$$$$

1.

$$g'(t)=\dfrac{f'(t)}{f(t)} = -\dfrac{1}{20}[3-\ln(f(t))] = \dfrac{1}{20}\ln(f(t))+\dfrac{3}{20} = \dfrac{1}{20}g(t)+\dfrac{3}{20}$$

Réciproquement,

\begin{array}[t]{lcl}g'(t) = \dfrac{1}{20}g (t) - \dfrac{3}{20} & \Leftrightarrow & \dfrac{f'(t)}{f(t)} = \dfrac{1}{20}\ln(f(t)) - \dfrac{3}{20} \\ g'(t) = \dfrac{1}{20}g (t) - \dfrac{3}{20} & \Leftrightarrow & f'(t)=f(t)\left(\dfrac{1}{20}\ln(f(t)) - \dfrac{3}{20}\right) = -\dfrac{1}{20}f(t)\left[3-\ln(f(t))\right]\end{array}

2.

$$t\mapsto C\text e^{\frac{t}{20}}+3$$

, où

$$C$$

est un réel.

3.Comme

$$f$$

est solution de

$$\mathrm{(E) }$$

 alors

$$\ln(f)$$

est solution de

$$\mathrm{(H)}$$

. Donc il existe un réel

$$C$$

tel que pour tout réel

$$t$$

,

$$\ln(f(t)=C\text e^{\frac{t}{20}}+3$$

. Alors

$$f(t)=\text e^{C\text e^{\frac{t}{20}}+3}$$

.

4.a.Lorsque

$$t\to+\infty$$

,

$$\dfrac{t}{20}\to +\infty$$

, puis par composition

$$\exp\left(\dfrac{t}{20}\right) \to +\infty$$

.

Par produit, 

$$- 3 \text{exp}\left(\dfrac{t}{20}\right) \to -\infty$$

.

Par somme, 

$$3 - 3 \text{exp}\left(\dfrac{t}{20}\right)\to -\infty$$

.

Enfin, par composition

$$\displaystyle \lim_{t\to+\infty} f(t)=0$$

.

b. Par dérivée d'une composée, pour tout réel

$$t\geqslant 0$$

,

$$f'(t)=\left(-\dfrac{3}{20}\text e^{\frac{t}{20}}\right)\text e^{3-3\exp\left(\frac{t}{20}\right)}$$

.

Or, pour tout réel

$$t\geqslant 0$$

, 

$$-\dfrac{3}{20}\text e^{\frac{t}{20}}<0$$

, donc pour tout réel

$$t\geqslant 0$$

,

$$f'(t)<0$$

.

Donc

$$f$$

est décroissante sur

$$[0~;+\infty[$$

.

c.

$$f(t)<0{,}02 \Leftrightarrow 3-3\text e^{\frac{t}{20}}<\ln(0{,}02) \Leftrightarrow 1-\dfrac13\ln(0{,}02)<\text e^{\frac{t}{20}}\Leftrightarrow 20\ln\left[1-\dfrac13\ln(0{,}02)\right]<t$$