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Six cartes sont placées sur la table, faces cachées :1 pique, 2 carreaux et 3 trèfles.

Sommaire

Succession d'épreuves indépendantesTirage de cartes avec remiseLancers de déTirages dans une urne
Loi de Bernoulli et loi binomialeLoi de BernoulliIdentifier la loiCalculs de probabilités avec une loi binomialeEspérance et variance d'une loi binomialeDéterminer un intervalle de probabilité donnéeReprésentation d'une loi binomiale

Loi de Bernoulli et loi binomiale

Loi de Bernoulli

Exercice 1
Soit 
X
 une variable aléatoire de Bernoulli telle que `V(X)=0,21`.
Déterminer les valeurs possibles du paramètre de la variable 
X
.
Exercice 2
Soit 
X
 une variable aléatoire suivant une loi de Bernoulli de paramètre 
p\in [0;1]
.
Pour quelle valeur du paramètre 
p
 la variance de 
X
 est-elle maximale ?

Identifier la loi

Pour chacune des situations suivantes, dire si la variable aléatoire 
X
 suit ou non une loi binomiale. Si c'est le cas, préciser ses paramètres.
1.On lance trois fois une pièce de monnaie équilibrée et on note 
X

Succession d'épreuves indépendantes

Tirage de cartes avec remise

Six cartes sont placées sur la table, faces cachées :1 pique, 2 carreaux et 3 trèfles.
On sélectionne une carte au hasard. La carte est alors dévoilée et on note sa couleur. Puis elle est retournée et les cartes sont mélangées.
On tire alors une autre carte et on regarde sa couleur.On notera P, C, T lorsque la carte choisie est respectivement un pique, un carreau ou un trèfle.
1.Déterminer l'univers de cette succession d'expériences aléatoires.
2.Quelle est la probabilité de tirer deux carreaux ?
3.Quelle est la probabilité de tirer un carreau puis un trèfle ?
4.Quelle est la probabilité de ne pas tirer de pique ?
5.Quelle est la probabilité de tirer deux cartes de la même couleur ?

Lancers de dé

On lance 3 fois un dé à 6 faces, numérotées de 1 à 6.
1.Quelle est la probabilité de n'obtenir que des nombres pairs ?
2.Quelle est la probabilité d'obtenir 6 au premier lancer et de ne pas obtenir 6 aux deux suivants ?
3.Quelle est la probabilité d'obtenir trois résultats différents ?

Tirages dans une urne

Une urne renferme 2 boules rouges, 3 boules bleues et 5 boules jaunes indiscernables au toucher. On tire successivement et avec remise 3 boules dans l’urne.
1.Quelle hypothèse permet d’affirmer que les tirages sont indépendants ?
2.Quelle est la probabilité de tirer 3 boules jaunes ?
3.Quelle est la probabilité de tirer 1 boule rouge puis 2 boules bleues ?
4.Quelle est la probabilité de tirer 3 boules toutes trois de couleurs différentes?

le nombre de fois où la pièceoù l'on obtient PILE.
2.On lance simultanément 5 dés équilibrés à 6 faces, numérotées de 1 à 6 ainsi que 3 dés équilibrés à 4 faces, numérotées de 1 à 4. On note 
X
le nombre de faces 3 obtenues.
3.On lancesimultanément 5 dés équilibrés à 6 faces, numérotées de 1 à 6 ainsi que 3 dés équilibrés à 4 faces, numérotées de 1 à 4. On note 
X
 le nombre de faces 5 obtenues.
4.D'après un sondage, 65 % des Français se rendent au restaurant au moins une fois par mois. On interroge 30 Français au hasard et on note 
X
 le nombre de Français qui vont au restaurant au moins une fois par mois dans cet échantillon. On suppose que ce tirage peut être assimilé à un tirage avec remise.
5.Un élève répond au hasard à un QCM composé de 20 questions. Pour chaque question, une seule réponse est correcte et l'élève en choisit une au hasard, indépendamment de ses autres réponses. On note 
X
 le nombre deréponses correctes à l'issue du questionnaire.
6.Un élève répond au hasard à un QCM composé de 20 questions. Pour chaque question, une seule réponse est correcte et l'élève en choisit une au hasard, indépendamment de ses autres réponses. Uneréponse correcte rapporte 3 points, une réponse fausse en retire 1. On suppose que l'élève répond à toutes les questions et on note 
X
 le nombre de points de cet élève à l'issue du questionnaire.
7.On répète 10 fois l'opération suivante : on lancesimultanément 3 pièces de monnaie équilibrée. Sur ces 10 expériences, on note 
X
 le nombre de fois où les 3 pièces de monnaie sonttombées du même côté.

Calculs de probabilités avec une loi binomiale

Exercice 1
Soit 
X
 une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres 5 et 
1/3
.
Calculer 
P(X=2)
, 
P(X⩾4)P(X \geqslant 4)P(X⩾4)
 et 
P(X<3)
.
On donnera les résultats sous la forme d'une fraction irréductible.
Exercice 2
Soit 
X
 une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres 6 et 
0,10,10,1
.
Calculer 
P(X=3)
, 
P(X⩾1)P(X \geqslant 1)P(X⩾1)
 et 
P(X⩽2)P(X\leqslant 2 )P(X⩽2)
. 
Exercice 3
On considère une variable aléatoire 
X
 suivant une loi binomiale de paramètres 
3
 et 
p.
On sait que 
P(X=0)=1/125
. Que vaut 
p
 ?

Espérance et variance d'une loi binomiale

Exercice 1
Soit 
X
 une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres 
900
 et 
1/10
.
Calculer l'espérance, la variance et l'écart-type de la variable 
X
.
Exercice 2
Soit 
X
 une variable aléatoire suivant une loi binomiale d'espérance 24 et de variance 19,2.
Retrouver les paramètres de cette loi binomiale.
Exercice 3
Une personne participe à un concours de tir à l'arc, sur une cible circulaire. À chaque tir, la probabilité qu'il atteigne la cible est égale à 0,8. La personne en question tire 
n
 flèches. On note alors 
X
 la variable aléatoire qui comptabilise le nombre de flèchesqu'il envoie et qui atteignent leur cible.
1.Déterminer, en justifiant, la loi de la variable aléatoire 
X
.
2.Calculer l'espérance de 
X
.
3.Combien de flèches cette personne doit-elle prévoir pour atteindre en moyenne la cible 12 fois ?

Déterminer un intervalle de probabilité donnée

Exercice 1
Soit 
X
 une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres 160 et 0,05.
1.Calculer l'espérance de 
X
.
2.Àl'aide d'un tableau, d'un algorithme ou de la calculatrice, déterminer le plus petit entier 
k
 tel que 
P(E[X]−k⩽X⩽E[X]+k)⩾0,9P(E[X]-k \leqslant X \leqslant E[X]+k) \geqslant 0,9P(E[X]−k⩽X⩽E[X]+k)⩾0,9
.
Exercice 2
Soit
X
 une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres 
n
et 0,95.
À l'aide d'un tableau, d'un algorithme ou de la calculatrice, déterminer le plus grand entier
n
pour que l'on ait
P(X⩾200)⩽0.05P(X \geqslant 200) \leqslant 0.05P(X⩾200)⩽0.05
.

Représentation d'une loi binomiale

On a représenté ci-dessous les histogrammes correspondant à 3 variables aléatoires suivant des lois binomiales de paramètre
n=20
 et dont lesecondparamètre 
p
 vaut0,5, 0,2 ou 0,7.
Associer à chaque histogramme la variable aléatoire correspondante.