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Exercices

\(\Rightarrow,\Leftarrow\)

Sommaire

Implication et équivalenceDes mathématiques au français - ÉnoncéDes mathématiques au français - CorrigéDu français aux mathématiques - ÉnoncéDu français aux mathématiques - CorrigéVrai ou faux ?

Implication et équivalence

Compléter avec 
⇒,⇐\Rightarrow,\Leftarrow⇒,⇐
 ou
⇔\Leftrightarrow⇔
.
1.
a>2.........a2>4a>2 .........a^{2}>4a>2.........a2>4
2.
a2≠4.........a≠2a^{2}\neq4 .........a\neq2a2=4.........a=2
.
3.
a2+b2=0a^{2}+b^{2}=0a2+b2=0
...........................
a=0
 et
b=0
(
a
 et
b
 réels).
4.
(un)\left(u_{n}\right)(un​)
 majorée
...........................
(un)\left(u_{n}\right)(un​)
 décroissante.
5.
(un)\left(u_{n}\right)(un​)
 croissante et majorée
...........................
(un)\left(u_{n}\right)(un​)
 convergente.
6.
ABC\text{ABC}ABC
est isocèle
...........................
`\text{ABC}` est équilatéral.
7.
\text{ABCD}
 n'est pas un carré
...........................
\text{ABCD}
 n'est pas un parallélogramme.
8.
\text{ABCD}
a trois angles droits 
...........................
\text{ABCD}
 a quatre angles droits.

Des mathématiques au français - Énoncé

Soit
f
 une fonction définie sur
R\mathbb RR
 et
\left(u_{n}\right)
 une suite définie sur
\mathbb N
. Écrire en français les énoncés mathématiques suivants, puis expliciter ce que l'on peut en déduire.
1.
∀x∈R, f(x)=3\forall x\in\mathbb{R},\,f(x)=3∀x∈R,f(x)=3
2.
∀x∈R, f(x)≠3\forall x\in\mathbb{R},\,f(x)\neq3∀x∈R,f(x)=3
3.
∃x∈R ; f(x)=3\exists x\in\mathbb{R}\ ;\,f(x)=3∃x∈R ;f(x)=3
4.
∃x∈R ; f(x)≠3\exists x\in\mathbb{R}\ ;\,f(x)\neq3∃x∈R ;f(x)=3
5.
∃T∈R+∗ ; ∀x∈R, f(x+T)=f(x)\exists T\in\mathbb{R}^{*}_+\ ;\ \forall x\in\mathbb{R},\,f(x+T)=f(x)∃T∈R+∗​ ; ∀x∈R,f(x+T)=f(x)
6.
∃x∈R ; f(−x)≠f(x)\exists x\in\mathbb{R}\ ;\,f(-x)\ne f(x)∃x∈R ;f(−x)=f(x)
7.
∀n∈N, un+1>un\forall n\in \mathbb N,\,u_{n+1}>u_n∀n∈N,un+1​>un​
8.
∃n∈N ; un+1>un\exists n\in \mathbb N\ ;\,u_{n+1}>u_n∃n∈N ;un+1​>un​
9.
∃m∈R ; ∀n∈N, un⩾m\exists m\in\mathbb{R}\ ;\,\forall n\in\mathbb{N},\,u_{n}\geqslant m∃m∈R ;∀n∈N,un​⩾m
10.
∀m>0, ∃n0∈N ; n⩾n0⇒un⩾m\forall m>0,\,\exists n_{0}\in\mathbb{N}\ ;\,n\geqslant n_{0}\Rightarrow u_{n}\geqslant m∀m>0,∃n0​∈N ;n⩾n0​⇒un​⩾m

Des mathématiques au français - Corrigé

Soit
f
 une fonction définie sur
R\mathbb RR
 et
\left(u_{n}\right)
 une suite définie sur
\mathbb N
. Écrire en français les énoncés mathématiques suivants, puis expliciter ce que l'on peut en déduire.
1.
∀x∈R, f(x)=3\forall x\in\mathbb{R},\,f(x)=3∀x∈R,f(x)=3
Pour tout réel
x
,
f(x)
 est égal à 3.
La fonction 
f
est constante égale à 3.
2.
∀x∈R, f(x)≠3\forall x\in\mathbb{R},\,f(x)\neq3∀x∈R,f(x)=3
Pour tout réel
x
,
f(x)
 est différent de 3.
La fonction 
f
ne prend pas la valeur 3.
Ou : 3 n'admet pas d'antécédent par la fonction
f
.
3.
∃x∈R ; f(x)=3\exists x\in\mathbb{R}\ ;\,f(x)=3∃x∈R ;f(x)=3
Il existe un réel
xxx
 tel que 
f(x)
 est égal à 3.
3 admet un antécédent par
f
.
4.
∃x∈R ; f(x)≠3\exists x\in\mathbb{R}\ ;\,f(x)\neq3∃x∈R ;f(x)=3
Il existe un réel
xxx
 tel que 
f(x)
 est différent de 3.
La fonction
f
 n'est pas constante égale à 3.
5.
∃T∈R+∗ ; ∀x∈R, f(x+T)=f(x)\exists T\in\mathbb{R}^{*}_+\ ;\ \forall x\in\mathbb{R},\,f(x+T)=f(x)∃T∈R+∗​ ; ∀x∈R,f(x+T)=f(x)
Il existe un réel
TTT
 strictement positif tel que, pour tout réel
xxx
, 
f(x+T)f(x+T)f(x+T)
est égal à
f(x)
.
La fonction
f
 est périodique.
6.
∃x∈R ; f(−x)≠f(x)\exists x\in\mathbb{R}\ ;\,f(-x)\ne f(x)∃x∈R ;f(−x)=f(x)
Il existe un réel
x
 tel que
f(−x)f(-x)f(−x)
 est différent de
f(x)
.
La fonction
f
 n'est pas paire.
7.
∀n∈N, un+1>un\forall n\in \mathbb N,\,u_{n+1}>u_n∀n∈N,un+1​>un​
Pour tout entier naturel
n
,
u_{n+1}
 est strictement supérieur à
u_n
.
La suite
(un)\left(u_{n}\right)(un​)
 est strictement croissante.
8.
∃n∈N ; un+1>un\exists n\in \mathbb N\ ;\,u_{n+1}>u_n∃n∈N ;un+1​>un​
Il existe un entier naturel
n
 tel que
u_{n+1}
 est strictement supérieur à
u_n
.
La suite
(un)\left(u_{n}\right)(un​)
 n'est pas décroissante.
9.
∃m∈R ; ∀n∈N, un⩾m\exists m\in\mathbb{R}\ ;\,\forall n\in\mathbb{N},\,u_{n}\geqslant m∃m∈R ;∀n∈N,un​⩾m
Il existe un réel
m
 tel que, pour tout entier naturel
n
, 
u_n
est supérieur ou égal à
m
.
La suite
(un)\left(u_{n}\right)(un​)
 est minorée.
10.
∀m>0, ∃n0∈N ; n⩾n0⇒un⩾m\forall m>0,\,\exists n_{0}\in\mathbb{N}\ ;\,n\geqslant n_{0}\Rightarrow u_{n}\geqslant m∀m>0,∃n0​∈N ;n⩾n0​⇒un​⩾m
Pour tout réel
m
 strictement positif, il existe un entier naturel
n_0
 tel que 
n
 supérieur ou égal
n_0
 implique
u_n
 supérieur ou égal à
m
.
La suite
(un)\left(u_{n}\right)(un​)
 tend vers
+\infty
.

Du français aux mathématiques - Énoncé

Écrire les phrases suivantes sous forme d'un énoncé mathématiquecomportant un ou plusieurs quantificateurs.
1.
n
 est un entier naturel pair.
2. 
n
 est un entier naturel pair mais n'est pas multiple de
444
.
3.
222
admet un antécédent par la fonction
f
.
4.Tout réel possède un antécédent par
f
.
5.La fonction
f
 ne s'annule pas sur
\mathbb R
.
6.La fonction
f
 s'annule une seule fois sur
\mathbb R
.
7.
f
 ne prend jamais deux fois la même valeur.
8.Aucun entier n'est supérieur à tous les autres.
9.Certains réels sont strictement inférieurs à leur carré.
10.Tout intervalle non vide de
\mathbb R
 contient un rationnel.

Du français aux mathématiques - Corrigé

Écrire les phrases suivantes sous forme d'un énoncé mathématiquecomportant un ou plusieurs quantificateurs.
1.
n
 est un entier naturel pair.
∃k∈N; n=2k\exists k\in \mathbb N;\,n=2k∃k∈N;n=2k
2. 
n
 est un entier naturel pair mais n'est pas multiple de 4.
∃k∈N; n=4k+2\exists k\in \mathbb N;\,n=4k+2∃k∈N;n=4k+2
3.2 admet un antécédent par la fonction
f
.
∃x∈R; f(x)=2\exists x\in \mathbb R;\,f(x)=2∃x∈R;f(x)=2
4.Tout réel possède un antécédent par
f
.
∀c∈R, ∃x∈R; f(x)=c\forall c \in \mathbb R,\,\exists x\in \mathbb R;\, f(x)=c∀c∈R,∃x∈R;f(x)=c
5.La fonction
f
 ne s'annule pas sur
\mathbb R
.
∀x∈R, f(x)≠0\forall x\in \mathbb R,\, f(x)\ne 0∀x∈R,f(x)=0
6.La fonction
f
 s'annule une seule fois sur
\mathbb R
.
∃!x∈R; f(x)=0\exists !x\in \mathbb R;\, f(x)=0∃!x∈R;f(x)=0
.
7.
f
 ne prend jamais deux fois la même valeur.On dit que`f`est injective.
∀x∈R, ∀x′∈R, x≠x′⇒f(x)≠f(x′)\forall x\in\mathbb{R},\,\forall x'\in\mathbb{R},\,x\ne x'\Rightarrow f\left(x\right)\ne f\left(x'\right)∀x∈R,∀x′∈R,x=x′⇒f(x)=f(x′)
ou encore 
∀x∈R, ∀x′∈R, f(x)=f(x′)⇒x=x′\forall x\in\mathbb{R},\,\forall x'\in\mathbb{R},\,f\left(x\right)=f\left(x'\right)\Rightarrow x=x'∀x∈R,∀x′∈R,f(x)=f(x′)⇒x=x′
8.Aucun entier n'est supérieur à tous les autres.
∀k∈Z, ∃n∈Z; n>k\forall k\in \mathbb Z,\,\exists n\in \mathbb Z;\,n>k∀k∈Z,∃n∈Z;n>k
9.Certains réels sont strictement inférieurs à leur carré.
∃x∈R; x<x2\exists x\in \mathbb R;\, x<x^2∃x∈R;x<x2
10.Tout intervalle non vide de
\mathbb R
 contient un rationnel.On dit que\(\mathbb Q\) est dense dans\(\mathbb R\).\(\forall a\in\mathbb R,\forall b\in]a;+\infty[, \exists q\in \mathbb Q; a

Vrai ou faux ?

Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ?
1.
∀x∈R∗, x2>0\forall x\in\mathbb{\mathbb{R}^{*}},\,x^{2}>0∀x∈R∗,x2>0
2.
∀x∈R∗, x2⩾0\forall x\in\mathbb{\mathbb{R}^{*}},\,x^{2}\geqslant0∀x∈R∗,x2⩾0
3.
∃x∈R; x2⩽0\exists x\in\mathbb{\mathbb{R}};\,x^{2}\leqslant0∃x∈R;x2⩽0
4.
∃y∈R; ∀x∈R, x⩽y\exists y\in\mathbb{\mathbb{R}};\,\forall x\in\mathbb{\mathbb{R}},\,x\leqslant y∃y∈R;∀x∈R,x⩽y
5.
∀x∈R, ∃y∈R; x⩽y\forall x\in\mathbb{\mathbb{R}},\,\exists y\in\mathbb{\mathbb{R}};\,x\leqslant y∀x∈R,∃y∈R;x⩽y
6.
∀y∈R, ∃x∈R; ex=y\forall y\in\mathbb{R},\,\exists x\in\mathbb{R};\,\text{e}^{x}=y∀y∈R,∃x∈R;ex=y
7.
∀y∈R+, ∃!x∈R; x2=y\forall y\in\mathbb{R}_+,\,\exists !x\in\mathbb{R};\,x^2=y∀y∈R+​,∃!x∈R;x2=y
8.
∀n∈N, ∃p∈N; n=2p\forall n\in\mathbb{N},\,\exists p\in\mathbb{N};\,n=2p∀n∈N,∃p∈N;n=2p
9.
∀n∈N, ∃p∈N; 2n=p\forall n\in\mathbb{N},\,\exists p\in\mathbb{N};\,2n=p∀n∈N,∃p∈N;2n=p
10.
∀n∈N, ∃p∈N; n(n+1)=2p\forall n\in\mathbb{N},\,\exists p\in\mathbb{N};\,n(n+1)=2p∀n∈N,∃p∈N;n(n+1)=2p