☆ À n'ouvrir qu'en cas d'urgence ☆

Pour tout entier naturel

n

, on pose

I_{n}={\displaystyle \int_{0}^{1}\dfrac{x^{n}}{1+x}\mbox{d}x}

.

1.Pour tout réel

x \in[0~;~1]

, on a 

0\leqslant \dfrac{x^n}{1+x}\leqslant x^n

. Donc par croissance de l'intégrale,

\displaystyle{\int_0^10\mbox{d}x\leqslant \int_0^1\dfrac{x^n}{1+x}\mbox{d}x\leqslant \int_0^1x^n\mbox{d}x}

 soit

0\leqslant I_n\leqslant\dfrac{1}{n+1}

.

Comme

\underset{n\rightarrow+\infty}{\lim}\dfrac{1}{n+1}=0

, alors, d'après le théorème des gendarmes,

\underset{n\rightarrow+\infty}{\lim}I_n=0

.

2. a.Pour tout entier naturel

k

 non nul, on a

I_{k-1}+I_k ={\displaystyle \int_{0}^{1}\dfrac{x^{k-1}}{1+x}\mbox{d}x}+{\displaystyle \int_{0}^{1}\dfrac{x^{k}}{1+x}\mbox{d}x}={\displaystyle \int_{0}^{1}x^{k-1}\left(\dfrac{1+x}{1+x}\right)\mbox{d}x}= \dfrac1k

.

b.On remarque que

(I_0+I_1)-(I_1+I_2) + (I_2+I_3) - (I_3+I_4)+ ... +(-1)^{n-1}(I_{n-1}+I_n) =\displaystyle \sum_{k=1}^n\dfrac{(-1)^{k-1}}{k}

. 
En simplifiant le membre de gauche, on trouve

I_0 + (-1)^{n-1}I_n = \displaystyle \sum_{k=1}^n\dfrac{(-1)^{k-1}}{k}

.
Comme

I_0 = \ln(2)

et

I_n \to 0

, on peut conclure que

\displaystyle\underset{n\rightarrow+\infty}{\lim} \sum_{k=1}^n\dfrac{(-1)^{k-1}}{k}=\ln2

.

Soit

g

la fonction définie sur

[0~;~1]

par

g(x)=f(x)-x

.
Considérer la valeur de\(\displaystyle \int_0^1g(x)\text dx\) et conclure.

4.La formule du binôme de Newton donne

\displaystyle{\left(1-t^2\right)^n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}(-1)^{k}t^{2k}}

. Le passage à l'intégrale permet ensuite de trouver la valeur de

S_n=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dfrac{(-1)^{k}}{2k+1}\binom{n}{k}

.

☛ ln(2)