Algorithme et programmation

La méthode de la fausse position permet de déterminer une valeur approchée de la solution d'une équation du type

f(x)=0

, sous certaines hypothèses pour la fonction

f

.

Dans un premier temps, on considère que la fonction 

f

est convexe et croissante sur un intervalle

]a;b[

. On suppose par ailleurs que

f(a)<0

 et que

f(b)>0

. La fonction 

f

s'annule donc sur l'intervalle 

[a;b]

(il s'agit du théorème des valeurs intermédiaires qui est abordé dans le chapitre sur la continuité).

On trace alors la sécante qui relie les points de la courbe de 

f

de coordonnées

(a ;f(a))

et

(b; f(b))

. Cette sécante coupe l'axe des abscisses en un point d'abscisse

a_1

.

On recommence alors le procédé en traçant la sécante qui relie les points de la courbe représentative de 

f

de coordonnées

(a_1 ;f(a_1))

et

(b; f(b))

. Cette sécante coupe l'axe des abscisses en un point d'abscisse

a_2

.

On construit ainsi une suite 

(a_n)

qui convergera alors vers une solution de l'équation

f(x)=0

(on pose par ailleurs

a_0=a

).

Exercice

On rappelle que la fonction 

f

est croissante et convexe sur l'intervalle

[a;b]

. On note 

c

la solution de l'équation

f(x)=0

 sur l'intervalle

[a;b]

.

1.Quel est le sens de variations de la suite 

(a_n)

?
2.En utilisant la convexité et la croissance de la fonction

f

, justifier que, pour tout entier naturel

n

, on a

a_n \leqslant c

.
3.En déduire la convergence de la suite

(a_n)

.

Remarque

Bien que l'on établisse la convergence de la suite 

(a_n)

construite à l'aide de la méthode de la fausse position, rien n'assure dans les hypothèses que la limite soit bien la solution de l'équation 

f(x)=0

qu'on recherche !

Par ailleurs, même si on obtient une valeur approchée de cette solution, on n'a pas la possibilité de contrôler la précision de cette approximation.

On se propose désormais d'établir une relation de récurrence permettant de calculer les termes de la suite 

(a_n)

les uns après les autres, ce qui nous permettra par la suite d'implémenter la méthode de la fausse position en Python.

Exercice

Pour tout entier naturel

n

, on note 

A_n

le point de coordonnées

(a_n;f(a_n))

. Par ailleurs, on note 

B

le point de coordonnées

(b; f(b))

.

1.Justifier que l'équation réduite de la droite

(A_nB)

est

y=\dfrac{f(b)-f(a_n)}{b-a_n} \times x + f(b)-b \times \dfrac{f(b)-f(a_n)}{b-a_n}

.
2.En déduire que, pour tout entier naturel

n

, on a

a_{n+1}=b-\dfrac{b-a_n}{f(b)-f(a_n)} \times f(b)

.

Exercice

En s'inspirant du cas précédent, décrire un algorithme que l'on pourrait utiliser si la fonction était croissante et concave sur l'intervalle 

[a;b]

. On pourra également s'inspirer du schéma suivant.

Activité CAPYTALE : méthode de la fausse position