc le nombre de succès (ici, « lerésultatobtenu est 2 ») d'un schéma de Bernoulli à 10 épreuves. Pour une épreuve donnée, la probabilité de succès est de
1/6
. Ainsi,
X
suit une loi binomiale de paramètres`n=10` et \(p=\dfrac{1}{6}\).
Probabilité pour une loi binomiale
Propriété
Soit
n
un entier naturel et
p \in [0,1]
.
On considère une variable aléatoire
X
suivant une loi binomiale de paramètres
n
et
p
.
Alors, pour tout entier
k
compris entre 0 et `n`, on a :
.
Démonstration
On considère le schéma de Bernoulli associé à la variable aléatoire
X
. Soit
k
un entier naturel compris entre 0 et
n
.
• Dans ce schéma de Bernoulli, il y a
chemins menant à exactement
k
succès.
• Chacune de ces issues comprend
k
succès (tous de probabilité
p
) et
n-k
échecs (tous de probabilité
1-p
). Les épreuves étant indépendantes, la probabilité d'une de ces issues vaut donc :
p^k(1-p)^{n-k}
.
• Finalement, la probabilité d'obtenir
k
succès vaut :
.
Exemple
On lance 5 fois un dé à 6 faces, numérotées de 1 à 6. On s'intéresse au nombre de fois où l'on obtient lerésultat4 obtenus à l'issue de ces 5 lancers.
• Les lancers sont indépendants et identiques : il s'agit donc d'un schéma de Bernoulli à 5 épreuves.
• Pour chaque épreuve, la probabilité de succès vaut
1/6
.
• On introduit la variable aléatoire `X` qui compte le nombre de succès (ici,«obtenir le résultat 4») dans ce schéma de Bernoulli.
Ainsi,
X
suitune loi binomiale de paramètres`n=4`et
.
On souhaite alors déterminer la probabilité d'obtenir exactement deux fois lerésultat 4 à l'issue des 5 lancers.
On a alors
à
10^(-3)
près.
Loi binomiale : diagramme de probabilités
Le graphique ci-dessous permet de visualiser le diagramme de probabilités d'une loi binomiale. Les paramètres
n
et
p
de cette loi binomiale peuvent être modifiés sous ce diagramme.
La ligne sous les paramètres permet de calculer les probabilités liées à une variable aléatoire suivant une loi binomiale, à savoir
,
,
et
. Les nombres
et
peuvent alors être modifiés. Il est aussi possible de faire glisser les deux curseurs situés sur l'axe de l'histogramme.
Un tableau de valeurs récapitule les probabilités de toutes les issues à droite du graphique.
Les rectangles en surbrillance représentent les issues prises en compte dans le calcul de la probabilité.
Espérance et variance d'une loi binomiale
Propriété
Soit
une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres
n
et
p
. L'espérance, la variance et l'écart-type de
X
valent respectivement :
E[X]=np
V(X)=np(1-p)
\sigma(X)=\sqrt{np(1-p)}
Exemple
D'après une étude menée en 2023 par l'Institut national de la jeunesse et de l'éducation populaire (Injep), 59 %des Françaisde 15 ans ou plus pratiquent au moins une activité physique et sportive par semaine. On interroge 160 personnes au hasard dans la population française.On suppose que ce nombre est suffisamment petit comparé à la population totale pour que cette sélection soit assimilée à un tirage avec remise.
On note
X
le nombre de personnes ayant déclaré pratiquer une activité physique hebdomadaire.
X
suit alors une loi binomiale de paramètres 160 et 0,59. Ainsi,
E[X]=160 \times 0,59 = 94,4
.En moyenne, lors de cette enquête, 94 personnes déclarent pratiquer une activité physique hebdomadaire.
☛ Déterminer une taille d'échantillon
Étant donné un réel
et une variable aléatoire
X
suivant une loi binomiale de paramètres
et
, on souhaite déterminer la valeur de
à partir de laquelleon a \(P(X \geqslant 1) \geqslant \alpha\).
Énoncé
Un lycée présente
candidats au recrutement dans une école d'ingénieurs,où
est un entier naturelnon nul.On admet que la probabilité pour un candidat quelconque du lycée d’être admis à l’école est égale à 0,24 et que les résultats des candidats sont indépendants les uns des autres. On souhaite déterminer l’entier
à partir duquel la probabilité qu’au moins un élève de ce lycée soit admis à l’école est supérieure ou égale à 0,99.
Solution
On introduit la variable aléatoire \(X\) qui comptabilise le nombre de candidats admis à l'écoleen question parmi les \(n\) candidats.
X
compte donc le nombre de succèsaprès \(n\)épreuvesidentiques et indépendantes, dont la probabilité de succès est de 0,24.
X
suit donc une loi binomiale de paramètres
et 0,24.
La probabilité recherchéeest
.
Or,
.
Par ailleurs, la variable aléatoire
prenant ses valeurs dans l'ensemble\(\{0;1;...;n\}\), on a donc
.
Ainsi,
.
On cherche donc la valeur de
à partir de laquelle on a
.
Première méthode
On procède à l'aide d'un algorithme en remarquant que la suite de terme général
est croissante. Ainsi, dès que l'on trouvera un terme de cette suite supérieur à 0,99, alors tous lestermes suivants le seront également. En particulier, on a
et
. L'entier recherché est donc 17.
Seconde méthode
On résout l'inéquation à l'aide du logarithme népérien. On a en effet
si et seulement si
soit
.
Par croissance du logarithme népérien sur
, on a
si et seulement si
soit
. On divise alors par
qui estun nombre strictementnégatif. Onobtientdonc
.
Or,
.
L'entier recherché est donc 17.