Algorithme de seuil

Suite croissante qui tend vers l'infini

Soit 

(m_n)

la suite définie par

m_0=4

et, pour tout

n \in \mathbb{N}

, par

m_{n+1}=2m_n+3

. On admettra que cette suite est croissante et que

(m_n)

tend vers

+\infty

.
Cela signifie que, pour tout réel

S

, il existe un rang 

N

à partir duquel, pour tout

n \geqslant N

, on a

u_n \geqslant S

.
La question est, étant donné un seuil

S

, quel est ce rang 

N

?

Lorsque l'on souhaite répéter un nombre de fois indéterminé une action, on utilisera une boucle non bornée (ou boucle while). Cette boucle se répétera tant que la condition souhaitée n'est pas réalisée.

Dans notre cas, nous souhaitons déterminer à partir de quel rang les termes de la suite sont supérieurs où égaux à

S

. Nous allons donc calculer les termes de la suite et continuer tant que les termes sont inférieurs à

S

.
Soit un réel

S

. La fonction suivante renvoie le rang 

n

à partir duquel

m_n \geqslant S

.
def seuil(S):
    # On initialise les valeurs de la suite ainsi que de n. Le terme de rang 0 vaut 4.
    m = 4
    n = 0
    # On souhaite savoir quand les termes de la suites dépasseront\(S\).
    # On va donc continuer de calculer les termes de cette suite tant que les termes sont inférieursà\(S\).
    while m < S:
        m = 2 * m + 3
        n = n + 1
    # Une fois que cette boucle est terminée (si elle termine...), on sait que u_n est supérieur ou égal à S.
    # On renvoie donc le rang n correspondant.
    return n

Testons cette fonction pour un seuil de 1 000 000 :
seuil(1000000)
>>> 18

Cela signifie que, à partir du rang 18, tous les termes de la suite sont supérieurs ou égaux à 1 000 000. 

Exercice

On considère la suite

(b_n)

définie par 

b_0=2

pour tout entier naturel 

n

, par

b_{n+1}=1,02b_n+1

. On admet que la suite 

(b_n)

est croissante et que 

\displaystyle\lim_{n \to + \infty} b_n = +\infty

.

1.Écrire une fonctionseuil2prenant un réelaen paramètre et renvoyant le rang 

n

à partir duquel

b_n\geqslant a

.

2.Appeler la fonction pouraégal à 

10^{15}

.

Cas d'une suite croissante tendant vers une limite finie

Le cas d'une suite ayant une limite finie est similaire : si une suite tend vers

l

, alors pour tout 

\varepsilon > 0

, l'intervalle 

[l-\varepsilon ,l+\varepsilon ]

contiendra tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.
En particulier, si la suite est monotone, il est pratique de déterminer le rang à partir duquel cette condition est vérifiée.
Par exemple, soit

(k_n)

la suite numérique définie par

k_0=1

et, pour tout

n\in\mathbb{N}

, par

k_{n+1}=0,5k_n+2

.
On admet que 

(k_n)

est une suite croissante qui tend vers 4. (Le démontrer est un bon exercice !)
Ainsi, pour tout réel 

a<4

, il existe un rang 

N

tel que, tout 

n \geqslant N

, on a  

k_n \geqslant a

.

La fonction suivante prend en entrée un réel a et renvoie le premier rang N de la suite

(k_n)

à  partir duquel, pour tout 

n \geqslant N

, on a 

k_n \geqslant a

.
def seuil_k(a) :
    k = 1
    n = 0
    while k < a :
        k = 0.5 * k + 2
        n = n + 1
    return n

En particulier, l'appel de la fonction seuil_k(3.999) renvoie le premier rang à partir duquel les termes de la suite 

(k_n)

sont au-dessus de 3,999.

Attention !
L'appel de la fonction précédente utilisant une entrée supérieure ou égale à 4 provoquera une boucle infinie. En effet, si l'on demande par exemple seuil_k(5), le programme continuera de faire des calculs tant que les termes de la suite n'atteigneront pas la valeur 5... Ce qui est toujours le cas !
Il est donc indispensable d'avoir des informations sur la suite avant de se lancer dans ce genre d'algorithme !

Exercice

Soit

(p_n)

la suite numérique définie par

p_0=0,7

et, pour tout

n\in\mathbb{N}

, par

p_{n+1}=0,8p_n+16

. On admet que 

(p_n)

est une suite croissante qui tend vers 80.

1.Écrire une fonction seuil_p prenant un réelaen paramètre et renvoyant le rang n à partir duquel 

p_n \geqslant a

.

2.Appeler la fonction pouraégal à 79,9999 et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

Cas d'une suite décroissante

Le cas des suites décroissantes est tout à fait similaire au cas des suites croissantes.
La seule différence réside dans le sens de l'inégalité contenue dans la boucle while. En effet, lorsque l'on a une suite décroissante, on souhaite déterminer le plus petit entier à partir duquel les termes de la suite sont inférieurs à un certain réel donné. On continuera donc de calculer les termes de la suite tant que ceux-ci seront supérieurs à la valeur seuil recherchée.

Exercice

Soit 

(r_n)

la suite numérique définie par 

r_0=20

et, pour tout

n\in\mathbb{N}

, par

r_{n+1}=0,2r_n+8

.
On admet que

(r_n)

est une suite décroissante qui tend vers 10.

1.Écrire ci-dessous une fonctionseuil_rprenant un réela en paramètre et renvoyant le rang n à partir duquel

r_n \leqslant a

. Attention au sens de l'inégalité !

2.Déterminer le plus petit entier N tel que, pour tout entier 

n\geqslant N

, on a

r_n \leqslant 10,0001

.

Algorithme de seuil

Quelques rappels pour commencer

Calcul d'un terme avec une formule explicite

Calcul à l'aide d'une formule de récurrence

Algorithme de seuil

Suite croissante qui tend vers l'infini

Cas d'une suite croissante tendant vers une limite finie

Cas d'une suite décroissante

Les perles du BAC

Polynésie 2022, sujet 1

Polynésie 2022, sujet 2

Asie, 2022

Centres étrangers, 2022

Polynésie, septembre 2022

Amérique du Nord, 2023

Amérique du Sud, 2022