Cet exercice est un QCM. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée. Une réponse fausse, une absence de réponse ou une réponse multiple ne rapporte ni n’enlève de point.
Énoncé 1
Pour se rendre à son travail, Albert peut utiliser au choix le bus ou le train.
La probabilité que le bus soit en panne est égale à
.
La probabilité que le train soit en panne est égale à
.
Les pannes de bus et de train surviennent de façon indépendante.
1.La probabilité
que le bus ou le train soient en panne est égale à :
2.La probabilité
que Albert puisse se rendre à son travail est égale à :
Énoncé 2
On considère une pièce de monnaie pour laquelle la probabilité d’obtenir FACE est égale à
. On lance la pièce
fois. Les lancers sont indépendants.
La probabilité
d’obtenir au moins une fois FACE sur les
lancers est égale à
La Réunion, mars 2023
Un commerçant vend deux types de matelas : matelas RESSORTS et matelas MOUSSE. On suppose que chaque client achète un seul matelas. On dispose des informations suivantes :
- 20 % des clients achètent un matelas RESSORTS. Parmi eux, 90 % sont satisfaits de leur achat ;
- 82 % des clients sont satisfaits de leur achat.
Les deux parties peuvent être traitées de manière indépendante.
Partie A
On choisit au hasard un client et on note les événements :
: « Le client achète un matelas RESSORTS » ;
: « Le client est satisfait de son achat ».
On note
x=P_{\overline{R}}(S)
, où
P_{\overline{R}}(S)
désigne la probabilité de
sachant que
n’est pas réalisé.
1.Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-dessous décrivant la situation.
2.Démontrer que
.
3.On choisit un client satisfait de son achat. Quelle est la probabilité qu’il ait acheté un matelas RESSORTS ? On arrondira le résultat à
10^(-2)
.
Partie B
1.On choisit 5 clients au hasard. On considère la variable aléatoire
qui donne le nombre de clients satisfaits de leur achat parmi ces 5 clients.
a.On admet que
suit une loi binomiale. Donner ses paramètres.b.Déterminer la probabilité qu’au plus 3 clients soient satisfaits de leur achat. On arrondira le résultat à
10^(-3)
.
2.Soit
un entier naturel non nul. On choisit à présent
clients au hasard. Ce choix peut être assimilé à un tirage au sort avec remise.
a.On note
p_n
la probabilité que les
clients soient tous satisfaits de leur achat. Démontrer que
p_n=0,82^n
.
b.Déterminer les entiers naturels
tels que
p_n<0,01
. Interpréter dans le contexte de l’exercice.
Polynésie, juin 2022
Un test est mis au point pour détecter une maladie dans un pays. Selon les autorités sanitaires de ce pays,
- 7 % des habitants sont infectés par cette maladie ;
- parmi les individus infectés, 20 % sont déclarés négatifs ;
- parmi les individus sains, 1 % sont déclarés positifs.
Une personne est choisie au hasard dans la population. On note :
- M l’événement : « la personne est infectée par la maladie » ;
- T l’événement : « le test est positif ».
1.Construire un arbre pondéré modélisant la situation proposée.
2.a.Quelle est la probabilité pour que la personne soit infectée par la maladie et que son test soit positif ?
b.Montrer que la probabilité que son test soit positif est de 0,0653.
3.On sait que le test de la personne choisie est positif. Quelle est la probabilité qu’elle soit infectée ? On donnera le résultat sous forme approchée à
près.
4.On choisit dix personnes au hasard dans la population. La taille de la population de ce pays permet d’assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise. On note
X
la variable aléatoire qui comptabilise le nombre d’individus ayant un test positif parmi les dix personnes.a.Quelle est la loi de probabilité suivie par
X
? Préciser ses paramètres.b.Déterminer la probabilité pour qu’exactement deux personnes aient un test positif. On donnera le résultat sous forme approchée à
près.
5.Déterminer le nombre minimum de personnes à tester dans ce pays pour que la probabilité qu’au moins une de ces personnes ait un test positif soit supérieure à 99 %.
Polynésie, mai 2022
Les douanes s’intéressent aux importations de casques audio portant le logo d’une certaine marque. Les saisies des douanes permettent d’estimer que :
- 20 % des casques audio portant le logo de cette marque sont des contrefaçons ;
- 2 % des casques non contrefaits présentent un défaut de conception ;
- 10 % des casques contrefaits présentent un défaut de conception.
L’agence des fraudes commande au hasard sur un site internet un casque affichant le logo de la marque. On considère les événements suivants :
: « le casque est contrefait » ;
: « le casque présente un défaut de conception ».
et \(\overline{\text D}\) désignent respectivement les événements contraires de
et
.
Dans l’ensemble de l’exercice, les probabilités seront arrondies à
10^(-3)
si nécessaire.
Partie 1
1.Calculer
. On pourra s’appuyer sur un arbre pondéré.
2.Démontrer que
.
3.Le casque a un défaut. Quelle est la probabilité qu’il soit contrefait ?
Partie 2
On commande
casques portant le logo de cette marque. On assimile cette expérience à un tirage aléatoire avec remise. On note
X
la variable aléatoire qui donne le nombre de casques présentant un défaut de conception dans ce lot.
1.Dans cette question,
.
a.Justifier que\(X\)suit une loi binomiale
où
et
.b.Calculer la probabilité qu’il y ait, parmi les casques commandés, exactement un casque présentant un défaut de conception.
c.Calculer
.
2.Dans cette question,
n’est pas fixé. Quel doit être le nombre minimal de casques à commander pour que la probabilité qu’au moins un casque présente un défaut soit supérieure à 0,99 ?
Centres étrangers, mars 2023
Une société de production s’interroge sur l’opportunité de programmer un jeu télévisé.
Ce jeu réunit quatre candidats et se déroule en deux phases :
- la première phase est une phase de qualification. Cette phase ne dépend que du hasard. Pour chaque candidat, la probabilité de se qualifier est 0,6 ;
- la deuxième phase est une compétition entre les candidats qualifiés. Elle n’a lieu que si deux candidats au moins sont qualifiés. Sa durée dépend du nombre de candidats qualifiés comme l’indique le tableau ci-dessous (lorsqu’il n’y a pas de deuxième phase, on considère que sa durée est nulle).
Pour que la société décide de retenir ce jeu, il faut que les deux conditions suivantes soient vérifiées :
- condition 1 : la deuxième phase doit avoir lieu dans au moins 80 % des cas ;
- condition 2 : la durée moyenne de la deuxième phase ne doit pas excéder 6 minutes.
Le jeu peut-il être retenu ?
Asie, mai 2022
Les compagnies aériennes vendent plus de billets qu’il n’y a de places dans les avions, car certains passagers ne se présentent pas à l’embarquement du vol sur lequel ils ont réservé. On appelle cette pratique le surbooking.
Au vu des statistiques des vols précédents, la compagnie aérienne estime que chaque passager a 5 % de chance de ne pas se présenter à l’embarquement.
Considérons un vol dans un avion de 200 places pour lequel 206 billets ont été vendus. On suppose que la présence à l’embarquement de chaque passager est indépendante des autres passagers et on appelle
X
la variable aléatoire qui compte le nombre de passagers se présentant à l’embarquement.
1.Justifier que
X
suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
2.En moyenne, combien de passagers vont-ils se présenter à l’embarquement ?
3.Calculer la probabilité que 201 passagers se présentent à l’embarquement. Le résultat sera arrondi à
10^(-3)
près.
4.Calculer
, le résultat sera arrondi à
près. Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
5.La compagnie aérienne vend chaque billet à 250 euros. Si plus de 200 passagers se présentent à l’embarquement, la compagnie doit rembourser le billet d’avion et payer une pénalité de 600 euros à chaque passager lésé. On appelle :
la variable aléatoire égale au nombre de passagers qui ne peuvent pas embarquer bien qu’ayant acheté un billet ;
la variable aléatoire qui totalise le chiffre d’affaires de la compagnie aérienne sur ce vol.
On admet que
suit la loi de probabilité donnée par le tableau suivant :
a.Compléter la loi de probabilité donnée ci-dessus en calculant
.
b. Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire
sous forme d’un tableau. Calculer l’espérance de la variable aléatoire
à l’euro près.
c.Comparer le chiffre d’affaires obtenu en vendant exactement 200 billets et le chiffre d’affaires moyen obtenu en pratiquant le surbooking.