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Exercices vers le supérieur

un entier naturel supérieur ou égal à 3. On dispose de

Sommaire

Un oral de concours !☆ Loi géométrique☆ Loi de Poisson

Un oral de concours !

Soit
nnn
un entier naturel supérieur ou égal à 3. On dispose de
nnn
boules numérotées de 1 à
nnn
et d’une boîte formée de 3 compartiments identiques également numérotés de 1 à 3.
On lance simultanément les
nnn
boules. Elles viennent toutes se ranger aléatoirement dans les 3 compartiments. Chaque compartiment peut éventuellement contenir les
nnn
boules.
On note
XXX
 la variable aléatoire qui à chaque expérience aléatoire fait correspondre le nombre de compartiments restés vides.
1.Préciser les valeurs prises par
XXX
.
2.a.Déterminer la probabilité
P(X=2)P(X=2)P(X=2)
.
    b. Déterminer complètement la loi de probabilité de
XXX
.
3. a.Calculer
E(X)E(X)E(X)
.
    b.Déterminer
lim⁡n→+∞E(X)\displaystyle\lim_{n \to + \infty}E(X)n→+∞lim​E(X)
. Interpréter ce résultat.
Exercice issu de la banque d'exercices d'oral de CCINP, filières MP et MPI.

☆ Loi géométrique

Soit 
(X_n)
 une suite de variables aléatoires indépendantes suivant toutes une loi de Bernoulli de même paramètre 
p\in [0,1]
.
On considère
Y
 la variable aléatoire qui donne le rang du premier succès de cette successiond'expériences indépendantes.
On dit alors que 
Y
 suit la loi géométrique de paramètre 
p
.
1.Justifier que, pour tout entier naturel non nul
k
, on a
P(Y=k)=p(1-p)^(k-1)
.
2.Montrer que, pour tout entier naturel non nul 
k
, on a 
P(Y⩽k)=1−(1−p)kP(Y \leqslant k) = 1-(1-p)^kP(Y⩽k)=1−(1−p)k
.
3.Déterminer la valeur de 
k
 à partir de laquelle on a 
P(Y⩽k)⩾12P(Y \leqslant k) \geqslant \dfrac{1}{2}P(Y⩽k)⩾21​
.
4.Que vaut 
lim⁡k→+∞P(Y⩽k)\displaystyle\lim_{k\to+\infty}P(Y\leqslant k)k→+∞lim​P(Y⩽k)
 ? Comment interpréter ce résultat ?

☆ Loi de Poisson

Soit 
aaa
 un réel strictement positif et 
nnn
 un entier naturel non nul.
On considère une variable aléatoire X suivant une loi binomiale 
B(n;an)\mathcal{B}\left(n;\dfrac{a}{n}\right)B(n;na​)
.
1.Soit 
kkk
 un entier naturel inférieur ou égal à 
nnn
.
Montrer que 
P(X=k)=(1−an)n−k×akk!×n(n−1)...(n−k+1)nkP(X=k)=\left(1-\dfrac{a}{n}\right)^{n-k} \times \dfrac{a^k}{k!} \times \dfrac{n(n-1)...(n-k+1)}{n^k}P(X=k)=(1−na​)n−k×k!ak​×nkn(n−1)...(n−k+1)​
.
2.Déterminer 
lim⁡n→+∞n(n−1)...(n−k+1)nk\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \dfrac{n(n-1)...(n-k+1)}{n^k}n→+∞lim​nkn(n−1)...(n−k+1)​
.
3.Déterminer 
lim⁡n→+∞(1−an)−k\displaystyle\lim_{n \to + \infty}\left(1-\dfrac{a}{n}\right)^{-k}n→+∞lim​(1−na​)−k
.
4. Pour tout entier naturel non nul 
nnn
, on pose 
un=(1−an)nu_n=\left(1-\dfrac{a}{n}\right)^nun​=(1−na​)n
.
    a.En utilisant la définition du nombre dérivé, déterminer 
lim⁡x→0ln⁡(1+x)x\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\ln(1+x)}{x}x→0lim​xln(1+x)​
.
    b.En déduire 
lim⁡n→+∞ln⁡(un)\displaystyle\lim_{n \to + \infty}\ln(u_n)n→+∞lim​ln(un​)
 puis 
lim⁡n→+∞un\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_nn→+∞lim​un​
.
5.Déterminer alors 
lim⁡n→+∞P(X=k)\displaystyle\lim_{n \to + \infty}P(X=k)n→+∞lim​P(X=k)
.