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Vocabulaire ensembliste

Un ensemble peut être intuitivement assimilé à une « collection d'objets » .Les « objets » de cet ensemble...

Sommaire

Ensemble, sous-ensemble et cardinal d'un ensembleIntervalles de l'ensemble des réelsOpérations sur les ensemblesProduit cartésien

Ensemble, sous-ensemble et cardinal d'un ensemble

Vocabulaire
Un ensemble peut être intuitivement assimilé à une « collection d'objets » .Les « objets » de cet ensemble sont appelés éléments.
Notations
    • Soit\(E\)un ensemble.«Un élément
eee
appartient à l'ensemble
EEE
»se note :
e∈Ee \in Ee∈E
.«Un élément 
eee
n'appartient pas à l'ensemble
EEE
» se note :
e∉Ee \notin Ee∈/E
.
    • L'ensemble des entiers naturels
N\mathbb NN
se note : 
N={0;1;2;3;...}\mathbb N = \{ 0; 1; 2; 3; ...\}N={0;1;2;3;...}
. On a, par exemple, \(13 ∈ \mathbb N\), mais
−−2∉N--2 \notin \mathbb N−−2∈/N
.
    • L'ensemble des entiers naturels non nuls se note :
N∗={1;2;3;...}\mathbb N^* = \{1; 2; 3; ...\}N∗={1;2;3;...}
.
    • Soit
AAA
l'ensemble des entiers naturels supérieurs ou égaux à
5
. On peut noter cet ensemble :
A={x∈N∗ ∣ x⩾5}A = \{x \in \mathbb N^*\ |\ x ⩾ 5\}A={x∈N∗ ∣ x⩾5}
.
    • L'ensemble des entiers relatifs
ZZZ
se note : 
Z={...;−−3;−−2;−−1;0;1;2;3;...}Z = \{...; --3; --2; --1; 0; 1; 2; 3; ...\}Z={...;−−3;−−2;−−1;0;1;2;3;...}
.On a, par exemple, 
−−13∈Z--13 \in \mathbb Z−−13∈Z
, mais
34∉Z\dfrac 34 \notin \mathbb Z43​∈/Z
.
    • L'ensemble des nombres rationnels
Q\mathbb QQ
se note :
Q={ab ∣ a∈Z et b∈N∗}\mathbb Q = \{\dfrac ab \ |\ a \in \mathbb Z\text{ et }b \in \mathbb N^*\}Q={ba​ ∣ a∈Z et b∈N∗}
.On a, par exemple,
14∈Q\dfrac14 \in \mathbb Q41​∈Q
, mais 
2∉Q\sqrt 2 \notin \mathbb Q2​∈/Q
.
    • L'ensemble des nombres réels se note
R\mathbb RR
.
    • L'ensemble des lettres de l'alphabet français se note :
A={a;b;c;d;...;x;y;z}A = \{a; b; c; d; ...; x; y; z\}A={a;b;c;d;...;x;y;z}
.On a, par exemple,
k∈A,k \in A,k∈A,
mais 
ß∉Aß \notin Aß∈/A
.
Exemple
On réalise une expérience aléatoire : on lance un dé à 6 faces et on s'intéresse à la face obtenue. L'univers 
ΩΩΩ
de cette expérience aléatoire est : 
Ω={1;2;3;4;5;6}Ω = \{1; 2; 3; 4; 5; 6\}Ω={1;2;3;4;5;6}
.
On a
2∈Ω2 \in Ω2∈Ω
, mais
7∉Ω7 \notin Ω7∈/Ω
.
Définition
Soit \(E\)un ensemble.
On appellesous-ensemblede l'ensemble \(E\)une partie de cet ensemble.
Dire que
AAA
est un sous-ensemble de l'ensemble\(E\)signifie que
AAA
estinclus dans\(E\), c'est-à-dire que tout élément de\(A\)appartient aussi à\(E\) .
Notations
Soit\(E\)un ensemble.
    • «Un sous-ensemble 
AAA
 est inclus dans l'ensemble 
EEE
» se note :
A⊂EA \subset EA⊂E
.
    • «Un sous-ensemble 
AAA
 n'est pas inclus dans l'ensemble 
EEE
 » se note :
A⊄EA \not\subset EA⊂E
.
Exemples
    • L'ensemble des entiers relatifs, noté
Z\mathbb ZZ
, contient l'ensemble des entiers naturels.On a 
N⊂Z\mathbb N \subset \mathbb ZN⊂Z
. On a également la suite d'inclusions :
N⊂Z⊂D⊂Q⊂R\mathbb N \subset \mathbb Z \subset \mathbb D \subset \mathbb Q \subset \mathbb RN⊂Z⊂D⊂Q⊂R
. 
    • L'ensemble des voyelles de l'alphabet français est :
V={a;e;i;o;u;y}V=\{a; e; i; o; u; y\}V={a;e;i;o;u;y}
. Cet ensemble est inclus dans l'alphabet français :
V⊂AV \subset AV⊂A
.
    • Lorsqu'on lance un dé à 6 faces, on considère l'événement
AAA
 : « Obtenir un nombre pair. » Alors 
A={2;4;6}A = \{2; 4; 6\}A={2;4;6}
est un sous-ensemble de l'univers
ΩΩΩ
. On écrit
A⊂ΩA \subset ΩA⊂Ω
.
Définition
L'ensemble vide ne contient aucun élément. Il se note :\(\emptyset\). 
Vocabulaire
On appelle singleton un ensemble formé d'un seul élément et paire un ensemble formé de deux éléments.
Définition
Un ensemble\(E\) est ditfinilorsque son nombre d’éléments est fini. On appelle ce nombre d'éléments le cardinal de l’ensemble
EEE
et on le note :
Card(E)\text{Card}(E)Card(E)
ou 
∣E∣|E|∣E∣
.
Exemples
    • Soit
A={1}A = \{1\}A={1}
.
AAA
est l'ensemble formé de l'entier
111
. C'est un singleton. Son cardinal est :
Card(A)=1\text{Card} (A) = 1Card(A)=1
.
    • Soit\(B\)l'ensemble des diviseurs positifs de 5.
B={1;5}B = \{1 ; 5\}B={1;5}
.
BBB
est une paire. Son cardinal est :
Card(B)=2\text{Card}(B) = 2Card(B)=2
.
    • Soit
CCC
l'ensemble des solutions, dans
R\mathbb RR
, de l'équation
x2=−1x^2 =-1x2=−1
. Alors
C=∅C = \emptysetC=∅
et
Card(C)=0\text{Card}(C) = 0Card(C)=0
.

Intervalles de l'ensemble des réels

On a représenté ici certains nombres réels sur une droite numérique :
Définition
Soit
a
 et
b
 deux nombres réels tels que
a⩽ba\leqslant ba⩽b
.
L'intervalle
[a;b]\left[a ; b\right][a;b]
est l'ensemble des nombres réels 
xxx
tels que
a⩽x⩽ba\leqslant x\leqslant ba⩽x⩽b
.
Les nombres`a`et 
b
formant les extrémités de l’intervalle s'appellent lesbornesde cet intervalle.
On dit que cet intervalle estborné.
Remarque
Le mot« intervalle »est issu du latinintervallum:«entre deux palissades».
Exemples 
Définition
Soit
a
 et
b
 deux nombres réels tels que
a⩽ba\leqslant ba⩽b
.
Les types d'intervalles bornés sont : 
Exemple
L'intervalle 
]2;4]]2 ; 4]]2;4]
est l'ensemble des nombres réels 
x
tels que 
2<x⩽42<x \leqslant 42<x⩽4
 Définition
Soit\(a\)un réel.
L'intervalle
[a;+∞[[a ; +\infty[[a;+∞[
est l'ensemble des nombres réels 
xxx
 tels que
x⩾ax\geqslant ax⩾a
.
L'intervalle
]a;+∞[]a ; +\infty[]a;+∞[
est l'ensemble des nombres réels 
xxx
tels que
x>ax>ax>a
.
L'intervalle
]−∞;a]]-\infty ; a]]−∞;a]
est l'ensemble des nombres réels 
xxx
tels que 
x⩽ax\leqslant ax⩽a
.
L'intervalle
]−∞;a[]-\infty ; a[]−∞;a[
est l'ensemble des nombres réels 
xxx
tels que 
x<ax<ax<a
Exemples

Opérations sur les ensembles

Définitions
Soit
EEE
un ensemble fini. Soit
AAA
et
BBB
deux sous-ensemblesde\(E\).
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Laréuniondes ensembles 
AAA
et
BBB
est l'ensemble de tous les éléments de
EEE
contenus dans
AAA
ou dans
BBB
, c’est-à-dire dans l'un au moinsdes ensembles 
AAA
et
BBB
.La réunion des ensembles
AAA
et
BBB
se note 
A∪BA \cup BA∪B
et se lit « 
AAA
union
BBB
 ».Dans le schéma ci-dessous, l'ensemble
A∪BA \cup BA∪B
correspond à la partie hachurée.
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;L'intersectiondes ensembles 
AAA
et​​
BBB
est l'ensemble de tous les éléments de
EEE
contenusà la foisdans
AAA
et dans
BBB
.L'intersection des ensembles
AAA
et
BBB
se note 
A∩BA \cap BA∩B
 et se lit « 
AAA
inter
BBB
 ».Dans le schéma ci-dessous, l'ensemble
A∩BA \cap BA∩B
correspond à la partie hachurée.
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Lecomplémentairede l'ensemble
AAA
 dans
EEE
est l’ensemble des éléments de
EEE
qui ne sont pas dans
AAA
.Cet ensemble se note : 
E∖AE \setminus AE∖A
, ou 
A‾\overline AA
et se lit : «
AAA
barre ». Dans le schéma ci-dessous, l'ensemble correspond à la partie hachurée.
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Deux ensembles
AAA
et
BBB
sontdisjointslorsque
A∩B=∅A \cap B = \emptysetA∩B=∅
.Dans le schéma ci-dessous, les ensembles
AAA
et
BBB
sont disjoints.
Exemple
Soit 
I=[2 ; 4]I=\left[2\ ;\ 4\right]I=[2 ; 4]
 et
J=[−1 ; 3]J=\left[-1\ ;\ 3\right]J=[−1 ; 3]
 deux intervalles.
Alors : \(I\cap J=\left[2\ ;\ 3\right]\)et \(I\cup J=\left[-1\ ;\ 4\right]\).
Notations
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;On note\(\mathbb{R}^{*}=\mathbb{R}\setminus\left\{ 0\right\}\)l'ensemble des nombres réels privé de
000
. Cet ensemble correspond à l'ensemble des nombres réels strictement négatifs ou strictement positifs, noté \(\mathbb{R}^{*}=\left]-\infty;0\right[\cup\left]0;+\infty\right[\).
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;On note de la même façon 
R∖{a}\mathbb{R}\setminus\left\{ a\right\}R∖{a}
 l'ensemble des nombres réels privé du réel 
a
: 
R∖{a}=]−∞;a[∪]a;+∞[\mathbb{R}\setminus\left\{ a\right\}=\left]-\infty;a\right[\cup\left]a;+\infty\right[R∖{a}=]−∞;a[∪]a;+∞[
.

Produit cartésien

Définition
Soit
AAA
et
BBB
deux ensembles non vides.
Leproduit cartésiende
AAA
par
BBB
est l'ensemble de couples
(a,b)
, où
a\inA
 et
b\inB
.
On note cet ensemble : 
A×BA\times BA×B
et on le lit : «
AAA
croix
BBB
».
Exemple
L'ensemble des couples de coordonnées de points du plan dans un repère est noté
{(x,y)∣x∈R,y∈R}\left\{ \left(x,y\right)\mid x\in\mathbb{R},y\in\mathbb{R}\right\}{(x,y)∣x∈R,y∈R}
. On note cet ensemble
R×R=R2\mathbb{R}\times\mathbb{R}=\mathbb{R}^{2}R×R=R2
.
Propriété
Soit
AAA
et
BBB
deux ensembles non vides.
Lorsque les ensembles
AAA
 et
BBB
 sont finis, on a :
Card(A×B)=Card(A)×Card(B)\text{Card}(A\times B)=\text{Card}(A) \times \text{Card}(B)Card(A×B)=Card(A)×Card(B)
.
Exemple
Soit
A={A,R,D,V,10,9,8,7,6,5,4,3,2}A = \{ \text A, \text R, \text D, \text V, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2 \}A={A,R,D,V,10,9,8,7,6,5,4,3,2}
et
B={pique,cœur,carreau,treˋfle}B = \{\text{pique}, \text{cœur}, \text{carreau}, \text{trèfle} \}B={pique,cœur,carreau,treˋfle}
.
Alors le produit cartésien de
AAA
par
BBB
contient
525252
éléments :
A×B={(A,pique),(R,pique),...(2,pique),(A,cœur),...(3,treˋfle),(2,treˋfle)}A\times B = \{ (\text A, \text{pique}), (\text R, \text{pique}), ... (2, \text{pique}), (A, \text{cœur}), ... (3, \text{trèfle}), (2, \text{trèfle}) \}A×B={(A,pique),(R,pique),...(2,pique),(A,cœur),...(3,treˋfle),(2,treˋfle)}
.
Définition
Soit
nnn
un entier naturel supérieur ou égal à
222
.
Soit \(n\)ensembles non vides
E1,E2,...,EnE_1, E_2, ..., E_nE1​,E2​,...,En​
.
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Toute liste ordonnée
(x1,x2,...,xn)(x_1,x_2,...,x_n)(x1​,x2​,...,xn​)
, avec \(x_i \in E_i\)pour
iii
allant de
111
à
nnn
, est appelée 
nnn
-uplet (ou
nnn
-liste).
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;L'ensemble de ces
nnn
-upletsest le produit cartésien
E1×E2×...×EnE_1\times E_2\times ...\times E_nE1​×E2​×...×En​
.
Exemple
L'ensemble des coordonnées de points dans un repère de l'espace est noté
{(x,y,z)∣x∈R,y∈R,z∈R}\left\{ \left(x,y,z\right)\mid x\in\mathbb{R},y\in\mathbb{R},z\in\mathbb{R}\right\}{(x,y,z)∣x∈R,y∈R,z∈R}
. On note cet ensemble
R×R×R=R3\mathbb{R}\times\mathbb{R}\times\mathbb{R}=\mathbb{R}^{3}R×R×R=R3
.
Propriété
Soit
nnn
un entier naturel supérieur ou égal à
222
.
Soit\(n\)ensembles non vides
E1,E2,...,EnE_1, E_2, ..., E_nE1​,E2​,...,En​
.
Lorsque les ensembles
E1,E2,...,EnE_1, E_2,...,E_nE1​,E2​,...,En​
sont finis, on a :
Card(E1×E2×...×En)=Card(E1)×Card(E2)×...×Card(En)\text{Card}(E_1 \times E_2 \times ... \times E_n)=\text{Card}(E_1)\times \text{Card}(E_2)\times ...\times \text{Card}(E_n)Card(E1​×E2​×...×En​)=Card(E1​)×Card(E2​)×...×Card(En​)
.
Remarques
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Un 2-uplet est un couple.
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Un 3-uplet est un triplet.
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Pour
AAA
un ensemble non vide, on peut considérer des
nnn
-upletsd'éléments de
AAA
.L'ensemble 
A×A×A×...×AA\times A\times A\times ...\times AA×A×A×...×A
, où l'ensemble
AAA
apparaît
nnn
fois, se note aussi 
AnA^nAn
.