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Exercices vers le supérieur

 deux variables aléatoires réelles indépendantes, définies sur un même univers 

Sommaire

☆ Variance d'une somme de deux variables indépendantes☆ Lois de Bernoulli de paramètres différentsMarkov et Bienaymé-TchebychevLa réciproque est fausse !Le problème des chapeaux

☆ Variance d'une somme de deux variables indépendantes

Soit 
XXX
 et 
YYY
 deux variables aléatoires réelles indépendantes, définies sur un même univers 
Ω\OmegaΩ
.
1.Montrer que 
E(XY)=E(X)×E(Y)E(XY)=E(X) \times E(Y)E(XY)=E(X)×E(Y)
.
2.En déduire que 
V(X+Y)=V(X)+V(Y)V(X+Y)=V(X)+V(Y)V(X+Y)=V(X)+V(Y)
.

☆ Lois de Bernoulli de paramètres différents

Soit 
nnn
 un entier naturel non nul. On considère 
nnn
 variables indépendantes 
X1X_1X1​
, 
X2X_2X2​
, ..., 
XnX_nXn​
 suivant des lois de Bernoulli de paramètres respectifs 
p1p_1p1​
, 
p2p_2p2​
, ..., 
pnp_npn​
.
On note alors 
mn=p1+p2+⋯+pnnm_n=\dfrac{p_1+p_2+\dots +p_n}{n}mn​=np1​+p2​+⋯+pn​​
 et 
Mn=X1+X2+⋯+XnnM_n=\dfrac{X_1+X_2+ \dots +X_n}{n}Mn​=nX1​+X2​+⋯+Xn​​
1.Que vaut 
E(Mn)E(M_n)E(Mn​)
 ?
2.Montrer que, pour tout entier naturel 
kkk
 compris entre 1 et 
nnn
, on a 
V(Xk)⩽14V(X_k) \leqslant \dfrac{1}{4}V(Xk​)⩽41​
.
3.En appliquant l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev à 
MnM_nMn​
, montrer que, pour tout réel strictement positif 
δ\deltaδ
, on a 
lim⁡n→+∞P(∣Mn−mn∣⩾δ)=0\displaystyle\lim_{n \to + \infty}P(|M_n-m_n|\geqslant \delta)=0n→+∞lim​P(∣Mn​−mn​∣⩾δ)=0
.

Markov et Bienaymé-Tchebychev

Soit
XXX
 une variable aléatoire à valeurs positives. On note
X(Ω)={x1,x2,...,xn}X\left(\Omega\right)=\left\{ x_{1},x_{2},...,x_{n}\right\}X(Ω)={x1​,x2​,...,xn​}
 l'ensemble des valeurs prises par
XXX
.
1.Soit
aaa
 un réel strictement positif.a.Démontrer l'inégalité suivante. 
aP(X⩾a)⩽∑ xk⩾axkP(X=xk)aP\left(X\geqslant a\right)\leqslant\displaystyle \sum _{\,x_{k}\geqslant a}x_{k}P\left(X=x_{k}\right)aP(X⩾a)⩽xk​⩾a∑​xk​P(X=xk​)
.b.En déduire l'inégalité de Markov :
P(X⩾a)⩽E(X)aP\left(X\geqslant a\right)\leqslant\dfrac{E\left(X\right)}{a}P(X⩾a)⩽aE(X)​
.
2.En appliquant l'inégalité de Markov à la variable aléatoire
(X−E(X))2\left(X-E(X)\right)^{2}(X−E(X))2
, démontrer alors l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev : pour tout
ε>0\varepsilon>0ε>0
,
P(∣X−E(X)∣⩾ε)⩽V(X)ε2P\left(\left|X-E(X)\right|\geqslant\varepsilon\right)\leqslant\dfrac{V\left(X\right)}{\varepsilon^{2}}P(∣X−E(X)∣⩾ε)⩽ε2V(X)​
.

La réciproque est fausse !

On considère la variable aléatoire 
XXX
 définie par 
P(X=−1)=P(X=0)=P(X=1)=13P(X=-1)=P(X=0)=P(X=1)=\dfrac{1}{3}P(X=−1)=P(X=0)=P(X=1)=31​
.
(On dit que 
XXX
 suit la loi uniforme sur l'ensemble 
{−1;0;1}\{-1 ; 0 ; 1\}{−1;0;1}
.)
On considère la variable aléatoire 
YYY
 telle que 
Y=1Y=1Y=1
 si 
X=0X=0X=0
 et 
Y=0Y=0Y=0
 sinon.
1.Déterminer la loi de 
YYY
.
2.Calculer 
V(X)V(X)V(X)
 et 
V(Y)V(Y)V(Y)
.
3.Déterminer la loi de 
X+YX+YX+Y
.
4.Calculer 
V(X+Y)V(X+Y)V(X+Y)
et comparer le résultat avec 
V(X)+V(Y)V(X)+V(Y)V(X)+V(Y)
.
5.Les variables aléatoires 
XXX
 et 
YYY
 sont-elles indépendantes ?

Le problème des chapeaux

En arrivant, 
nnn
personnes laissent leur chapeau à un vestiaire. En repartant, chaque personne reprend un chapeau au hasard.
On note 
1,2,...,n1,2,...,n1,2,...,n
les personnes et on considère les variables aléatoires
XiX_iXi​
, avec
1⩽i⩽n1\leqslant i\leqslant n1⩽i⩽n
, définies par : 
Xi={1si la personne i retrouve son chapeau0sinonX_{i}=\begin{cases}1 & \text{si la personne} \,i\, \text{retrouve son chapeau}\\0 & \text{sinon}\end{cases}Xi​={10​si la personneiretrouve son chapeausinon​
1.Soit
X=X1+X2+...+XnX=X_{1}+X_{2}+...+X_{n}X=X1​+X2​+...+Xn​
. Que représente
XXX
 ?
2.Soit
iii
 un entier tel que
1⩽i⩽n1\leqslant i\leqslant n1⩽i⩽n
.a.Montrer que
P(Xi=1)=1nP\left(X_{i}=1\right)=\dfrac{1}{n}P(Xi​=1)=n1​
.b.Quelle est la loi suivie par
XiX_iXi​
 ?
3.Calculer
E(X)E(X)E(X)
 et interpréter.