Applications directes

Étudier les variations des fonctions définies sur

\mathbb R

par les expressions suivantes.

f_1(x) = x^2 - 2x - 3

f_2(x) = x^3 -6x^2 + 9x + 1

f_3(x) = \dfrac{1}{4}x^4 - 2x^3 + 4x^2 + 1

Étudier les variations des fonctions définies par les expressions suivantes sur chacun des intervalles suivants.

f_1(x) = \dfrac{x-1}{x+1}

sur

I = \left]-\infty \; ; \; -1\right[

f_2\left(x\right) = \dfrac{2x^2 -7x + 5}{x^2 - 5x + 7}

sur

I = \mathbb{R}

f_3\left(x\right) = \dfrac{2x^2 - 9x + 4}{x^2 + x - 12}

sur

I = \left]-4 \; ; \; 3\right[

f_4\left(x\right) = \dfrac{2x^2 + x - 13}{x^2 - x - 2}

sur

I = \left]2 \; ; \; +\infty\right[

f_5\left(x\right) = \dfrac{x^2 + 3}{x-1}

sur

I = \left]-\infty \; ; \; 1\right[

f_6\left(x\right) = \dfrac{-x^2 + 5}{x + 1}

sur

I = \left]-1 \; ; \; +\infty\right[

Voici la courbe représentative de la fonction dérivée de l'une des trois fonctions représentées plus bas. Laquelle ?

La figure suivante montre la courbe représentative 

\mathcal{C}_f

d'une fonction

f

 dérivable sur

\mathbb{R}

. On désigne par

f'

 la dérivée de la fonction

f

.

On sait que

\mathcal{C}_f

 admet une tangente parallèle à l'axe des abscisses au point

\text A\left(2 \; ; \; 6\right)

 et au point

\text B\left(0 \; ; \; 2\right)

.

À partir du graphique et des informations données, répondre aux questions suivantes.

1.Déterminer

f(2)

et

f'(2)

.

2.Parmi les trois courbes tracées ci-dessous, quelle est la courbe représentative de la fonction

f'

 ? Justifier la réponse.

3.Parmi les trois courbes tracées ci-dessus, quelle est la courbe représentative de la fonction

F

 qui a pour dérivée

f

 ? Justifier la réponse.

Soit 

f

 une fonction définie sur 

I=[-6 ; 5]

par

f(x)=\frac{-4}{x^2+3}

.

1.Montrer que

f

est dérivable sur

I

et que, pour tout 

x \in I

,

f'(x)=\frac{-8x}{(x^2+3)^2}

.

2.Déterminer le signe de 

f'(x)

sur

I

.

3.Dresser le tableau de variations de 

f

sur

I

.

4.Préciser les extrema de 

f

sur

I

.

Dresser le tableau de variations de la fonction

f

 définie par 

f\left(x\right) = \dfrac{-x^2 +5}{x + 1}

 sur l'intervalle

]-1;+\infty[

.

Dresser le tableau de variations de la fonction

f

 définie par

f\left(x\right) = \dfrac{x^2 + 3}{x - 1}

 sur l'intervalle

]1;+\infty[

.

Soit

h

la fonction définie par

h(x) = \dfrac{2x^2 -9x + 4}{x^2 + x - 12}

.

1.Vérifier que l'ensemble de définition de

h

est

I=]-\infty;-4[\cup]-4;3[\cup]3;+\infty[

.

2.Dresser le tableau de variations de

h

.

Dresser le tableau de variations de la fonction

g

 définie par

g(x) = \dfrac{2x^2 - 7x + 5}{x^2 - 5x + 7}

 sur son ensemble de définition.

Soit 

f

 la fonction définie sur 

I=\left]-\infty \; ; \ 0\right[ \cup \left] 0 \ ; +\infty\right[

par

f(x) = \dfrac{1}{x} + 4x

.

1.Calculer 

f'(x)

 pour tout réel 

x

 non nul.

2.Étudier les variations de la fonction 

f

 et dresser son tableau de variations.

3.La fonction 

f

 admet-elle un maximum ? un minimum ? Justifier.

Études de variations (1)