Définition
Une proposition est un énoncé qui est soit vrai, soit faux.
Exemples
• La proposition « 3 est un entier impair » est vraie.
• La proposition « 3 est un entier pair » est fausse.
• La proposition « Si un individu est français, alors il est européen » est vraie.
• La proposition «Un carré est un rectangle» est vraie.
• La proposition «Tout nombre premier est impair» est fausse car 2 est un nombre premier pair.
• La proposition «Pour tout réel \(x\), on a\((x+1)^2=x^2+2x+1\) » est vraie. (C'est une identité remarquable.)
• La proposition «Si un nombre est divisible par 2 et 3, alors il est divisible par 6» est vraie.
Notations
• La proposition «Pour tout réel \(x\), on a \((x+1)^2=x^2+2x+1\) » contient une quantificationuniverselle.
• «Pour tout ...» signifie«quel que soit ... / pour n'importe quel ... /tous les ... ».C'est le quantificateur universel. On le note : \(\forall\).
• La proposition « Il existe un élève de ma classe qui porte des lunettes » contient une quantificationexistentielle.« Il existe ... » signifie en mathématiques «il existeau moins un ... ».C'est le quantificateur existentiel. On le note :
.
• Lorsqu'on souhaite préciser qu'il existe ununique élément, on note :\(\exists !\).
✎ ☛ Contre-exemple
Méthode
Pour montrer qu'une propriété est fausse, on peut utiliser un contre-exemple.
Énoncé 1
Soit la proposition : «Toute suitecroissante tend vers\(+∞\). » Cette proposition est-elle vraie ?
Solution
Cette proposition est fausse.
En effet, on peut utiliser le contre-exemple suivant.
On considère la suite de terme général
. C'est une suite croissante qui tend vers
.
Énoncé 2
On considère la proposition : «Pour tous réels\(a\)et\(b\) tels que\(a < b\), on a \(a^2 < b^2\). »
Cette proposition est-elle vraie ?
Solution
La proposition est fausse. On utilise le contre-exemple suivant. Soit
et
.
Alors on a bien
Énoncé 3
On considère la proposition : «Pour tous réels\(a\)et\(b\),
. »
Cette proposition est-elle vraie ?
Solution
Cette proposition est fausse. On utilise le contre-exemple suivant. Soit
et
.
D'une part,
.
D'autre part,
et
.
Connecteurs logiques
Définition
SoitP et Q deux propositions. La proposition « P et Q » est une proposition qui est vraie lorsque les deux propositions P et Q sont vraies, et fausse sinon.
Exemples
- La proposition «2 est un nombre pair et 3 est un nombre premier» est une proposition vraie, car les deux propositions « 2 est un nombre pair» et « 3 est un nombre premier» sont vraies.
- La proposition «2 est un nombre pair et 3 est un nombre pair» est fausse, car la proposition «3 est un nombre pair» est fausse.
Remarque
Dans la langue française, la conjonction « et » peut contenir desinformations supplémentaires telles que la succession dans le temps (Voulez-vous entrer et vous asseoir), la conséquence (Je suis tombé et je me suis fait mal), l'opposition (Le roseau plie et ne rompt pas).
Définition
Soit P et Q deux propositions.La proposition«P ou Q» est une proposition qui est vraie lorsque l'une au moins des propositions P ou Q est vraie. Elle est fausse lorsque les deux propositions sont fausses en même temps.
Exemples
- La proposition «2 est un nombre pair ou 3 est un nombre pair» est une proposition vraie, car la proposition « 2 est un nombre pair» est vraie.
- La proposition «2 est un nombre impair ou 3 est un nombre pair» est fausse, car les deux propositions « 2 est un nombre impair» et « 3 est un nombre premier» sont fausses.
Remarque
Dans la langue française, le sens de la conjonction « ou » est différent. Le « ou » utilisé dans lelangage courant esttrès souventexclusif(il a le sens de « ou bien »), comme dans les exemples suivants.
- Fromage ou dessert.
- Préférez-vous habiter à la ville ou à la campagne?
Le « ou » utilisé en mathématiques est ditinclusif.
Dans le langage courant, si l'on veut préciser que le « ou » est inclusif, on peut dire « et/ou ».
☛ Négation d'une proposition - Implication et équivalence
Définition
Soit P une proposition.La négation de la proposition P est une proposition qui est vraie lorsque P est fausse et fausse quand P est vraie. On la note : non P.
Exemples
• Soit
un nombre réel.La proposition «
» a pour négation la proposition« `x>2` ».
• Soit
un nombre réel.La proposition «
» a pour négation la proposition« \(x\neq 2\)»
• Soit
n
un entier naturel.La proposition « `n`est pair» a pour négation « `n`est impair».
• Soit la proposition «il existe un élève qui porte des lunettes dans ma classe».La négation de cette proposition est : «pour tout élève dans ma classe, l'élève ne porte pas de lunettes» qui se dit plus correctement «aucun élève ne porte de lunettes dans ma classe».
• Soit la proposition : «pour tous réels\(a\)et\(b\)de l'intervalle\(I\), tels que \(a,\(f(a) \geqslant f(b)\). » La négation de cette proposition est : «Il existe des réels\(a\)et\(b\)de\(I\), tels que \(a et \(f(a) < f(b)\). »
Définition
Soit P et Q deux propositions.L'implication notée P ⇒ Q est une proposition qui est fausse lorsque P est vraie et Q est fausse, et vraie dans tous les autres cas.
ÉnoncéTâche de Wason (d'après IREM de Grenoble)
On dispose de quatre cartes. Sur chacune, une face comporte un nombre entier et l'autre face est colorée. Ces cartes sont posées ainsi. On ne peut pas voir les autres faces des cartes.
On veut savoir si la proposition suivante est vraie : « Si la carte possède un nombre impair sur une face, alors son autre face est bleue », en retournant le minimum de cartes. Quelles sont les cartes à retourner ?
Solution
On doit retourner la première carte. Si son autre face n'est pas bleue, alors la proposition est fausse. Il n'est pas nécessaire de retourner d'autres cartes. Si son autre face est bleue, on doit retourner la troisième carte. Si l'autre face de la troisième carte comporte un entier impair, alors la proposition est fausse. Si l'autre face de la troisième carte comporte un entier pair, il n'est pas nécessaire de retourner d'autres cartes et la proposition est vraie.
Définition
Soit P et Q deux propositions.L'équivalence notée P ⇔Qest une proposition qui est vraie lorsque P et Q sont toutes les deux vraies ou toutes les deux fausses, et fausse sinon.
Condition suffisante, condition nécessaire - Vocabulaire
On considère une propriété quiest une implicationP ⇒ Q. On peut alors dire :
- pour que la proposition Q soit vraie,ilsuffitque la proposition P soit vraie ;
- pour que la proposition P soit vraie,ilfautque la proposition Q soit vraie ;
- la proposition P est une conditionsuffisantepour que la proposition Q soit vraie ;
- la proposition Q est une conditionnécessairepour que la proposition P soit vraie.
On considère une propriété quiest une équivalence P ⇔ Q. On peut alors dire :
- la proposition P est vraiesi et seulement si la proposition Q est vraie ;
- pour que la proposition P soit vraie,ilfautet il suffitque la proposition Q soit vraie ;
- la proposition P est une conditionnécessaire et suffisantepour la proposition Q.
Réciproque d'une implication, contraposée d'une implication
Définition
Soit P et Q deux propositions.La proposition réciproque de l'implication P ⇒Q est l'implication Q ⇒P.
Exemples
• La proposition : «Si un triangle est rectangle, alors le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des longueurs des plus petits côtés» a pour proposition réciproque : «Si dans un triangle, le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des longueurs des plus petits côtés, alors ce triangle est rectangle.» La proposition directe et la proposition réciproque sont vraies toutes les deux.
• La proposition «Si\(ABCD\) est un carré, alors\(ABCD\) est un rectangle» a pour proposition réciproque : «Si\(ABCD\)est un rectangle, alors
est un carré. » La proposition directe est vraie mais la proposition réciproque est fausse.
Définition
Soit P et Q deux propositions.La proposition contraposée de l'implication P ⇒ Q est l'implication(non Q) ⇒ (non P).
Exemple
Soit
n
un entier naturel.
La proposition « si
est pair, alors\(n\)est pair» a pour proposition contraposée : «si\(n\)est impair, alors\(n^2\)est impair».